人教A版新教材高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)與題型方法總結(jié) 第六章平面向量及其應(yīng)用

1、學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生人教A版新教材高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)與題型方法總結(jié)第六章平面向量及其應(yīng)用【考綱要求】序考點(diǎn)號(hào)1平面向量的概念2平面向量的運(yùn)算平面向量基本定理3及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求了解向量的實(shí)際背景了解理解平面向量的概念理解理解兩個(gè)向量相等的含義理解理解向量的幾何表示理解掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義掌握掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義掌握理解兩個(gè)向量共線的含義理解了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義了解理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義理解了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系了解了解平面向量的基本定理及其意義了解掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示掌握會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、

2、減法與數(shù)乘運(yùn)算掌握理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件理解掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算掌握能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平掌握面向量的垂直關(guān)系第1頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量掌握掌握4平面向量的應(yīng)用掌握問題能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測掌握量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題6.1平面向量的概念知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6.1.1向量的概念及表示(1)概念:既有大小又有方向的量.(2)有向線段定義:具有方向的線段.

3、三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長度.表示:在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以為起點(diǎn)、.長度:線段的長度也叫做有向線段的長度,記作.(3)向量的表示為終點(diǎn)的有向線段記作點(diǎn)撥:第2頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生(1)判斷一個(gè)量是否為向量,就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素.(2)用有向線段表示向量時(shí),要注意的方向是由點(diǎn)指向點(diǎn),點(diǎn)是向量的起點(diǎn),點(diǎn)是向量的終點(diǎn).6.1.2向量的有關(guān)概念(1)向量的模(長度):向量的大小,稱為向量的長度(或稱模),記作.(2)零向量:長度為的向量,記作.(3)單位向量:長度等于個(gè)單位長度的向量.6.1.3兩個(gè)向量間的關(guān)系(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量,

4、也叫做共線向量.若,是平行向量,記作規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)任意向量,都有.(2)相等向量:長度相等且方向相同的向量,若,是相等向量,記作點(diǎn)撥:(1)平行向量也稱為共線向量,兩個(gè)概念沒有區(qū)別.(2)共線向量所在直線可以平行,與平面幾何中的共線不同.(3)平行向量可以共線,與平面幾何中的直線平行不同.題型方法【知識(shí)點(diǎn)一向量的相關(guān)概念】例1給出下列命題:若,則,四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);在中,一定有;第3頁，共50頁.學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生若,則.其中所有正確命題的序號(hào)為_.答案變式訓(xùn)練例1下列說法中正確的是()A數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B方向不同的向量不能比較大小,但同

5、向的向量可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的?？梢员容^大小答案D【知識(shí)點(diǎn)二向量的表示】例1在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格的邊長為),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:(1),使,點(diǎn)在點(diǎn)北偏東方向上;(2),使,點(diǎn)在點(diǎn)正東方向上;(3),使,點(diǎn)在點(diǎn)北偏東方向上.變式訓(xùn)練例1第4頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生已知飛機(jī)從地按北偏東的方向飛行到達(dá)地,再從地按南偏東的方向飛行到達(dá)地,再從地按西南方向飛行到達(dá)地.(1)作出向量(2)問地在,;地的什么方向?地距地多遠(yuǎn)?(1)見解析(2)地在地的東南方向,距地.【知識(shí)點(diǎn)三共線向量與相等向量】例1如圖所示,是正六邊形的中心,且,在每兩點(diǎn)所確定的向量

6、中.(1)與的長度相等、方向相反的向量有哪些?(2)與共線的向量有哪些?變式訓(xùn)練例1（1）已知向量與向量共線,下列關(guān)于向量的說法中,正確的為()第5頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生A.向量與向量一定同向B.向量,向量,向量一定共線C.向量與向量一定相等D.以上說法都不正確答案B（2）下列說法正確的是()A.若與平行,與平行,則與一定平行B.終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線C.若,則D.單位向量的長度為1.答案D6.2平面向量的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6.2.1向量的加法運(yùn)算1.向量加法的定義及運(yùn)算法則第6頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生注:(1)兩個(gè)法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向

