學(xué)案 函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系

1、3.2第1課時函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系新課標(biāo)新學(xué)法課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)零點的概念.2.會求函數(shù)的零點.3.能結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖像，了解函數(shù)的零點與方程解的關(guān)系學(xué)習(xí)重點：1.函數(shù)零點的概念.2.函數(shù)的零點與其對應(yīng)方程解的關(guān)系學(xué)習(xí)難點：1.求函數(shù)的零點.2.函數(shù)的零點與其對應(yīng)不等式解集之間的關(guān)系.核心概念掌握【情境導(dǎo)學(xué)】在二次函數(shù)yx22x3中令y0得x22x30，這是一個一元二次方程，那么這個一元二次方程的根與前面二次函數(shù)的圖像有什么關(guān)系呢？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一函數(shù)零點的概念(1)一般地，如果 ，即 ，則稱為函數(shù)yf(x)的零點(2)是函數(shù)f(x)零點的充分必要條件是 知識

2、點二 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的零點(1)當(dāng)b24ac0時，方程ax2bxc0的解集中有 個元素 ，且 是f(x)的 個零點，f(x)的圖像與x軸有 個公共點 (2)當(dāng)b24ac0時，方程ax2bxc0的解集中 元素 ，且 是f(x) 的零點，f(x)的圖像與x軸有 個公共點(3)當(dāng)b24ac0時，方程ax2bxc0 實數(shù)根，此時f(x) 零點，f(x)的圖像與x軸 公共點【新知拓展】1函數(shù)的零點不是一個點，而是f(x)0的根，是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)2方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點【評價自測】1判

3、一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)所有的函數(shù)都有零點()(2)若方程f(x)0有兩個不等實根x1，x2，則函數(shù)yf(x)的零點為(x1,0)，(x2,0)()(3)不論實數(shù)a取什么值，不等式ax2bxc0的解集一定與函數(shù)f(x)ax2bxc的零點有關(guān)()2做一做(1)下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是()(2)函數(shù)f(x)x25x的零點是_核心素養(yǎng)形成題型一 求函數(shù)的零點例1求下列函數(shù)的零點(1)f(x)x27x6；(2)f(x)eq f(x24x12,x2).【金版點睛】求函數(shù)零點的方法函數(shù)的零點就是對應(yīng)方程的根，求函數(shù)的零點常有兩種方法：(1)令f(x)0，方程f(x)0的根就是函數(shù)

4、的零點；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像，圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練1)(1)若函數(shù)f(x)x2xa的一個零點是3，求實數(shù)a的值，并求函數(shù)f(x)其余的零點；(2)求下列函數(shù)的零點：yx2x20；y(x22)(x23x2)；yx37x6；f(x)x41.題型二 函數(shù)零點的個數(shù)問題例2函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0)的零點個數(shù)是()A0 B1 C2 D3【金版點睛】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接求出函數(shù)的零點進行判斷(2)結(jié)合函數(shù)圖像進行判斷eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練2)設(shè)函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x

5、2bxc，x0，,2，x0，)若f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4題型三 利用函數(shù)的零點求不等式的解集例3利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)2x2x60.【金版點睛】利用函數(shù)的零點求不等式解集的一般步驟(1)根據(jù)所求不等式設(shè)出函數(shù)；(2)求出函數(shù)的零點；(3)根據(jù)函數(shù)的圖像寫出不等式的解集eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練3)求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)x23x10；(3)4x24x10.題型四 函數(shù)f(x)g(x)h(x)的零點問題例4已知函數(shù)f(x)|x22x|a，求滿足下列條件的a的取值范圍(1)函數(shù)f(x)沒有零點；

6、(2)函數(shù)f(x)有兩個零點；(3)函數(shù)f(x)有三個零點；(4)函數(shù)f(x)有四個零點【金版點睛】轉(zhuǎn)化思想在求解函數(shù)零點問題中的應(yīng)用求解函數(shù)f(x)g(x)h(x)的零點，求方程g(x)h(x)的實數(shù)根和求函數(shù)f(x)g(x)h(x)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)均可轉(zhuǎn)化為探究函數(shù)g(x)和h(x)圖像的交點情況觀察圖像，數(shù)形結(jié)合，易于解決問題eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練4)對實數(shù)a和b，定義運算“”：abeq blcrc (avs4alco1(a，ab1，,b，ab1.)設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(x1)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()A(1,1(2，)

7、 B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1隨堂水平檢測1函數(shù)y4x2的零點是()A2 B(2,0)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0) Deq f(1,2)2下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是()3不等式6x2x20的解集為()A.eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(1,2)B.eq blc(rc(avs4alco1(，f(2,3)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)D.eq blc(rc(avs4alco1(，f(2,3)4已知函數(shù)f(x)x2axb的兩個零點是2

8、和3，則函數(shù)g(x)bx2ax1的零點是_5利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)x27x6；(2)(5x)(x1)0.參考答案核心概念掌握【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一函數(shù)零點的概念(1)函數(shù)yf(x)在實數(shù)處的函數(shù)值等于零 f()0(2)(，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點知識點二 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的零點(1)兩 x1，x2 x1，x2 兩 兩 (x1,0)，(x2,0)(2)只有一個 x0 x0 唯一 一(3)沒有 無 沒有【評價自測】1【答案】(1)(2)(3)2【答案】(1)D(2)0和5核心素養(yǎng)形成題型一 求函數(shù)的零點例1解：(1)解方程x27x60，得x1或x6，所以函數(shù)的零點

