高考理數(shù)立體幾何復(fù)習(xí)參考模板范本

1、 挖掘高考試題，增效高三教學(xué)基于2018年高考理數(shù)18題的立體幾何復(fù)習(xí) 【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的重難點(diǎn)。本文以2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科試卷的立體幾何題目為例題，基于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在核心素養(yǎng)的大背景下，探討解法，整合概念，變式探究，反思改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)策略，以求提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力并滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)。【關(guān)鍵詞】立體幾何；高考題目；一題多解；變式教學(xué)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀(guān)念、必備品格和關(guān)鍵能力。作為高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)教學(xué)模塊的立體幾何可以重點(diǎn)提升直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。立體

2、幾何中的翻折問(wèn)題由于要發(fā)掘圖形翻折前后的差異與聯(lián)系，尋找定型定量，題型新穎，解法豐富，一直是立體幾何教學(xué)和考查的熱點(diǎn)。在2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科試卷中，立體幾何的解答題就是以翻折問(wèn)題的形式展現(xiàn)。一、一題多解固基礎(chǔ)，多法比較建聯(lián)系例（2018年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)一卷18題）圖1如圖1，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.第1問(wèn)證明（略）；第2問(wèn)解答： 解法1： 如圖2，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（1）可得，平面 ，所以，為在內(nèi)的射影，為與平面所成角.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則 因?yàn)樗?，在圖2即，與平面所成角的正

3、弦值為解法2：如圖2，解法3：如圖2， 圖3解法4：如圖3，解法5：如圖3，圖4解法6：如圖4， 知識(shí)之間是有聯(lián)系的。通過(guò)一題多解，不但可以建立解法之間的聯(lián)系，優(yōu)化方法，洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，而且多種解法的呈現(xiàn)也可以滿(mǎn)足不同學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的不同認(rèn)知。解法1、2、3 是綜合法，解法4、5、6是向量法。在此題的解答中，綜合法的關(guān)鍵是利用定義找到所求線(xiàn)面角，向量法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，但是兩種方法的難點(diǎn)都在于與點(diǎn)相關(guān)的長(zhǎng)度或者坐標(biāo)的確定。解法1是由因?qū)Ч木C合法的完整體現(xiàn)，需要比較強(qiáng)的數(shù)據(jù)分析能力以確定是直角三角形，從而突破長(zhǎng)度的求解障礙；解法2利用方程求解的長(zhǎng)度；解法3利用等體積法求解。解法1、

4、2都是將立體幾何問(wèn)題降維后在三角形中解決的，解法3利用了等體積法，突出了避作而求的推理方式。解法4是解法1的向量法體現(xiàn)；解法5、6是解法2的向量法體現(xiàn)，不同之處在于建系的方式不同。通過(guò)以上方法的比較不難發(fā)現(xiàn)，綜合法需要添加輔助線(xiàn)才能把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來(lái)，而這常常成為制約學(xué)生分析問(wèn)題的障礙。向量法已經(jīng)利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量將線(xiàn)面角的關(guān)系模型化，將線(xiàn)面角的求解方法公式化，避免了尋找線(xiàn)面角這個(gè)難點(diǎn)。這體現(xiàn)出向量法在立體幾何問(wèn)題中定量分析的優(yōu)勢(shì)，也可以說(shuō)，向量法是立體幾何中定量分析的更加優(yōu)化的方法。所以，對(duì)于幾何中嚴(yán)密的論證和計(jì)算，一方面我們要提高學(xué)生利用綜合法解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步發(fā)展和

5、完善學(xué)生的推理能力；另一方面要強(qiáng)化向量法，利用坐標(biāo)中向量之間的性質(zhì)解決問(wèn)題。二、收集錯(cuò)誤顯問(wèn)題，反思教法促教學(xué)對(duì)于第2問(wèn)的解答，學(xué)生多采用向量法，而在平常的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于角度、距離類(lèi)定量分析的問(wèn)題，學(xué)生也偏好向量法，這與立體幾何改革的基本方向一致。當(dāng)然，不論是綜合法還是向量法，能夠準(zhǔn)確運(yùn)用并解決問(wèn)題就是好方法，然而，對(duì)于這道看似并不困難的問(wèn)題，答卷情況卻不容樂(lè)觀(guān)，出現(xiàn)比較多的知識(shí)方法錯(cuò)誤有以下三點(diǎn)：(1)綜合法中找不到線(xiàn)面角；(2)建系正確，但點(diǎn)的坐標(biāo)錯(cuò)誤；(3)錯(cuò)誤(1)的根源主要在于定義的理解不透徹，想象及推理能力欠缺，導(dǎo)致在具體的圖形中，不能熟練洞察線(xiàn)面關(guān)系以確定線(xiàn)面角；錯(cuò)誤(2)的原