7、量求和,平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和.(2)在使用三角形法則時(shí),應(yīng)注意“首尾連接”;在使用平行四邊形法則時(shí)應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點(diǎn)相同.(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.2.,之間的關(guān)系一般地,當(dāng)且僅當(dāng),方向相同時(shí)等號(hào)成立.第7頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生3.向量加法的運(yùn)算律6.2.2向量的減法運(yùn)算1.相反向量與長度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,記作.(1)規(guī)定:零向量的相反向量仍是仍是零向量;(2);(3);(4)若與互為相反向量,則,，.注:相反向量與相等向量一樣,從“長度”和

8、“方向”兩方面進(jìn)行定義,相反向量必為平行向量.2.向量的減法(1)定義:,即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.(2)幾何意義:以為起點(diǎn),作向量,則,如圖所示,即可表示從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.第8頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生注:(1)減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.(2)在用三角形法則作向量減法時(shí),只要記住“連接向量終點(diǎn),箭頭指向被減向量”即可.(3)對(duì)于任意兩個(gè)向量,都有6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算1.向量的數(shù)乘運(yùn)算.(1)定義:規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作:方向規(guī)定如下:;當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同;當(dāng)時(shí),的方向與的方向相反.,它

9、的長度和注:是實(shí)數(shù),是向量,它們的積仍然是向量.實(shí)數(shù)與向量可以相乘,但是不能相加減,如,均沒有意義.(2)運(yùn)算律:設(shè),為任意實(shí)數(shù),則有:;特別地,有;第9頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生.2.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量,及任意實(shí)數(shù),.3.向量共線的條件向量與共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使.注:若將定理中的條件去掉,即當(dāng)時(shí),顯然與共線.(1)若,則不存在實(shí)數(shù),使.(2)若,則對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.6.2.4向量的數(shù)量積1.兩向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)非零向量,是平面上的任意一點(diǎn),作,則叫做向量與的夾角.,恒有(2)特例:當(dāng)時(shí),向量與同向;當(dāng)時(shí),

10、向量與垂直,記作;當(dāng)時(shí),向量與反向.第10頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生注:按照向量夾角的定義,只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角,如圖所示,不是向量與的夾角.作,則才是向量與的夾角.2.向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,把數(shù)量記作,即.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0.3.投影向量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積),如圖(1),設(shè),是兩個(gè)非零向量,我們考慮如下變換:過的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作(project),得到所在直線的垂線,垂足分別為,我們稱上述變換為向量向向量投影叫做向量在向量上的投影向量.如圖(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,則就是向

11、量在向量上的投影向量.注:若與方向相同的單位向量為,與的夾角為,則.第11頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),與方向相同;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),與方向相反;當(dāng)時(shí),.4.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則(1).(2).(3)當(dāng)與同向時(shí),;當(dāng)與反向時(shí),.特別地,或.(4).5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)(交換律).(2)(結(jié)合律).(3)(分配律).注:(1)向量的數(shù)量積不滿足消去律;若,均為非零向量,且,但得不到.(2),因?yàn)榕c向量共線,因此,是數(shù)量積,是實(shí)數(shù),不是向量,所以在一般情況下不成立.第12頁，共50頁與向量共線,(3).題型方法【知識(shí)點(diǎn)一

12、向量的加法運(yùn)算】例1化簡:學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生_.答案變式訓(xùn)練例1如圖,在正六邊形中,_,_.答案；【知識(shí)點(diǎn)二向量的減法運(yùn)算】例1答案變式訓(xùn)練例1化簡第13頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生答案【知識(shí)點(diǎn)三向量的數(shù)乘運(yùn)算】例1如圖，已知，則（）A.B.C.D.答案D變式訓(xùn)練例1如圖所示，向量,在一條直線上，且_（用表示），則答案第14頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生【知識(shí)點(diǎn)四向量的線性運(yùn)算】例1已知向量，且答案變式訓(xùn)練例1（）A.B.C.D.答案B【知識(shí)點(diǎn)五向量共線定理】例1已知向量，若，()A.、B.、C.、D.、第15頁，共50頁，求，則一定共線的三點(diǎn)是答案A變式訓(xùn)練例1（2

