概率在學(xué)科內(nèi)的運(yùn)用

1、概率在學(xué)科內(nèi)的運(yùn)用一、與整式結(jié)緣例1、給出3個(gè)整式：x2，2x2+1，x22x.（1）從上面3個(gè)整式中，選擇你喜歡的兩個(gè)整式進(jìn)行加法運(yùn)算，若結(jié)果能因式分解，請(qǐng)將其因式分解.（2）從上面3個(gè)整式中，任意選擇兩個(gè)整式進(jìn)行加法運(yùn)算，其結(jié)果能因式分解的概率是多少？分析（1）顯然是一道開放型問題，答案不惟一，符合題意即可.（2）由即可求解.解（1）共有三種可能，即第一種可能為：x2+2x2+13x2+1；第二種可能為：x2+x22x2x22x，結(jié)果可以因式分解，2x22x2x(x1)；第三種可能為：2x2+1+x22x3x22x+1，此結(jié)果可以因式分解，3x22x+1(3x+1)(x1).（2）由第（1

2、）知，任意選擇兩個(gè)整式進(jìn)行加法運(yùn)算，其結(jié)果能因式分解的概率是.說(shuō)明本題雖說(shuō)既涉及了整式的加減和因式分解，又涉及了概率，但總體上屬于基礎(chǔ)題.例2、設(shè)Ax+y，其中x可取1、2，y可取1、2、3.（1）求出A的所有等可能結(jié)果(用樹狀圖或列表法求解)；（2）試求A是正值的概率.分析通過畫樹狀圖或列表求出所有可能的結(jié)果，并由代數(shù)式的求值與正值的概念求解.解（1）列舉所有等可能結(jié)果，畫出樹狀圖如下：2x值1y值123123或列表如下：y值結(jié)x值果212312322105由此可知，A的所有等可能結(jié)果為：2，3，2，1，0，5，共有6種. （2）由（1）知，A是正值的的結(jié)果有3種，所以P（A是正值）.說(shuō)明本

3、題的求解除了要涉及到概率的知識(shí)外，還考查了代數(shù)式的求值問題.二、與分式為伍例3、在盒子里放有三張分別寫有整式a+1、a+2、2的卡片，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是（）A. B. C. D.分析要使組成的式子是分式，考慮到若以2為分母，此式即不為分式，由此利用概率的意義求解.解依題意只有用a+1、a+2作為式子的分母，此式子才是分式，所以能組成分式的概率是.故應(yīng)選B.說(shuō)明本題也可以這樣思考：選擇其中兩個(gè)整式，所組成的式子有：、，由此共有6種結(jié)果，其中4個(gè)結(jié)果是分式，從而可以求解.例4、有三張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同），正面分別寫上整式x+1

4、，x，3.將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張卡片，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取另一張.第一次抽取的卡片上的整式作為分子，第二次抽取的卡片上的整式作為分母.（1）請(qǐng)寫出抽取兩張卡片的所有等可能結(jié)果（用樹狀圖或列表法求解）；x+1x3（2）試求抽取的兩張卡片結(jié)果能組成分式的概率.分析通過畫樹狀圖或列表求出所有可能的結(jié)果，并由分式的意義求解.第一次第二次結(jié)果x+1x3x+1xx33x+1解（1）樹狀圖如圖所示：或列表如下：x+1x3x+1x3（2）由樹狀圖或表中信息可知，共有6種結(jié)果，其中4結(jié)果是分式，所以P（分式）.說(shuō)明注意求解第（2）小問時(shí)一定要貼近分式的定義.三、與實(shí)數(shù)同行例5、如圖，一個(gè)

5、被等分成了3個(gè)相同扇形的圓形轉(zhuǎn)盤，3個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字1、3、6，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停止在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形的交線時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）.（1）請(qǐng)用畫樹形圖或列表的方法(只選其中一種)，表示出分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次轉(zhuǎn)盤自由停止后，指針?biāo)干刃螖?shù)字的所有結(jié)果.（2）求分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次轉(zhuǎn)盤自由停止后，指針?biāo)干刃蔚臄?shù)字之和的算術(shù)平方根為無(wú)理數(shù)的概率.136分析先通過列表或畫樹狀圖確定指針?biāo)干刃螖?shù)字的所有結(jié)果，再利用算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)和概率的意義求解.解（1）列表或畫樹狀圖如下：1361(1，1)(1，3)(1，6)3(3 ，)(3，3)(3，6)6(