9、是1，6.(2)解方程eq f(x24x12,x2)0，得x6，所以函數(shù)的零點為6.eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練1)解：(1)由題意，知f(3)0，即(3)23a0，a6，f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.函數(shù)f(x)其余的零點是2.(2)令y0，即x2x200，解得x15，x24，所以所求函數(shù)的零點為5,4.令y0，即(x22)(x23x2)0，(xeq r(2)(xeq r(2)(x1)(x2)0，解得x1eq r(2)，x2eq r(2)，x31，x42，所以所求函數(shù)的零點為eq r(2)，eq r(2)，1,2.因為x37x6(x3x)(6x6)x(x21)6(x1)x(

10、x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)，所以由x37x60，得x13，x21，x32，所以所求函數(shù)的零點為3,1,2.由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，所以方程x410的實數(shù)根是x11，x21.故函數(shù)的零點是1,1.題型二 函數(shù)零點的個數(shù)問題例2【答案】C【解析】解法一：方程x20(x0)的根為x1，所以函數(shù)f(x)有2個零點：2與1.解法二：畫出函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0)的圖像，如圖所示，觀察圖像可知，f(x)的圖像與x軸有2個交點，所以函數(shù)f(x)有2個零點eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練2)【答案】C【解析】由f

11、(4)f(0)，f(2)2，得eq blcrc (avs4alco1(164bcc，,42bc2.)eq blcrc (avs4alco1(b4，,c2.)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x24x2，x0，,2，x0.)當(dāng)x0時，f(x)x24x2x，解得x1或x2.當(dāng)x0時，f(x)2x，解得x2.方程f(x)x的解有3個故選C.題型三 利用函數(shù)的零點求不等式的解集例3解：(1)設(shè)f(x)2x2x6，令f(x)0，得2x2x60，即2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,4)2eq f(47,8)0，該方程無解因此函數(shù)f(x)無零點，從而f(x)的圖像與x軸沒有

12、交點，又因為函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，因此可得所求不等式的解集為R.(2)設(shè)f(x)x26x9，令f(x)0，得x26x90，即(x3)20，從而x3.因此函數(shù)f(x)的零點為3，從而f(x)的圖像與x軸相交于(3,0)，又因為函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，因此可得所求不等式的解集為3(3)設(shè)f(x)x22x3，令f(x)0，得x22x30，即(x3)(x1)0，從而x3或x1.因此3和1都是函數(shù)f(x)的零點，從而f(x)的圖像與x軸相交于(3,0)和(1,0)又因為函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，因此可得所求不等式的解集為(，1)(3，)eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練3)解：(1)因為824(1

13、)(3)520，所以方程x28x30有兩個不等實根x14eq r(13)，x24eq r(13)，又二次函數(shù)yx28x3的圖象開口向下，所以原不等式的解集為x|4eq r(13)x0，所以方程x23x10有兩個不等實數(shù)根x1eq f(3r(5),2)，x2eq f(3r(5),2)，所以原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3r(5),2)xf(3r(5),2).(3)設(shè)f(x)4x24x1，令f(x)0，得4x24x10，即(2x1)20，從而xeq f(1,2).因此函數(shù)f(x)的零點為eq f(1,2)，從而f(x)的圖像與x軸相

14、交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，又因為函數(shù)圖像是開口向下的拋物線，因此可得所求不等式的解集為.題型四 函數(shù)f(x)g(x)h(x)的零點問題例4 解：函數(shù)y|x22x|的圖像如圖所示(1)函數(shù)f(x)沒有零點，即函數(shù)ya與y|x22x|的圖像沒有交點，觀察圖像可知，此時a1.(3)函數(shù)f(x)有三個零點，即函數(shù)ya與y|x22x|的圖像有三個交點，由圖像易知a1.(4)函數(shù)f(x)有四個零點，即函數(shù)ya與y|x22x|的圖像有四個交點，由圖像易知0a1.eq avs4al(跟蹤訓(xùn)練4)【答案】B【解析】令(x22)(x1)1，得1x2，則f(x)eq blcr

15、c (avs4alco1(x22，1x2，,x1，x2.)函數(shù)yf(x)c的圖像與x軸恰有兩個公共點，即函數(shù)f(x)的圖像與直線yc恰有兩個公共點畫出函數(shù)f(x)的圖像(如圖)可得實數(shù)c的取值范圍是(2，1(1,2隨堂水平檢測1【答案】D【解析】令y4x20，得xeq f(1,2).函數(shù)y4x2的零點為eq f(1,2).2【答案】A【解析】因為B，C，D函數(shù)的圖像均與x軸有交點，所以函數(shù)均有零點，A的圖像與x軸沒有交點，故函數(shù)沒有零點故選A.3【答案】A【解析】設(shè)f(x)6x2x2，令6x2x20.得(2x1)(3x2)0，從而xeq f(1,2)或xeq f(2,3).由函數(shù)f(x)的圖像可知所求不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(1,2).故選A.4【答案】eq f(1,2)，eq f(1,3)【解析】由題意知，方程x2axb0的兩根為2,3，eq blcrc (avs4alco1(23a，,23b，)即a5，b