專題集合論的創(chuàng)立與發(fā)展

1、專題集合論的創(chuàng)立與發(fā)展第1頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 19世紀(jì),由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，18451918）建立的集合論是關(guān)于無(wú)窮集合與超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，是人類思想史上最偉大的創(chuàng)造之一。 第2頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日一、無(wú)窮是什么？神秘莫測(cè)的，無(wú)邊無(wú)際的，蒼穹一樣的 迷人的，詩(shī)人，作家，藝術(shù)家，神學(xué)家，科學(xué)家 數(shù)學(xué)家 第3頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無(wú)窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉布萊克（William Blake）英國(guó)著名詩(shī)人 詩(shī)作天真的預(yù)言（節(jié)選

2、） 無(wú)窮是什么？第4頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 第5頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：區(qū)別一與多區(qū)別少數(shù)與大數(shù)區(qū)別有窮數(shù)與無(wú)窮數(shù)區(qū)別無(wú)窮數(shù)的不同層次每一次飛躍代表對(duì)數(shù)、對(duì)無(wú)窮的新認(rèn)識(shí)。 無(wú)窮是什么？第6頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日阿基米德（Archimedes 287-212 B.C.）在數(shù)沙者（The Sand Reckoner）中定出一種計(jì)算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的方法，從而糾正了認(rèn)為海灘上的沙粒數(shù)目是無(wú)窮的想法。 無(wú)窮是什么？第7頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日二

3、、關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人 通常認(rèn)為無(wú)窮是不能接受的概念，它是一個(gè)不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384322 B.C.） 潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮地球的年齡正整數(shù)整數(shù)第8頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日兩種無(wú)窮觀亞里士多德在他的物理學(xué)中得出的結(jié)論是：“可選擇的是無(wú)限具有潛性的存在不會(huì)存在實(shí)無(wú)限?！彼麍?jiān)持認(rèn)為數(shù)學(xué)中不需要后者。 關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)第9頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日無(wú)限悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和經(jīng)院哲學(xué)家們使用的一個(gè)典型論據(jù)是，如果承認(rèn)無(wú)窮，就會(huì)導(dǎo)致有窮數(shù)的“湮滅”。 普洛克魯（Proclus

4、，410485 A.D.）伽利略（Galileo，15641642） 兩門(mén)新科學(xué)(1638） “所有無(wú)窮大量都一樣，不能比較大小?！标P(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)第10頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o(wú)窮，卻并沒(méi)有弄清它的概念或確定它的性質(zhì)。歐拉 代數(shù)學(xué)(1770年) 1/0是無(wú)窮大（而他并沒(méi)有定義無(wú)窮，只是用符號(hào)表示它） 2/0關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)第11頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 笛卡爾說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！备咚乖?831年寫(xiě)給舒馬赫的信中說(shuō)：“我反對(duì)把無(wú)窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體來(lái)用，在數(shù)學(xué)中這是永遠(yuǎn)不能允許

5、的，無(wú)限只不過(guò)是一種說(shuō)話方式，我們所說(shuō)的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無(wú)界地增加?！标P(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)第12頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 柯西（Cauchy,Augustin-Louis 1789 1857）拒絕承認(rèn)完成的無(wú)限集合的存在，其根據(jù)就是有這類悖論：一個(gè)完成的無(wú)限集合能與其本身的真正部分建立一一對(duì)應(yīng)。 第13頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 有限集合大小的比較 “整體大于部分” 歐幾里得十條公設(shè)最后一條計(jì)數(shù)的根據(jù) 波呂斐摩斯的故事 利用一一對(duì)應(yīng)概念作為計(jì)數(shù)根據(jù)的最早的文字記載之一。 荷馬史詩(shī)記載荷馬（Homero

6、s) 約9-8B.C. 古希臘詩(shī)人有限集合的早期認(rèn)識(shí) 第14頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開(kāi)庫(kù)克羅普斯國(guó)以后，那個(gè)不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來(lái)一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就確信所有的母羊全返回了山洞。 第15頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖：日本琉球群島的結(jié)繩第16頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日三、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.B

7、olzano ，17811848，捷克） 無(wú)窮的悖論（1851）第17頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日實(shí)無(wú)窮集合兩個(gè)集合等價(jià)的概念，即后來(lái)叫做兩個(gè)集合元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，適用于有限集合，也適用于無(wú)限集合無(wú)窮集合中部分或子集可以等價(jià)于整體對(duì)于無(wú)窮集合同樣可以指定一個(gè)數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無(wú)窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對(duì)于超限數(shù)無(wú)需計(jì)算，所以不用深入研究它們。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第18頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日為了說(shuō)明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例. 例如，在實(shí)數(shù)集 0，5 與實(shí)數(shù)集 0,12 之間可以建立 11 對(duì)應(yīng)關(guān)系 無(wú)窮集合論的