13、019春杜集區(qū)校級(jí)期中）已知學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生，則()A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、D三點(diǎn)共線C.A、C、D三點(diǎn)共線D.B、C、D三點(diǎn)共線答案B【知識(shí)點(diǎn)六向量的數(shù)量積運(yùn)算】例1在中,若角,則等于()A.B.C.D.答案C變式訓(xùn)練例1如圖在平行四邊形中,已知,則()第16頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生A.B.C.D.答案C【知識(shí)點(diǎn)七向量的?！坷?已知向量,為單位向量,若與的夾角為,則_.答案變式訓(xùn)練例1已知A.B.C.D.，與的夾角為，那么等于（）第17頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生答案C【知識(shí)點(diǎn)九向量垂直】例1不共線向量,滿足,且,則與的夾角為_.答案變式訓(xùn)練例1若

14、，則與的夾角為（）A.B.C.D.答案B【知識(shí)點(diǎn)八向量的夾角】例1已知向量，滿足，且，則與的夾角為（）A.B.C.第18頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生D.答案D變式訓(xùn)練例1已知向量滿足且,則向量的夾角為_.答案6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6.3.1平面向量基本定理?xiàng)l件是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使.基底若不共線,把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底點(diǎn)撥:(1)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,的選取不唯一,即一個(gè)平面可以有多個(gè)基底.(2)基底確定后,實(shí)數(shù)是唯一確定的.6.3.2平面向量坐標(biāo)的相關(guān)概念第19頁，共50頁學(xué)好高中

15、數(shù)學(xué)，成就美好人生點(diǎn)撥:(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式,只是兩個(gè)基向量和互相垂直.(2)由向量坐標(biāo)的定義知,兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等,即且,其中.6.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若,則;.(2)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).點(diǎn)撥:(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān).(2)已知向量的起點(diǎn),終點(diǎn),則.6.3.4兩向量共線的充要條件設(shè),其中,則共線的充要條件是.點(diǎn)撥:(1)兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.,即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)也成立,即

16、對(duì)任意向量,都有.第20頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知,則.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.點(diǎn)撥:公式與都是用來求兩向量的數(shù)量積的,沒有本質(zhì)區(qū)別,只是書寫形式上的差異,兩者可以相互推導(dǎo).6.3.6兩個(gè)公式、一個(gè)充要條件(1)向量的模長公式:若,則.(2)向量的夾角公式:設(shè),都是非零向量,是與的夾角,則.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件設(shè)非零向量,則.點(diǎn)撥:若,則,即兩點(diǎn)間的距離為.題型方法【知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理的理解】例1設(shè),是不共線的兩個(gè)向量,給出下列四組向量:與;與;與;與.第21頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生其中,不能作

17、為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是_(寫出滿足條件的序號(hào)).答案變式訓(xùn)練例1設(shè)點(diǎn)是平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()與;與;與;與.A.B.C.D.答案B【知識(shí)點(diǎn)二用基底表示平面向量】例1如圖所示,在中,點(diǎn),分別為,邊上的中點(diǎn),與交于點(diǎn),若,試用基底表示向量,.變式訓(xùn)練例1第22頁，共50頁在學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生中,點(diǎn)在邊上,且,設(shè),則為()A.BCD答案B【知識(shí)點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用】例1如圖,在求與中,點(diǎn).是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,與相交于點(diǎn),答案=4:1；=3:2變式訓(xùn)練例1（1）設(shè)_.是平面內(nèi)的一個(gè)基底,且,則_第23

18、頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生答案（2）在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，則_.答案【知識(shí)點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)表示】例1已知(1)求向量是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo);在第一象限,(2)若,求的坐標(biāo).變式訓(xùn)練例1已知長方形的單位向量,試求的長為,寬為,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,和的坐標(biāo).是軸上的單位向量,是軸上答案=（4,3）；=（-4,3）【知識(shí)點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】例1已知向量,若滿足第24頁，共50頁,則()AB.C.D.答案A變式訓(xùn)練例1已知向量學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生,若,則的值為_.答案【知識(shí)點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】例2已知的坐標(biāo)答案變式訓(xùn)練例2，且，求點(diǎn)及已知答案的坐標(biāo)分別為,則_,

