排列組合問題種方法教育課件

1、排列組合問題17種方法 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有 m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2 種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法復(fù)習(xí)鞏固1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。解決排列組合綜合性問題的一般過(guò)程

2、如下:1.認(rèn)真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還 是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多 少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是 組合(無(wú)序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多 少個(gè)元素.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交 叉，因此必須掌握一些常用的解題策略從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。1.排列的定義:2.組合的定義:3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:排列與組合的關(guān)鍵是問題與次序有無(wú)關(guān)系。5 加法原

3、理和乘法原理：完成任務(wù)時(shí)是分類進(jìn)行還是步進(jìn)行。特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù). 解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有_ 然后排首位共有_最后排其它位置共有_由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里

4、，問有多少不同的種法？練習(xí)題解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：小結(jié)：當(dāng)排列或組合問題中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的時(shí)候，那么，一般先按排這些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。相鄰元素捆綁策略 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰, 共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 要求某幾個(gè)元素

5、必須排在一起的問題,可以用捆綁法來(lái)解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.不相鄰問題插空策略 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè) 獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出 場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共 有 種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 不同的方法 由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ）練習(xí)題20某班新年聯(lián)歡

6、會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）30練習(xí)題定序問題倍縮空位插入策略 7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多 少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： （空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法 1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法

7、4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？環(huán)排問題線排策略 5人圍桌而坐,共有多少種坐法? 解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從 此位置把圓形展成直線其余4人共有_ 種排法即 ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈60設(shè)六顆顏色不同的鉆石為a,b,c d,e,f.與圍桌而坐情形不同點(diǎn)是a,b,c,d,e,f與f,e,d,c,b,a在圍桌而坐中是兩種排法，

8、即在鉆石圈中只是一種排法,即把鉆石圈翻到一邊,所求數(shù)為：(61)!/260 要考慮“鉆石圈”可以翻轉(zhuǎn)的特點(diǎn) 多排問題直排策略8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有_種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有_種,則共有_種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_346練習(xí)題重排問

9、題求冪策略 把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有 多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車間有 種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配 到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有 種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為 種nm1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 422. 某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們 到各自的一層下電梯,下電梯的方法（ ）練習(xí)題分組問題

10、6本不同的書分成3份,（1）1份3本.1份2本，1份1本共有多少法？（2）1份4本，另2份各1本共有多少法？（3）每份2本共有多少法？平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。分配問題有6個(gè)不同的小球,裝入ABC3個(gè)不同的盒內(nèi), (1）每盒各裝2個(gè)（2）A中3個(gè)，B中2個(gè)，C中1個(gè)（3）A中4個(gè)，B中1個(gè)，C中1個(gè)（4）1個(gè)盒子裝4個(gè)，另2個(gè)盒子個(gè)裝1個(gè)（5）1個(gè)盒子裝3個(gè)，1個(gè)盒子裝2個(gè)， 一個(gè)盒子裝1個(gè)（6）每個(gè)盒子至少1個(gè)練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且

11、只有1人參加,則不同的選法有_ 種1921 將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4 個(gè)隊(duì), 有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人 但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同 的分組方法 （1540）3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 小集團(tuán)問題先整體局部策略.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,這兩個(gè)奇數(shù)之 間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把,當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有_種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)

12、排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國(guó)畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_2. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_種元素相同（指標(biāo)分配）問題隔板策略.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有_種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整

13、數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一 有多少裝法？2 .x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解 的組數(shù)正難則反總體淘汰策略 .從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三 個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很 困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有_,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_,和為偶數(shù)的取法共有_再淘汰和小于10的偶數(shù)共_符合條件的取法共有_ 90130150170230

14、25027041045043+- 9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?練習(xí)題5個(gè)人排隊(duì)，甲不站頭，乙不站尾有多少種練習(xí)題. 合理分類與分步策略 .在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能 能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人 唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞 3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有_種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員_

15、種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有_種，由分類計(jì)數(shù)原理共有_種。+本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_ 34 練習(xí)題2. 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人, 2 號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x 2

16、只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法.27構(gòu)造模型策略 . 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān) 掉相鄰的2盞,也不能關(guān)掉兩端的2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞 亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈 有_ 種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120實(shí)際操作窮舉策略 .設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2 3,4,5的

17、五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,. 有多少投法 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種 還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒345實(shí)際操作窮舉策略 .設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2 3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,. 有多少投法 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種 還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果

18、剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法, 同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2 種 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題 同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來(lái), 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則 不同的著色方法有_種2134572分解與合成策略 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235 7 1113依題 意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè) 因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：例17.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面 直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四 體共有體共_每個(gè)四面體有_對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成_對(duì)異面直線6658=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一