專題五 數(shù)列解答題的解法

1、專題五 數(shù)列解答題的解法第1頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日第二部分高考題型解法訓(xùn)練專題五 數(shù)列解答題的解法第2頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日1.近三年高考各試卷數(shù)列考查情況統(tǒng)計(jì) 2005年高考各地的16套試卷中，每套試卷均有1道數(shù)列解答試題，處于壓軸位置的有6道.由此知，數(shù)列解答題屬于中檔題或難題.當(dāng)中，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的試題有11道，有關(guān)遞推數(shù)列的有8道，關(guān)于不等式證明的有6道.另外，等比求和的錯(cuò)位相減法，廣東卷的概率和數(shù)列的交匯，湖北卷的不等式型的遞推數(shù)列關(guān)系都是高考試題中展現(xiàn)的亮點(diǎn).專題五 數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)第3頁，共36頁

2、，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日 2006年的18道數(shù)列解答試題中，與函數(shù)綜合的有6道，涉及數(shù)列不等式證明的有8道，北京還命制了新穎的“絕對差數(shù)列”,值得一提的是，其中有8道屬于遞推數(shù)列問題，這在高考中是一個(gè)重點(diǎn). 2007年高考的各套試卷中都有數(shù)列題，有3套試卷是在壓軸題的位置，有5套是在倒數(shù)第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，涉及到遞推數(shù)列的有6道.專題五 數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)第4頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日 綜上可知，數(shù)列解答試題是高考命題的一個(gè)必考且難度較大的題型，其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.當(dāng)中，以函數(shù)迭代、解

3、幾何曲線上的點(diǎn)列為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，而命題的冷點(diǎn)是數(shù)列的應(yīng)用性解答題.專題五 數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)第5頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日2.主要特點(diǎn)： 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容，由于在測試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位，近幾年更是有所加強(qiáng). 數(shù)列解答題大多以數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)

4、用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，其難度屬于中、高檔難度.專題五 數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)第6頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日1.考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列極限以及數(shù)學(xué)歸納 法等基本知識(shí)、基本技能.2.常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，考查 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程中知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)， 進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng).3.常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí) 和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間.專題五 數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)第7頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日應(yīng)試策略 1.熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)列的基本知識(shí)是

5、解決數(shù)列問題的基礎(chǔ). (1)等差、等比數(shù)列的判定： 利用定義判定； an+an+2=2an+1 an是等差數(shù)列，anan+2= (an0) an 是等比數(shù)列； an=an+b(a,b為常數(shù)) an是等差數(shù)列； Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和) an是 等差數(shù)列.專題五 數(shù)列解答題的解法第8頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日(2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用：注意下標(biāo)、奇、偶項(xiàng)的特 點(diǎn)等.(3)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，這類問題常利用 an= 求解.(4)用遞推公式給出的數(shù)列，常利用“歸納猜想證明” 的方法求解.(5)數(shù)列求和的基本方法： 公式

6、法(利用等差、等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式或正整數(shù)的方 冪和公式）； 錯(cuò)位相減法(等比數(shù)列求和推導(dǎo)的基本方法)； 倒序相加法； 裂(拆)項(xiàng)法等.專題五 數(shù)列解答題的解法應(yīng)試策略 第9頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日2.注意函數(shù)思想與方程思想在數(shù)列中的運(yùn)用. 由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列問題與函數(shù)、方程有著密切的聯(lián)系，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為n的二次函數(shù)，有關(guān)前n項(xiàng)和的最大、最小值問題可運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決.等差(比)數(shù)列問題，通過涉及五個(gè)元素a,d(q)，an，n，Sn ，利用方程思想，熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列出方程或方程組，并求出未知元素，是應(yīng)當(dāng)掌握的基本技

7、能.專題五 數(shù)列解答題的解法應(yīng)試策略 第10頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日3.數(shù)列問題對能力要求較高，特別是運(yùn)用能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力更為突出. 在高考解答題中更是能力與思想的集中體現(xiàn)，尤其是近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們的足夠重視.專題五 數(shù)列解答題的解法應(yīng)試策略 第11頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日考題剖析 1.（2007湖南省示范性高中模擬題）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n(2n1),(nN*). (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并證明該數(shù)列為等差數(shù)列； (2) 設(shè)數(shù)列bn=S1+ + + (nN*),

8、 試判定：是否存在自然數(shù)n,使得bn=900，若存在, 求出n的值；若不存在，說明理由.專題五 數(shù)列解答題的解法第12頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解析(1) 當(dāng)n2時(shí)， an=SnSn1=n(2n1)(n1)(2n3)=4n3， 當(dāng)n=1時(shí), a1=S1=1, 適合, an=4n3， 而anan1=4(n2)， 所以an為等差數(shù)列.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第13頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日(2) = 2n1, bn=S1+ + + =1+3+5+7+ +(2n1)=n2, 由n2=900, 得n=30, 即存在滿足條件的自然數(shù)為

9、30.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法點(diǎn)評由于題目給出是的Sn與n的關(guān)系，故在求通項(xiàng)時(shí) 要注意n2與n=1的情況，第2問涉及到的是等差 數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)，如果Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng) 和，則 也是等差數(shù)列.第14頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日2.（2007江蘇九大名校模擬題）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為 正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍， 且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列 lgan的前多少項(xiàng)和最大？(取lg2=0.3, lg3=0.4) 分析突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對數(shù)構(gòu)成 等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定

