2-3 導(dǎo)數(shù)中的差值比值問(wèn)題-讀者版

1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題3導(dǎo)數(shù)中的差值比值問(wèn)題完成了外函數(shù)分而治之，那么同個(gè)函數(shù)內(nèi)部的那些構(gòu)造也被拿上了臺(tái)面，關(guān)于fx)f(x2)極值之差問(wèn)題，還有fx)+fx2)極值之和問(wèn)題，這里我們會(huì)簡(jiǎn)單介紹一下極值偏移和拐點(diǎn)偏移的原理。關(guān)于x1x2的比值代換，甚至需要切線夾放縮的x1x2。這些題起源于高考，反復(fù)演變，正在逐漸取代之前傳統(tǒng)的利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值的問(wèn)題，知識(shí)反復(fù)更新和迭代的過(guò)程中，我們確實(shí)需要更新數(shù)學(xué)模型和方法.第一講極值之差例1.(2020攀枝花一模)已知函數(shù)f(x)=x1inx(G).x(I)求曲線=f(x)在點(diǎn)(，-L處的切線方程；(II)若函數(shù)(x)=x2.f(x

2、)+2inx-(其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)x、x，且xx,1212求(x)-(x)的取值范圍.12例2.(2019廣東期末)已知函數(shù)f(x)=2inx+x2-xG)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，其中xx)，若f(x)-f(x)的最大值為2in2，求實(shí)數(shù)的1221212取值范圍例4.(2018四川模擬)已知函數(shù)f(x)=1x2-;+inx(g).2(1)當(dāng)=-1時(shí)，求曲線f(x)在x=1處的切線方程；12(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x(xx)，求的取值范圍，并證明f(x)-f(x)2+2in.1212122ae例5.(2019長(zhǎng)沙期末)已知f(x)=x2-2j+inx.(I)當(dāng)=

3、1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;x(xx)212求2f(x)-f(x)的最小值.12(I)若f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)x,1x2例6.(2019蕪湖校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)=(*1)inx+.2(口)若=2，求曲線=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的方程;(口)設(shè)函數(shù)g(%)=f(%)有兩個(gè)極值點(diǎn),x，其中xG(0，加，求g(X1-g(x)的最小值.12112例7.(2019新課標(biāo)0)已知函數(shù)f(X)=2X3-ax2+2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0a3時(shí)，記f(x)在區(qū)間0,1的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍.例8.(2019和平區(qū)校級(jí)月考

4、)已知函數(shù)f(x)=-x2+ain(1-x),a為常數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，且x-2吧.1212218例9.(2020遂寧模擬)已知函數(shù)f(x)=ainx-ax+1(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x2-1有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x(x中x).且不等式g(x)+g(x)0，函數(shù)f(x)=皿1+ax)-.(口)討論f(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性;求a的取值范圍.(口)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，且f(x)+f(x)0例11.(2020鄭州一模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x-in(口)若f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處

5、的切線與直線y=2x+1平行，求f(x)在點(diǎn)(1,f(1)的切線方程；(口)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，求證：f(x)+f(x)2in2-3.1212例12.(2019湖南期末)已知函數(shù)f(x)=inx+1-2a-x+a有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x,x.x12(1)求a的取值范圍.(2)求f(x)的極大值與極小值之和的取值范圍.(3)若me(0,1),ne(1,+8)，則f(m)-f(n)是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.22學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)_X+X_TOC o 1-5 h zD(x)+1(X)(-2)根據(jù)琴生Jensen)不等式，當(dāng)口(X)口(-2)

6、數(shù)，二四象限的反比例函數(shù)均為上凸函數(shù)；當(dāng)(X)0時(shí)，122，我們稱(chēng)之為下凹函數(shù)，通常指數(shù)函數(shù)，開(kāi)口向上二次函數(shù)均為下凹函數(shù).極值偏移：若口(X)有極值(X)=1(X)，若存在口(X)=1(X)，當(dāng)22X時(shí)，稱(chēng)為極大值左偏，當(dāng)max01220坐乙X20min01220時(shí)，稱(chēng)為極小值左偏，當(dāng)小22X。，x=92處切線與X軸不平行；(圖1)1202X+XX+X若口(X)上凸(X)遞減)，則-12(X。)=0.00k27k27極值點(diǎn)右偏：X+-,(X。)=0，若口(X)下凸(1(X)遞增)，則-1_20時(shí)，則極大值左偏，極小值右偏；函數(shù)(-)0時(shí)，則極大值右偏，極小值左偏(正負(fù)號(hào)由極小值偏移方式?jīng)Q定，

