人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 3.4基本不等式課件

1、3.4 基本不等式趙爽：弦圖左圖是北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)1：基本不等式的推導(dǎo)及證明圖中陰影部分的面積為正方形ABCD的面積為a+b2ab*問題一:由此猜想a+b與2ab的大小關(guān)系,并加以證明證明a2+b22ab=(ab)20a+b 2ab，（該不等式對于a,bR均成立）左圖中AE=DH=CG=BF=a,BE=GH=FG=FE=b,且圖中各三角形均為全等的直角三角形。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立ADBCEFGHab由此得： 一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ACBDE(FGH)ab*問題四：上式中等號(hào)成立的條

2、件: _*問題二：上式中等號(hào)成立的條件: _得出結(jié)論：a+b 2ab(a,bR)預(yù)備不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。*問題三：當(dāng)a0,b0時(shí)，由上式得： a + b 2 a b得出結(jié)論：均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)知識(shí)點(diǎn)2：均值不等式的簡單應(yīng)用（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）常見變形例1:(1)已知x0, y0, xy=16, 求x+y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值題型一：已知積為定值，求和的最小值例2：已知2x+3y=2（x0,y0)求xy 的最大值。題型二：已知和為定值，求積的最大值解答過程解答過程例1:(1)已知x0, y0, xy=16, 求x+y的最小值，并說明此時(shí)x,y

3、的值一正二定三相等可以應(yīng)用均值不等式的先決條件存在最值能夠取到最值的條件返回例題例2：已知2x+3y=2（x0,y0)求xy 的最大值。一正二定三相等返回例題如果積xy是定值P，那么x+y2 ，當(dāng)x=y時(shí)，x+y=2 ,即x+y有最小值.如果和x+y是定值S，那么xy ，當(dāng)x=y時(shí),xy= ，即xy有最大值.小結(jié)1：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）簡言之：(積定和最小) 簡言之：(和定積最大)知識(shí)點(diǎn)2：均值不等式在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用例1: (1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短最短的籬笆是多少？(2)一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問

4、這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？x my m解答過程因此,這個(gè)矩形的長、寬都為10 m時(shí)，所用的籬笆最短，最短籬笆是40 m.當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立。因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81 m2（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù)（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值. (積定和最小) 兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值. (和定積最大)（3）三相等:求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“”，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤（取不到等號(hào)則說明無最值）利用 求最值時(shí)要注意下面三條：課堂小結(jié)1、當(dāng)x0時(shí)， 的最小值為 ，此時(shí)x= 。 2、若實(shí)數(shù) 且 ，則 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、 D213.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值小試牛刀3.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，