6、6，1)(6，3)(6，6)（2）由表或樹狀圖可知，數(shù)字之和分別為：2，4，7，4，6，9，7，9，12.所以算術(shù)平方根分別是：，2，2，3，3，2.設(shè)兩數(shù)字之和的算術(shù)平方根為無(wú)理數(shù)是事件A，所以P(A).說(shuō)明注意在本題的求解過程中一定要正確理解算術(shù)平方根與無(wú)理數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，兩者不能混為一談.四、與幾何聯(lián)姻例6、平行四邊形中，AC、BD是兩條對(duì)角線，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系式：ABBC；ACBD；ACBD； ABBC中任取一個(gè)作為條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形的概率為.分析由平行四邊形判定此四邊形是菱形，可依據(jù)其判定方法，求解.解平行四邊形滿足一組鄰邊相等即為菱形，所以可以作為條件；對(duì)角線相

7、等的平行四邊形不一定是菱形，不能作為一個(gè)條件；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可以作為條件；鄰邊垂直的平行四邊形不能作為判定是否為菱形的條件，不能作為一個(gè)判定的條件；所以可推出平行四邊形ABCD是菱形的概率為.說(shuō)明本題需要綜合運(yùn)用菱形和概率來(lái)解決問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問題的能力，屬于中等難度的試題，具有一定的區(qū)分度.五、與方程握手例7、將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為a，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為b，則使關(guān)于x，y的方程組只有正數(shù)解的概率為（ ）A. B. C. D.分析要確定方程組只有正整數(shù)解的概率，必須先確定a，b

8、的對(duì)應(yīng)可能值，此時(shí)，依題意可通過列表求解.解依題意，列表如下：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)所以a，b的對(duì)應(yīng)可能值共有36種情況，而此時(shí)由方程x+2y2，得x22y，代入方程ax+by3，得a(22y)+by3，即y，所以滿足方程組只有正數(shù)解的a

9、，b的對(duì)應(yīng)是(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)、(4，2)、(5，1)、(5，2)、(6，1)、(6，2)，所以使關(guān)于x，y的方程組只有正數(shù)解的概率為.故應(yīng)選D.說(shuō)明本題也是2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.例8、甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母p、q分別表示兩人各投擲一次的點(diǎn)數(shù).（1）求滿足關(guān)于x的方程x2+px+q0有實(shí)數(shù)解的概率.（2）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率.分析依題意兩人投擲骰子共有36種等可能情況，而其中能使關(guān)于x的方程x2+px+q0有實(shí)數(shù)解時(shí)必須滿足p24q0，有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解時(shí)必須滿足p24q0，由此再利用

10、概率的意義即可求解.解列表如下：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)由此，兩人投擲骰子共有36種等可能情況.（1）因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+px+q0有實(shí)數(shù)解，所以p24q0，所以這36種等可能情況中滿足條件的共有19種情況，故其概率為.（2）因?yàn)殛P(guān)于x的

11、方程x2+px+q0有實(shí)數(shù)解，所以p24q0，所以這36種等可能情況中滿足條件的共有2種情況，故其概率為.說(shuō)明這里首先應(yīng)確定兩人投擲骰子共有多少種等可能情況，再依據(jù)方程根的情況進(jìn)一步求解.六、與函數(shù)會(huì)話例9、在一個(gè)不透明的盒子里裝有5個(gè)分別寫有數(shù)字2，1，0，1，2的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，將該小球上的數(shù)字作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，將該數(shù)的平方作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在拋物線yx2+2x+5與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的概率是.分析先確定出構(gòu)成的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而再確定在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)，利用概率的意義即可求解.解可以構(gòu)成的點(diǎn)的坐標(biāo)有：(2，4)，(1，1)，(0，0)