19、_.；【知識(shí)點(diǎn)六向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用】例1已知點(diǎn),及.(1)為何值時(shí),點(diǎn)在軸上?點(diǎn)在軸上?點(diǎn)在第二象限?(2)四邊形能為平行四邊形嗎?若能,求出的值;若不能,請(qǐng)說明理由.第25頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生答案(1（-，）；(2)不能變式訓(xùn)練例1已知在平行四邊形()中,對(duì)角線,交于點(diǎn),則的坐標(biāo)是A.BCD答案A變式訓(xùn)練例2已知在非平行四邊形中,且三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.答案【知識(shí)點(diǎn)七向量共線的判定】例1已知A.B.C.,若,則的值可能是()第26頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生D.答案AD變式訓(xùn)練例1已知,若,則的值可能是()A.B.C.D.答案CD【知

20、識(shí)點(diǎn)八三點(diǎn)共線問題】例1已知向量，且三點(diǎn)共線，則_答案變式訓(xùn)練例1若,三點(diǎn)共線,則的值為()A.B.C.第27頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生D.答案B【知識(shí)點(diǎn)九向量共線的應(yīng)用】例1已知向量(1)向量會(huì)與非零向量共線嗎？(2)為何值時(shí)，與共線？答案（1）不共線；（2）變式訓(xùn)練例1如圖所示，在平行四邊形的中點(diǎn)，求、中，的坐標(biāo)，并判斷、是否共線，分別為答案，、共線第28頁，共50頁【知識(shí)點(diǎn)十?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算】例1已知向量,滿足學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生,則()A.B.C.D.答案B變式訓(xùn)練例1已知兩個(gè)非零向量,滿足,則的值為()A.B.C.D.答案B【知識(shí)點(diǎn)十一平面向量的模】例1已知向量,則

21、_.答案第29頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生變式訓(xùn)練例1已知向量,則()A.B.C.D.答案C【知識(shí)點(diǎn)十二平面向量的夾角】例1已知向量,則與的夾角為_.答案變式訓(xùn)練例1已知向量,向量為單位向量,且,則與的夾角余弦值為()A.B.第30頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生C.D.答案A【知識(shí)點(diǎn)十三平面向量的垂直】例1已知向量,且,則()A.B.C.D.答案C變式訓(xùn)練例1已知向量,若,則_,若,則_.答案；6.4平面向量的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6.4.1平面幾何中的向量方法第31頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生用向量方法解決平面幾何問題的“三個(gè)步驟”6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例向量在物

22、理學(xué)中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的減法和加法相似,可以用向量的知識(shí)來解決.(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,即為力的夾角).與位移的數(shù)量積,即(為與6.4.3余弦定理、正弦定理1.余弦定理文字語言:三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號(hào)語言:第32頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生;.注:對(duì)余弦定理的理解(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)特征:“平方”“夾角”“余弦”.(3)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式,它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)

23、量關(guān)系.2.余弦定理的推論:;.注:余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式,適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.3.三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素:三角形的三個(gè)角,和它們的對(duì)邊,叫做三角形的元素.第33頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生(2)解三角形:已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.注1:解決“已知兩邊及一角”解三角問題的步驟:用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程,運(yùn)用解方程的方法求出此邊長.再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.注2:已知三角形的三邊解三角形的方法:先

24、利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.注意若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.注3:利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑:(1)化邊的關(guān)系:將條件中的角的關(guān)系,利用余弦定理化為邊的關(guān)系,再變形條件判斷.(2)化角的關(guān)系:將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷.注4:判斷三角形時(shí)經(jīng)常用到以下結(jié)論:(1)為直角三角形或或.(2)為銳角三角形,且,且.(3)為鈍角三角形或或.(4)若,則或.4.正弦定理第34頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生條件:在

25、中,角,所對(duì)的邊分別為,.結(jié)論:.文字?jǐn)⑹?在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.注:對(duì)正弦定理的理解(1)適用范圍:正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長,分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式.(3)揭示規(guī)律:正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.5.正弦定理的變形:若為外接圓的半徑,則(1),;(2),;(3);(4).注1:已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一角所對(duì)的邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.第35頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好

26、人生(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.注2:已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值;(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角;(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類討論.注3:已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法(1)應(yīng)用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù);(2)在中,已知,和,以點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑畫弧,此弧與除去頂點(diǎn)的射線

27、的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù),解的個(gè)數(shù)見下表:為鈍角為直角為銳角一解無解一解無解一解一解兩解無解無解一解無解注4:判斷三角形形狀的兩種途徑第36頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生注意在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.6.基線:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.7.基線與測量精確度的關(guān)系:一般來說,基線越長,測量的精確度越高.注:實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名定義稱仰在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線上方時(shí)與水平線角的夾角俯在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線下方時(shí)與水平線角的夾角圖示方從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線向是指