7、極大值則相反方向偏移)；例13.(2018浙江)已知函數(shù)口(-)=8-8ln2；121212(口)若0，直線口=Dx+口與曲線口=1(x)有唯一公共點(diǎn).第三講比值函數(shù)最早出現(xiàn)在2014天津卷，涉及參變分離和基礎(chǔ)找點(diǎn)比大小，有關(guān)X1+X2，要轉(zhuǎn)化為-1+叱來(lái)進(jìn)行構(gòu)造成口口四的函數(shù)，之前在證明對(duì)數(shù)平均不等式用到比值換元函數(shù)，比值換元一般用在對(duì)數(shù)函數(shù)里面，指數(shù)函數(shù)都需要轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)來(lái)進(jìn)行構(gòu)造，類(lèi)似于指數(shù)平均不等式可以用對(duì)數(shù)來(lái)證明一樣。我們先看幾個(gè)例題.例14.(2014天津)設(shè)口(x)=x-DDx叩g口)，G口，已知函數(shù)口=1(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x，x，且xx.1212(口)求口的取值范圍；口(口)證明：

8、x隨著口的減小而增大；口x1(口)證明x+x隨著口的減小而增大.口12例15.(2019邢臺(tái)期末)已知函數(shù)(x)=x2-2Ux+口叩加g口)，若口(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x(xx)，且TOC o 1-5 h z1212x2x，則口的取值范圍是()21A.(0,-)B.(-8,)C(也,-)D.(0,)e22e2例16.(2018武昌區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)1(x)=mx+-1皿g1)，其中無(wú)理數(shù)1=2.718.ex(1)若函數(shù)(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍.11x(2)若函數(shù)(x)=(x-2)Dx-Ox3+Ox2的極值點(diǎn)有三個(gè)，最小的記為x，最大的記為x，若一的最大3212x2值為1,求x+x的

9、最小值.D12第四講切線夾放縮解決x2-x1問(wèn)題最早出現(xiàn)切線夾放縮在2015年天津高考卷,我們先來(lái)看一下這一文一理兩題,然后逐步尋找這類(lèi)題背后的邏輯.例17.(2015天津)已知函數(shù)口(x)=4x-x4,xg.(口)求口(x)的單調(diào)區(qū)間；口(口)設(shè)曲線口=1(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn)處的切線方程為口=口(x)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有口(x)口(x)；(口)若方程口(x)=口叩為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x,x，且xx，求證：x-x2.(I)討論口(x)的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線口=1(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線在點(diǎn)處的切線方程為口=口(x)，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有口(x)口(

10、x)；(III)若關(guān)于x的方程口(x)=口叩為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x,x，求證：Ix-xk+2.12211-D例19.（2020合肥一模）已知函數(shù)f（=4（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.ex在x=x處的切線方程;0（1）求函數(shù)f（的零點(diǎn)x，以及曲線y=fx0求證：x-x0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x，x12例題19雖然是根據(jù)執(zhí)果索因得出要證明當(dāng)1-行x21時(shí)，fx1-x，但是再解完題反思的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)fx=x2-2x-1，fx=-x2+4x-1=0ox=23，顯x=2-33g2，1）也就exex是說(shuō)在x1g-1，1-v2這個(gè)區(qū)間，沒(méi)有拐點(diǎn)，函數(shù)的切線斜率一直遞減，故在x=-1處取得的切線就一定恒在函數(shù)fx上方；但

11、x2g-v2，1這個(gè)區(qū)間有了一個(gè)拐點(diǎn)，斜率先減后增，所以在x=1處的切線方程不滿足恒在函數(shù)fx上方，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)fx過(guò)點(diǎn)，10處的切線方程，即構(gòu)造切線不等式fx0恒成立，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)方程fx-gx-m=0m1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x，x且xx.證明：x4m1212x1-me-11達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（2019新課標(biāo)0）已知函數(shù)fx=2x3-ax2+b.（1）討論fx的單調(diào)性；（2）是否存在a,b，使得fx在區(qū)間01的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，說(shuō)明理由（2019思明區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)fx（1）若m=-3，討論函數(shù)fx的單調(diào)性，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（2）若fx有