8、創(chuàng)立第19頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無(wú)窮集合，例如無(wú)窮級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)、自然數(shù)，等等；但是，他們一般都避開(kāi)存在完成的集合的假定后面的麻煩問(wèn)題。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第20頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托集合論的起源19世紀(jì),分析的嚴(yán)密化使人們必須考慮，收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)（有一個(gè)有限和）和那些發(fā)散級(jí)數(shù)的區(qū)別。在這些級(jí)數(shù)中，三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即以傅立葉命名的傅立葉級(jí)數(shù)，起了極其重要的作用。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第21頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日傅立葉（J.B.J.Fourier ，17681830，法國(guó)

9、） 1807年 “對(duì)任意給定的函數(shù)都可以用一具有特殊類型的系數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示” 被稱為傅立葉級(jí)數(shù) 成為數(shù)學(xué)分析與數(shù)學(xué)物理中強(qiáng)有力的工具,但在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)格性的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第22頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“ 集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三角級(jí)數(shù)豐富的研究以及對(duì)不連續(xù)函數(shù)的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對(duì)探索三角級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)引進(jìn)例外點(diǎn)集，但主要是因?yàn)樗麄兇篌w上是在三角級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)考慮問(wèn)題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對(duì)函數(shù)分析時(shí)充當(dāng)輔助性手段 ”無(wú)窮集

10、合論的創(chuàng)立第23頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日柯西（，17891857）1823年，試圖建立更嚴(yán)格的傅立葉級(jí)數(shù)理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet ，18051859）1829年，發(fā)表了一篇關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的論文，其中證明，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，只要它是連續(xù)的，就完全可以由它的傅立葉級(jí)數(shù)表示，端點(diǎn)可能除外，而在不連續(xù)點(diǎn)和端點(diǎn)（和）處，函數(shù)僅當(dāng)滿足某些附加條件時(shí)才可由傅立葉級(jí)數(shù)表示。第24頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托（G.Cantor，18451918）1870年-1872年“函數(shù)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù) 的唯一性” 無(wú)

11、窮集合論的創(chuàng)立第25頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日數(shù)學(xué)分析里間斷函數(shù)求積分問(wèn)題和三角級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題的研究都要求對(duì)于產(chǎn)生各種不連續(xù)情形的函數(shù)定義域之上的點(diǎn)集進(jìn)行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區(qū)間的所有點(diǎn)中分離出另一無(wú)窮點(diǎn)集。這個(gè)分離出的無(wú)窮集的性質(zhì)在很大程度上影響著對(duì)有關(guān)問(wèn)題的討論。“無(wú)窮的各種關(guān)系弄得完全明朗”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第26頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 “ 在建立三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性定理時(shí)，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現(xiàn)出一種獨(dú)創(chuàng)精神?？低性谡麄€(gè)研究中將無(wú)窮集合作為一個(gè)獨(dú)立于函數(shù)理論的對(duì)象進(jìn)行考察，并在這一過(guò)程中大膽開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)

12、的一個(gè)全新領(lǐng)域超窮集合論.”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第27頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日論所有實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)（1874) 1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來(lái)導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問(wèn)題：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否建立一一對(duì)應(yīng)？無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第28頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 “取所有正整數(shù) n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù) x的集體，表示為(x）；簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，問(wèn)題就是（n)和（x)是否能夠?qū)?yīng)起來(lái)，使得一個(gè)集體中的每一個(gè)個(gè)體只對(duì)應(yīng)另一個(gè)集體中一個(gè)且唯一一個(gè)個(gè)體？乍一看，我們可以說(shuō)答案是否定的，這種對(duì)應(yīng)不

13、可能，因?yàn)椋╪)由離散的部分構(gòu)成，而（x)構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)；但是從這種說(shuō)法我們什么結(jié)果也得不到. 雖然我非常傾向于認(rèn)為（n)和（x)不能有這樣一個(gè)一意對(duì)應(yīng)，但是我找不出理由，我對(duì)這事極為關(guān)注，也許這理由非常簡(jiǎn)單?！?第29頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！戴德金在連續(xù)性和無(wú)理數(shù)（1872年出版） 稠密性與連續(xù)性康托在1895年給出的第二個(gè)證明是現(xiàn)在普遍采用的。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第30頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法） 第31頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日

14、，2點(diǎn)7分，星期日“上面把有理數(shù)域比作直線，結(jié)果認(rèn)識(shí)到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續(xù)的，而我們則把直線看成是沒(méi)有間隙的、完備的和連續(xù)的。”第32頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“連續(xù)性公理”實(shí)數(shù)就其數(shù)目和特性而言，要比有理數(shù)更豐富，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)竟然能不可思議地填滿了有理數(shù)以外的所有空隙，從而在連續(xù)性和完備性上完全超過(guò)了有理數(shù)。 第33頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，全體實(shí)數(shù)可以排成一個(gè)序 列。但他很快發(fā)現(xiàn)所給出的證明太繁，兩天后當(dāng)他企圖修改它時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)對(duì)任意包含在（0，1）中的區(qū)間（a