28、正北或正南或正東或正西,方向角小于)角南偏西(指以正南方向?yàn)槭歼?轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角)第37頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生方從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的位水平角角8.三角形的面積公式(1)(,分別表示邊,上的高).(2).(3)(為內(nèi)切圓的半徑).注1:三角形的面積公式,實(shí)質(zhì)上就是注2:三角形面積計(jì)算的解題思路與原來的面積公式中邊上的高.(為邊上的高)的關(guān)系為對(duì)于此類問題,一般用公式進(jìn)行求解,可分為以下兩種情況:(1)若所求面積為多邊形,可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形,轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關(guān)系,則需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角,再利用

29、三角形面積公式進(jìn)行求解.注3:三角形中幾何計(jì)算問題的解題思路第38頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生(1)正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運(yùn)算是解題要點(diǎn),善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理,只需通過解三角形,一般問題便能很快解決.(2)此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件.注4:解三角形綜合問題的方法(1)三角形中的綜合應(yīng)用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識(shí)聯(lián)系在一起,要注意選擇合適的方法、知識(shí)進(jìn)行求解.(2)解三角形還常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識(shí)綜合考查,解答此類題目,首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)“翻譯”題目條件,然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余

30、弦定理求解.題型方法【知識(shí)點(diǎn)一向量在幾何中的應(yīng)用】例1.如圖所示,在正方形中,分別是,的中點(diǎn),求證:.變式訓(xùn)練例1如圖,點(diǎn),是平行四邊形在同一直線上.的中心,分別在邊,上,且.求證:點(diǎn)第39頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生變式訓(xùn)練例2如圖,平行四邊形中,已知,對(duì)角線,求對(duì)角線的長.【知識(shí)點(diǎn)二向量在物理中的應(yīng)用】例1在長江南岸某渡口處,江水以地渡過長江,其航向應(yīng)如何確定?變式訓(xùn)練例1的速度向東流,渡船的速度為.渡船要垂直有一條兩岸平行的河流,水流速度的大小為,小船的靜水速度大小為船應(yīng)朝_的方向行駛,實(shí)際行駛速度大小為_.答案.與水流方向成角；【知識(shí)點(diǎn)二向量在物理中的應(yīng)用】,為使所走路程最短

31、,小例2.已知兩恒力,作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),求,分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.變式訓(xùn)練例2第40頁，共50頁已知兩個(gè)力學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為()A.B.C.D.答案B【知識(shí)點(diǎn)三已知兩邊及一角解三角形】例1在A.BCD答案A變式訓(xùn)練例1中,則()（1）已知的內(nèi)角,的對(duì)邊分別為,則_答案（2）在中,解這個(gè)三角形.【知識(shí)點(diǎn)四已知三邊(三邊關(guān)系)解三角形】第41頁，共50頁例1在學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生中,已知,則最大角與最小角的和為()ABCD答案B變式訓(xùn)練例1在中,若,求的最大內(nèi)角的余弦值.答案75【知識(shí)點(diǎn)四已知三邊(三邊關(guān)系)解三角

32、形】例2在中,若,則等于()ABCD答案B變式訓(xùn)練例2在中,角,所對(duì)的邊分別為,且,則角的大小是答案【知識(shí)點(diǎn)五利用余弦定理判斷三角形的形狀】第42頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生例1在中,若,試判斷的形狀.答案：直角三角形變式訓(xùn)練例1(1)在中,則一定是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等邊三角形答案D(2)已知的內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案B【知識(shí)點(diǎn)六已知兩角及一邊解三角形】例1在中,已知,解這個(gè)三角形.變式訓(xùn)練例1在中,已知,則答案【知識(shí)點(diǎn)七已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形】例1已知中的下列條件,解三角形:第43頁，共50頁學(xué)好高中數(shù)學(xué)，成就美好人生(1),;(2),.變式訓(xùn)練例1在中,則等于()A.或B.C.D.答案C變式訓(xùn)練例2已知在中,若三角形有兩解,則的取值范圍是答案【知識(shí)點(diǎn)八利用正弦定理判斷三角形的形狀】例1已知在中,角,所對(duì)的邊分別是和,若,則一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角