勾股定理證明方法的應用

1、課題： 勾股定理證明方法的應用 老師：鄭燕 時間： 2022 年 5 月 9 日（星期三）第 6 節(jié) 班級： 初二（ 7）班（數學試驗班）教學目標： 嫻熟把握勾股定理的幾種常見證明方法（趙爽弦圖法、劉 徽青朱出入法、歐幾里得面積法等） ,懂得證明思路；運用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問題；體驗學問的遷 移和方法的運用過程,從而提高分析、類比的才能,提高解決問題的才能；感受勾股定理中折射出的數學文化,體驗數學美 . 教學重點： 勾股定理證明方法的應用教學難點： 歐幾里得面積法的懂得和應用,應用 教學過程：一、 鞏固學問、引出問題：劉輝青朱出入法的懂得和復習勾股定理的幾種常見

2、的證明方法（演示自制的 flash 課件）1 趙爽弦圖法（構造以斜邊c 為邊長的正方形）：2 劉徽青朱出入法（面積割補） ：3 歐幾里得面積法（三角形全等、平行線間的等積變形）：世界上各個古代文明中幾乎都能找到勾股定理的影子,到了近代勾股定理的證明方法更有數百種之多,成為數學大花園中的一朵奇葩,而勾股定理的各種證明方法中也包蘊著精妙的數學思想方法,值得我們好好學習體會 . 二、 運用方法,挑戰(zhàn)中考試題：例 1（趙爽弦圖法的應用）（2022 年煙臺）四年一度的國際數學家大會于 2022 年 8 月在北京市召開 . 大會會標如圖 a. 它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,

3、如大正方形的面積為13,每個直角三角形兩直角邊的和是 5,求：（1）中間小正方形的面積；（2）現有一張長為6.5cm,寬為 2cm 的紙片,如圖b,請你將它分割成6 塊,再拼成一個正方形 . a b此題比較簡潔, 由同學獨立摸索完成, 師生小結趙爽弦圖法對解題的作用,體驗運用趙爽弦圖法的過程 . 例 2（歐幾里得面積法的應用）2022 年北京市海淀區(qū)中考題）已知ABC ,分別以 AB 、 BC 、 CA 為邊向形外作等邊三角形 ABD 、等邊三角形 BCE 、等邊三角形 ACF 如圖,當ABC 中只有 ABC 60 時,請你證明 S ABC 與 S ACF 的和等于 S BCE 與 S ABD

4、的和D A F 此題為 05 海淀中考最終一題, 難度較大,方法不唯獨,歐幾里得證明勾股B C 定理時所使用的面積法為解決此題提供了很奇妙的證明思路,但題目的外 E 形與勾股定理有較大的出入, 需要同學經過辨別、 分析才能夠熟悉到 . 另外,使用方法時,平行線間的等積變形是一個難點,為突破這一難 點,一方面：借助自制的 flash 和幾何畫板課件可以幫忙同學直觀的、清晰的熟悉基本圖形,明白基本方法；另一方面,要分析清晰,已知中“ABC60” 為“ 平行線” 、“ 等積變形” 供應了條件,是解題的關鍵. 簡潔證明：連接 AE、BF,得AEC FBC ,SAECSFBC由 AB EC SAECSB

5、ECC B F SA B C F SS A B CSBECSFBC同理：SABDSABFSA B DSB E CSA B F S此題先讓同學充分的獨立摸索、相互爭論,最終師生共同完成,并反思歐幾里得面積法對解決此題的作用 同學課下摸索 . 三、 運用方法,動手操作：. 此題的其他證明方法,由勾股定理的各種證明方法, 除了為我們解決一些中考題供應了思 路,仍給我們供應了很好玩的拼圖嬉戲 . 例 3（劉徽青朱出入法的應用）把兩個小正方形,剪切幾刀,重新組合成一個大正方形,這不就是勾股定理的證明,不需借助任何文字與符號, 更能拼出那么多美麗的圖案,讓我們來比比看, 看誰剪拼得又快又美麗？請表達出你的

6、幫助線（剪開線）,并簡要說明拼圖的方法 和成立的理由 . 此題是一個發(fā)散性的題目, 源于同學利 用課余時間搜集到的勾股定理有關材料,在 動手實踐中, 摸索全等和對應的關系, 利用 平移、旋轉、軸對稱等幾何變換,運用幾何語言（幫助線的作圖）敘 述剪、拼過程,提高識圖才能、分析才能、表達才能 . 同學可以在活 動中,發(fā)揮自身的想象力與制造性,嘗試更多合理的拼圖方案,并且 觀看和摸索其中的規(guī)律, 體驗做數學的歡樂和成就感, 感受數學的美 . 四、 小結作業(yè) 同學小結作業(yè)：1（2022 北京市中考題）請閱讀以下材料：問題： 現有 5 個邊長為 1 的正方形, 排列形式如圖一個新的正方形 要求： 畫出分割線并在正方形網格圖均為 1）中用實線畫出拼接成的新正方形1,請把它們分割后拼接成（圖中每個小正方形的邊長小東同學的做法是：設新正方形的邊長為 x x 0依題意, 割補前后圖形的2面積相等,有 x 5,解得 x 5由此可知新正方形的邊長等于兩個正方形組成的矩形對角線的長于是,畫出如圖 2 所示的分割線,拼出如圖 3 所示的新正方形圖 1 圖 2 圖 3 請你參考小東同學的做法,解決如下問題：現有 10 個邊長為 1 的正方形,排列形式如圖 4,請把它們分割后拼接成一個