15、，b）,他能夠證明存在一個(gè)數(shù)m in (a，b)，沒(méi)有列在上面的序列中。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第34頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現(xiàn)在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補(bǔ)上了兩個(gè)證明：代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第35頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無(wú)窮劃出一首線，在無(wú)窮當(dāng)中區(qū)分開(kāi)來(lái)可數(shù)的與不可數(shù)的兩類，這成為研究無(wú)窮的出發(fā)點(diǎn)。康托第一次把可數(shù)性概念這詞引進(jìn)數(shù)學(xué)，并且給出明確的含義，判定的方法對(duì)于

16、凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合（可數(shù)集合）。這是最小的無(wú)窮集合。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第36頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把這一性質(zhì)應(yīng)用于一個(gè)長(zhǎng)期困擾數(shù)學(xué)家的難題超越數(shù)的存在。這是一個(gè)真正引起爭(zhēng)論的定理，因?yàn)槿藗儺吘怪恢罉O少數(shù)幾個(gè)非代數(shù)數(shù)的存在。而康托卻十分自信地說(shuō)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)，但他在作出這種推斷的時(shí)候卻沒(méi)有展示出任何一個(gè)具體的超越數(shù)實(shí)例！ ”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第37頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成

17、?！?數(shù)學(xué)史作家埃里克坦普爾貝爾第38頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 1877年 6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對(duì)應(yīng)，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對(duì)應(yīng)。 “我看到了，但我簡(jiǎn)直不能相信它！” -G.Cantor無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第39頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托集合論(1878)(直譯應(yīng)為對(duì)流形學(xué)說(shuō)的一個(gè)貢獻(xiàn))：兩個(gè)集合稱為等勢(shì)的，如果它們之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第40頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 康托的兩個(gè)基本前提：可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)確定相同基數(shù)；實(shí)無(wú)窮是一個(gè)確實(shí)的

18、概念。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第41頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日1879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成關(guān)于無(wú)窮的線性點(diǎn)集1879年這篇，康托闡明了點(diǎn)集的另一個(gè)重要問(wèn)題： 按照集合的勢(shì)對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行分類 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第42頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日集合論基礎(chǔ)的出版（1883年）康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進(jìn)了作為自然數(shù)系的獨(dú)立和系統(tǒng)擴(kuò)充的超窮數(shù)?？低型ㄟ^(guò)對(duì)無(wú)窮集的研究，創(chuàng)造了一種新的數(shù)字和一種新的數(shù)字類型。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第43頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽

19、的冒進(jìn)?！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無(wú)窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對(duì)立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認(rèn)是對(duì)數(shù)概念最簡(jiǎn)單、最適當(dāng)和最自然的擴(kuò)充?！睙o(wú)窮集合論的創(chuàng)立第44頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日基礎(chǔ)中康托關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一大多數(shù)神學(xué)家，哲學(xué)家和神學(xué)家長(zhǎng)期反對(duì)的概念提供了辯護(hù)。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第45頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日康托認(rèn)為，無(wú)論數(shù)學(xué)家們過(guò)去曾經(jīng)作過(guò)什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有窮的性質(zhì)可以適用于無(wú)窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導(dǎo)致了種種矛盾和誤解。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第46頁(yè)，共66頁(yè)，202

20、2年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日波爾查諾是實(shí)無(wú)窮的堅(jiān)定擁護(hù)者 實(shí)無(wú)窮可以無(wú)矛盾地引進(jìn)數(shù)學(xué)的思想。無(wú)窮的悖論（1821年） 是對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的重要貢獻(xiàn)。著作的特色之一是關(guān)于實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的區(qū)分。 數(shù)學(xué)上“實(shí)無(wú)窮”的概念；勢(shì)及序數(shù)的概念；無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第47頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日第一，肯定實(shí)無(wú)窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。 第二，無(wú)窮有其固有的本質(zhì)，不能把有窮所具有的一切性質(zhì)都強(qiáng)加于無(wú)窮。 第三，有窮的認(rèn)識(shí)能力可以認(rèn)識(shí)無(wú)窮。 無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第48頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“ 正象每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所