12、兩個(gè)極值點(diǎn)x,xxx,且m-圭&，求fx-fx的最小值.1212212（2018開(kāi)封三模）已知函數(shù)fx=x+x，gx=fx+x2-bx與直線x+2y=0垂直.2（I）求fx在x=1處的切線方程;（II）當(dāng)b=4時(shí)，求函數(shù)gx=fx+1x2-bx的單調(diào)遞減區(qū)間;2（III）設(shè)x,xx,求gx-gx的最小值.12122124.（2019烏魯木齊模擬）已知函數(shù)fx1x2-ax+a2學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)(I)求函數(shù)f(的單調(diào)區(qū)間；9TOC o 1-5 h z(II)右a，且x，xx0bgR)(I)設(shè)b=a+2，若fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，且i-x1,求證

13、：fx-fx3-2n121212(II)設(shè)gx=xfx)gx在,1e上不單調(diào)，且2b+1e恒成立，求a的取值范圍.e為自然對(duì)數(shù)的a底數(shù))(2020鎮(zhèn)江一模)已知函數(shù)fx=x+ax2-xagR)(1)當(dāng)a=0，證明：fxx-1；(2)如果函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x,xxx,且fx+fxk恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;121212(3)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2018菏澤期末)已知函數(shù)fx=x-ax-2x2-2，其中a為正實(shí)數(shù).(1)若函數(shù)y=fx在x=1處的切線斜率為2,求a的值；(2)求函數(shù)y=fx的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)y=fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，求證：fx+fx6-a.1212(201

14、9湖南月考)已知函數(shù)fx=x2-2x+axagR)(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x,xxmx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.121212(2019煙臺(tái)期中)已知函數(shù)fx=mx-x+mmgR)x(1)討論fx的單調(diào)性；(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x,xo，不等式fx1+fx20.bgR.e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).ax2+bx+1(1)若b=1,且當(dāng)x0時(shí)，fx1總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；3(2)若b=0，且fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，求證：1+fx+fx.，一，.44m（2）若m1，并且fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x、x，求證：一2.12已知函數(shù)fx=a.ex-2x2-ba,bgR,e是自然對(duì)

15、數(shù)的底數(shù)）.（1）若函數(shù)fx在x=0處的切線方程為y=x-1,求實(shí)數(shù)a,b的值;（2）若函數(shù)fx在x和x處取得極值，且工2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.12x1（2019和平區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)fx=x-mx,mgR.（I）求fx的極值;(II)證明：m=0時(shí)，exfx+2TOC o 1-5 h z（III）若函數(shù)gx=x-e）x有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為x,x,x，設(shè)xxx且x3的最123123x12e2+1大值是e2,證明：x1x3ee2-1.17.已知函數(shù)fx=x-aex有兩個(gè)零點(diǎn)x,x，且x1B.x-x隨著a的增大而減小e12C.xx2,212x1則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2019岳麓區(qū)校級(jí)

16、模擬)已知函數(shù)f()1ax2+x.2x(I)當(dāng)a0時(shí)，討論函數(shù)f(的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(II)若f(有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，證明：fx+fx)3-42.1212(2019天心區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)fx=x-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x,x，且x0，求實(shí)數(shù)a的取值范121212圍(2019吳江區(qū)月考)已知函數(shù)fx=x-min0,m0.(1)當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)fx在x=1處的切線方程；(2)當(dāng)xg,1e時(shí)，恒有fx)0成立，求滿足條件的m的范圍；(3)當(dāng)m=e時(shí)，令方程fx=t有兩個(gè)不同的根x,x，且滿足xx,求證：x-xXx-1在0+8上恒成立，求實(shí)數(shù)入的值；(3)關(guān)于x的方程fx=a有兩個(gè)實(shí)根x1,x-，求證：i-xhx,(3)若關(guān)于x的方程fx=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x,x，且xx,證明：x-xgx(2)若方程fx=mmgR有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x，x，求證：i-xm+m1212e26(2018道里區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)fx=ax-ex+1，是fx的極值點(diǎn).(I)求a的值；(II)設(shè)曲線y=fx與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線為直線/.求證：曲線y=fx上的點(diǎn)都不在直線l的上方；(III)若關(guān)于x的方程fx=mm0有兩個(gè)不等實(shí)根x,xxx,求證：x-x2-7m.12122110(2018淄博二模)已知函數(shù)gx=x,