6、因在于對(duì)于題目中與點(diǎn)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，不能準(zhǔn)確的挖掘翻譯并建立與問(wèn)題的聯(lián)系；錯(cuò)誤(3)的源由在于學(xué)生平常的學(xué)習(xí)只是機(jī)械式的記憶公式，沒(méi)有建立圖形與數(shù)量、公式的聯(lián)系，更沒(méi)有真正理解線(xiàn)面角與向量角的區(qū)別和聯(lián)系。針對(duì)以上3個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤，在立體幾何的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重以下策略和方法上的調(diào)整：1.理清基本線(xiàn)索 從數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯上看，立體幾何的基本線(xiàn)索是 = 1 * GB3 從定性到定量 = 2 * GB3 從綜合法到向量法，教材中立體幾何的內(nèi)容安排設(shè)置也是以此為據(jù)的。那么，在立體幾何的教學(xué)，特別是高三復(fù)習(xí)中，也應(yīng)當(dāng)遵從這條線(xiàn)索，讓學(xué)生對(duì)立體幾何認(rèn)知符合規(guī)律；在每個(gè)立體幾何問(wèn)題的分析過(guò)程中，也應(yīng)當(dāng)先理清點(diǎn)線(xiàn)面關(guān)

7、系，再建立數(shù)量或向量關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題的理解循序漸進(jìn)。2.強(qiáng)調(diào)基本圖形亦如平面幾何中強(qiáng)調(diào)三角形，立體幾何中也有基本圖形，例如長(zhǎng)方形，四面體，這些基本圖形隨手可得，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但是卻蘊(yùn)含了所有的點(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)系。在立體幾何的教學(xué)中，都應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)在基本圖形中理解基本幾何元素關(guān)系，理解基本定理，理解基本公式方法，那么在復(fù)雜的圖形中，學(xué)生才可以舉一反三，觸類(lèi)旁通。3.歸納基本圖例學(xué)生之所以在題海中低效徘徊，很重要的原因在于缺乏反思和歸納總結(jié)。其實(shí)，立體幾何中的點(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)系就那幾類(lèi)，角度及距離問(wèn)題就那幾個(gè)，選取恰當(dāng)?shù)膱D例概括歸納，既有助于點(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)系的定性分析，更有助于公式理解及應(yīng)用的定量分析。如圖5

8、，既包含了許多點(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)系，從中可以對(duì)線(xiàn)面垂直，平面的斜線(xiàn)，線(xiàn)面角等有更好的理解，也包含了點(diǎn)面距離，線(xiàn)面角關(guān)系及向量關(guān)系，從該圖中，可以建立圖形和公式的聯(lián)系，分析得到線(xiàn)面角或者，所以，；又如圖6，可以結(jié)合圖形辨析和理解二面角與法向量夾角的關(guān)系：或者，從而圖5圖6三一題多變提能力，滲透素養(yǎng)增效力數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)，立體幾何尤為如此。所以在立體幾何的教學(xué)中，不論是定性分析還是定量分析，不管是綜合法還是向量法，都要緊抓圖形分析數(shù)據(jù)，而且可以發(fā)揮立體幾何中數(shù)量與圖形緊密聯(lián)系的特點(diǎn)，設(shè)置連續(xù)而有邏輯關(guān)聯(lián)的變式問(wèn)題，并在這些問(wèn)題的解決過(guò)程中，進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練推理論證的技能。例題變式1-

