復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)

1、復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)第一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義2.1 解析函數(shù)的概念GO2. 解析函數(shù)的概念第二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果極限 存在，則稱函數(shù)f (z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f (z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。第三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 (1) z0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。 (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例1第四

2、張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然數(shù)).證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有-實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣第五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)第六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中: w=f (z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0

3、。思考題第七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解第八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 證明 f (z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明第九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 (1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因?yàn)閦0是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原故。 (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。第十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(3)可導(dǎo)與連續(xù)若 w=f (z) 在點(diǎn) z0 處可導(dǎo) w=

4、f (z) 點(diǎn) z0 處連續(xù).?第十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二. 解析函數(shù)的概念定義 如果函數(shù)w=f (z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱f (z)在z0解析； 如果f (z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 f (z)在D內(nèi)解析，或稱f (z)是D內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f (z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f (z)的奇點(diǎn)。 (1) w=f (z) 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)f (z)在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。第十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例如(1) w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析

5、函數(shù)；(2) w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)； (3) w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例4)。定理1 設(shè)w=f (z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù)。第十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 2 設(shè) w=f (h) 在 h 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析, h=g(z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值集合 G，則復(fù)合函數(shù)w=f g(z)在D內(nèi)處處解析。第十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2.2 解析函數(shù)的

6、充要條件 1. 解析函數(shù)的充要條件 2.舉例第十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？第十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一. 解析函數(shù)的充要條件第十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 記憶定義 方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡(jiǎn)稱C-R方程).第二十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

7、定理1 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在點(diǎn) (x, y ) 可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有第二十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證明（由f (z)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微）。函數(shù) w =f (z)點(diǎn) z可導(dǎo)，即則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且第二十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月u+iv =

8、 (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y所以u(píng)(x, y)，v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微.第二十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 （由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：第二十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6

9、月第二十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來. 利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的.第二十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月使用時(shí): i) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證C-R條件.iii) 求導(dǎo)數(shù)： 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的, 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意

10、, 并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.第二十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二. 舉例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解 (1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則第二十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny第二十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月僅在點(diǎn)z = 0處滿足C-R條件，故解 (3) 設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則第三十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求證函數(shù)證明 由于

11、在z0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f (z)在z0處解析，其導(dǎo)數(shù)為第三十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 證明第三十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)， 且 確定第三十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí): a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第三十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2.3初等函數(shù)3. 對(duì)數(shù)函數(shù)1. 指數(shù)函數(shù)2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)4. 冪函數(shù)5. 反三角函數(shù)第三十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一

12、. 指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義第三十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。第三十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1例2例3第三十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義第四十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)第四十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題第四十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的

13、定義(詳見P51)第四十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)第四十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三. 對(duì)數(shù)函數(shù)定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，(1) 對(duì)數(shù)的定義第四十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月故第四十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 第五十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見1-6例1第五十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4第五十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四. 乘冪 與冪函數(shù) 乘冪ab定義 多值一般為多值第五十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月q支第五十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 (2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a 的 n次根意義一致。 (1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a 的n次冪 意義一致。第五