21、有反對(duì)實(shí)無(wú)窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開(kāi)始就期望無(wú)窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無(wú)窮數(shù)上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無(wú)窮數(shù)的話，倒是由于它們（就其與有窮數(shù)的對(duì)立而言）構(gòu)成了全新的一個(gè)數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身的性質(zhì)，這是研究的對(duì)象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見(jiàn)?！?第49頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)，于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對(duì)超限基數(shù)理論具有決定意義的論文。“序型”的概念，相應(yīng)的序數(shù)。集合超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，符號(hào)；排成一個(gè)“序列”；加法，乘法和乘方。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第50頁(yè)，

22、共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日貢獻(xiàn)的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義定義：集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對(duì)象m（稱為M的元素）的總體。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第51頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日四、集合論悖論1康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）2布拉里 -弗蒂悖論（1897）3羅素悖論（1902）4理查德悖論（1905）5佩利悖論（1906）6格里靈悖論（1908) 第52頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日羅素悖論（1902）集合分成兩類： 集合是它本身的元素， 稱為“非正常集合”； 集合不是它本身的元素， 稱為“正常集合”。

23、設(shè)“是所有不包含自身的集合的集合?！?問(wèn)：“包含不包含自身？” 集合論悖論第53頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日理發(fā)師悖論（1918）“在薩維爾村，理發(fā)師 掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛?wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對(duì)。 集合論悖論第54頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日五、有關(guān)集合論的爭(zhēng)論克羅內(nèi)克（Kronecker ）他在許多場(chǎng)合大罵康托是“敗類、臭蟲(chóng)”，“我們科學(xué)的敵人”。他對(duì)外爾斯特拉斯的學(xué)生柯瓦列夫斯卡婭（18501891）說(shuō)，康托的集合論同任何一門(mén)數(shù)學(xué)毫無(wú)共同之處，同另外一些人說(shuō)康托的集合論空洞

24、無(wú)物。 第55頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學(xué)引入了考慮數(shù)學(xué)無(wú)窮的新方法但是發(fā)生了這樣的事，我們遇到了會(huì)使愛(ài)利亞學(xué)派的Zeno和麥加拉哲學(xué)學(xué)派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個(gè)人都必須尋找補(bǔ)救的方法。就我來(lái)說(shuō) 而我并不是單獨(dú)一人 我認(rèn)為重要的是永遠(yuǎn)不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，我們一定可以請(qǐng)來(lái)一位治療一個(gè)極好的病理學(xué)病例的醫(yī)生，并為此而感到喜悅?！?908年他又說(shuō)：“今后的幾代人將把集合論當(dāng)做一種人們已經(jīng)從中恢復(fù)過(guò)來(lái)了的疾病. ”第56頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20

25、日，2點(diǎn)7分，星期日數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于人的直覺(jué)，而數(shù)學(xué)的確定性僅限于有限論證的嚴(yán)格界限內(nèi)，要證明什么東西存在，那就要具體造出來(lái).反對(duì)把無(wú)窮當(dāng)作確實(shí)的概念第57頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日“我的理論堅(jiān)如磐石；射向它的每一支箭都會(huì)迅速反彈. 我何以得知呢？因?yàn)槲矣昧嗽S多年時(shí)間，研究了它的各個(gè)方面；我還研究了針對(duì)無(wú)窮數(shù)的所有反對(duì)意見(jiàn)；最重要的是，因?yàn)槲以F究它的根源，可以說(shuō)，我探索了一切造物的第一推動(dòng)力?！?G.Cantor第58頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日六、集合論的歷史地位康托創(chuàng)立的超窮集合論賦予實(shí)無(wú)窮的觀念以數(shù)學(xué)內(nèi)容，為抽象集合論奠定了基礎(chǔ)，并為

26、微積分的基本原理和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的分析作出了重大貢獻(xiàn)?？低械淖钜俗⒛康某删褪菑臄?shù)學(xué)上嚴(yán)密地證明了“無(wú)窮”并不是鐵板一塊的不可分的概念。并非所有的無(wú)窮集合都具有相同的大小，因而它們之間是可以互相比較的。 第59頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日 如今，“集合”這個(gè)詞已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中最重要和最基本的術(shù)語(yǔ)之一，大部分?jǐn)?shù)學(xué)的相容性已經(jīng)被奠基于集合論的相容性之上，集合論在某種意義上已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 第60頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日七、悖論的解決和集合論的發(fā)展所有的人都渴望能解決悖論的問(wèn)題以重建先前對(duì)數(shù)學(xué)相容性、嚴(yán)格性和確定性的信念，但他們?yōu)檫_(dá)到這一目標(biāo)所選擇的道路則是很不相同的。20世紀(jì)初 數(shù)理邏輯：羅素的類型論；數(shù)學(xué)原理 形式公理化：公理集合論第61頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)7分，星期日策梅羅（德國(guó)數(shù)學(xué)家，1908年）采取希爾伯特的公理化方法回避悖論，把集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理論。在這樣一個(gè)公理化理論中，集合這個(gè)概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理反