9、4如圖1，四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.變式1：圖7思路分析：通過(guò)等體積法，也可以在圖3的坐標(biāo)系下求得平面利用空間向量點(diǎn)面公式得到變式2：思路分析：在圖3中求得平面平面利用空間向量二面角余弦值的計(jì)算公式得到；也可以利用二面角定義，如圖7，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，可證那么即為二面角.在變式3：思路分析：由于與全等，并且有公共斜邊，取中點(diǎn)，無(wú)論是否垂直，都有，即點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，所以；也可以在圖3的坐標(biāo)系下利用向量法，設(shè)點(diǎn)：解得.變式4：思路分析：由于可以利用等體積法，得到，解得.設(shè)計(jì)意圖：例題變式1-4在高考原題的基礎(chǔ)上展開(kāi)，意在通過(guò)學(xué)生熟悉的

10、題干和圖形對(duì)距離、二面角、內(nèi)切球和外接球等常規(guī)概念、問(wèn)題及涉及的方法進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中建立數(shù)量與圖形的聯(lián)系并進(jìn)行抽象和表達(dá)論證。在平常的立體幾何教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生在同一個(gè)立體幾何背景中尋找不同的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系并進(jìn)行自主變式教學(xué)，多角度的理解圖形并認(rèn)知問(wèn)題。例題變式5-10如圖1，四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.變式5：圖8思路分析：如圖4所示，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)，利用面面垂直的性質(zhì)定理可以證明，那么為，可以分別在，求得,，那么，也可以在圖4 所成的空間直角坐標(biāo)系中求得點(diǎn)，取平面，設(shè)，利用向量法計(jì)算得.圖9變式

11、6： 思路分析：如圖9，由于與全等，并且有公共斜邊，取中點(diǎn)，無(wú)論是否垂直，都有，即點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，并且為定值.設(shè)計(jì)意圖：變式5、6將高考原題中的條件“”換為“”，變式5的問(wèn)題和原題相同，變式6與變式4的問(wèn)題類(lèi)似但有所推廣。兩個(gè)問(wèn)題意在通過(guò)與原問(wèn)題關(guān)聯(lián)或者相似的情景，幫助學(xué)生能夠理解和建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念，辨析邏輯關(guān)系，提煉數(shù)學(xué)方法。變式7：思路分析：所以那么，當(dāng)存在變式8：思路分析：所以那么，當(dāng)變式9：思路分析：如圖10，在矩形中，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作如果那么，這與所以，圖10設(shè)計(jì)意圖：變式7-9刪除了高考原題中的條件“”，那么圖形就不是靜態(tài)的圖形，是在翻折變化的

12、動(dòng)態(tài)過(guò)程中設(shè)置問(wèn)題，學(xué)生也只能在動(dòng)態(tài)過(guò)程中思考三組異面直線(xiàn)的位置關(guān)系。3個(gè)題目都以推理論證能力培養(yǎng)為目標(biāo)，在思考解答的過(guò)程中考察培養(yǎng)了舉正例，舉反例，綜合分析，反證分析等能力。3個(gè)問(wèn)題意在通過(guò)綜合化的一般情境，理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)和結(jié)論的一般性，期望學(xué)生能夠?qū)^為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題探索論證途經(jīng)并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合理準(zhǔn)確的進(jìn)行表達(dá)。變式10：；如果有，求出最大值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由. 設(shè)計(jì)意圖：該問(wèn)題依然在翻折過(guò)程中設(shè)置，屬于開(kāi)放探究性問(wèn)題，變量的引入和問(wèn)題的解決途經(jīng)均具有偶然性和自主性，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)操作觀(guān)察，形成猜想，證明結(jié)論。經(jīng)歷這樣的探究過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分類(lèi)討論，作圖表達(dá)，推理論證的能力，在具體情境中提升直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。四結(jié)語(yǔ)由于高考題目不但依據(jù)課標(biāo)，緊貼教材，有一般訓(xùn)練題目不可比擬的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性；而且高考題目經(jīng)過(guò)了全國(guó)學(xué)生的實(shí)踐檢驗(yàn)及老師的深入研討，科學(xué)性強(qiáng)，解題思路明朗，解題書(shū)寫(xiě)規(guī)范，評(píng)分細(xì)則標(biāo)準(zhǔn)，所以高考真題既有利于全面覆蓋，又有利于突出重點(diǎn)。在高三的教學(xué)中，教師如