10、是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù) 之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可 由函數(shù)解析式求最值. 考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第15頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解析解法1：設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*, 依題意有 化簡得 考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法 解 得第16頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=lga1+lg(a1q2) + +lg(a1qn1) =lg(a1nq1+2+(n1) =nlg a1+ n(n1)lgq =n(2lg2+3lg3) n(n1)lg3 =( )n

11、2+(2lg2+ lg3)n可見，當(dāng)n= 時(shí)，Sn最大.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第17頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日而 = = 5,故lgan的前5項(xiàng)和最大.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第18頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解法2：接前，a1=108, q= , 于是lgan=lg108( )n1=lg108+(n1)lg , 數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng)，以lg 為公差的等差數(shù) 列，令 lgan0,得2lg2(n4)lg30， n = = 5.5. 由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大.點(diǎn)評本題主要考查等比數(shù)列的基本

12、性質(zhì)與對數(shù)運(yùn)算法 則， 等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第19頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日3.(2006開封市高三質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an滿足 2an+1=an+an+2(n=1,2,3,),它的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=5,S6=36. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)已知等比數(shù)列bn滿足b1+b2=1+a,b4+b5=a3+a4(a1). 設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第20頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解析(1)由2an+1=an+an+2

13、an+2an+1=an+1an,則an為等差數(shù)列， an=2n1. 考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第21頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日(2)設(shè)bn的公比為q,q3= =a3, q=a. 由b1+b2=1+a, 得 b1(1+a)=1+a,a1，b1=1.則bn=b1qn1=an1,anbn=(2n1)an1, Tn=1+3a+5a2+7a3+(2n1)an1 , 當(dāng)a1時(shí)，aTn=a+3a2+5a3+(2n1)an, 由得考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第22頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日(1a)Tn=1+2a+2a2+2an1(2n1

14、)an = 1(2n1)an. Tn= . 當(dāng)a=1時(shí)，Tn=n2.點(diǎn)評本題考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用錯(cuò) 位相減求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，注意公比等于1的情 況，考查推理及運(yùn)算能力. 考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第23頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日4.(2007南京模擬題）已知等差數(shù)列an滿足a3+a6= , a1a8= 且a1a8.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）把數(shù)列an的第1項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)、第3n 2項(xiàng)、分別作為數(shù)列bn的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第3 項(xiàng)、第n項(xiàng)、，求數(shù)列 的所有項(xiàng)之和； （）設(shè)數(shù)列Cn的通項(xiàng)為Cn=n ，試比較 (n+1)(n+2)Cn

15、+n(n+1)Cn+2與2n(n+2) Cn+1的大小.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第24頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解析（）an為等差數(shù)列，a3+a6=a1+a8= ，又 a1a8= 且a1a8 求得a1=1，a8= ，公差d= = an=1 (n1)= n+ ，nN*考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第25頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日（）b1=a1=1，b2=a4=0 bn=a3n2= (3n2)+ =n+2 = = 是首項(xiàng)為2，公比為 的等比數(shù)列 的所有項(xiàng)的和為 = 4考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第26頁，共36頁，20

16、22年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日（）Cn=n (n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1=n (n+1)(n+2) +n(n+1)(n+2) 2n(n+1)(n+2) =n (n+1)( n +2)( )= n (n +1)( n +2)= n (n +1)( n +2) (1+22221)= n (n +1)( n +2) (1+ 1)0其中bn+2bn=(n+2)+2(n+2)=2， bn+1bn=(n+1)+2(n+2)=1(n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第27頁，共36頁，2022年，

17、5月20日，1點(diǎn)36分，星期日5.(2006鄭州市質(zhì)量預(yù)測題) (1)已知函數(shù)f(x)=3x2+6x2,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，點(diǎn) (n, Sn) (nN*)在曲線y=f (x)+2上,求an;(2)在(1)的條件下，若bn=( )n1,cn= ，且Tn是數(shù)列cn的 前n和.試問Tn是否存在最大值？若存在，請求出Tn的最大 值;若不存在，請說明理由.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第28頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日解析(1)點(diǎn)(n, Sn)在曲線y=f (x)+2上，Sn=3n2+6n.當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3.當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=96n,an=96n

18、.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第29頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日(2)bn=( )n-1,cn= anbn=(32n)( ) n,Tn=c1+c2+cn= ( )2(32n)( )n,利用錯(cuò)位相減法，得Tn=(2n+1)( )n1.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第30頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日Tn+1=(2n+1)（ ）n0,Tn+1+1=(2n+3)（ ）n+10, = 1，Tn+1+1Tn+1,Tn+1TnT1= .存在最大值T1= .點(diǎn)評本題綜合考查了函數(shù)與數(shù)列的基本知識(shí)，考查了等 差數(shù)列，等比數(shù)列的基本知識(shí)及錯(cuò)位相減求和法.考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法第31頁，共36頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)36分，星期日6.(2007海淀區(qū)模擬題） 已知函數(shù)f (x)= (x2). (1)求f (x)的反函數(shù)f -1(x)； (2)設(shè)a1=1, =f -1 (an)(nN*),求an； (3)設(shè)Sn= + + ，bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m, 使得對任意nN*,有bn 成立？若存在，求出m的 值；若不存在, 說明理由. 考題剖析 專題五 數(shù)列解答題的解法