高中數(shù)學(xué)必修二 7.1.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念（含答案）

1、 7.1.1數(shù)系得擴充和復(fù)數(shù)得概念導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標】1.了解引進復(fù)數(shù)的必要性，理解并掌握虛數(shù)單位i2.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件.【自主學(xué)習(xí)】知識點1復(fù)數(shù)的引入在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x210無解.為了解決x210這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使i是方程x210的根，即使ii1.把這個新數(shù)i添加到實數(shù)集中去，得到一個新數(shù)集.把實數(shù)a與實數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加，結(jié)果記作abi(a，bR)，這些數(shù)都應(yīng)在新數(shù)集中.再注意到實數(shù)a和數(shù)i，也可以看作是abi(a，bR)這樣的數(shù)的特殊形式，所以實數(shù)系經(jīng)過擴充后得到的新數(shù)集應(yīng)該是C

2、abi|a，bR，稱i為虛數(shù)單位.知識點2復(fù)數(shù)的概念、分類1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，bR，i叫做虛數(shù)單位.a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.(2)復(fù)數(shù)的表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi.(3)復(fù)數(shù)集定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.通常用大寫字母C表示.2.復(fù)數(shù)的分類及包含關(guān)系(1)復(fù)數(shù)(abi，a，bR)eq blcrc (avs4alco1(實數(shù)b0,虛數(shù)b0blcrc (avs4alco1(純虛數(shù)a0,非純虛數(shù)a0)(2)集合表示：知識點3復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么abicdiac且bd.即它們的實部

3、與虛部分別對應(yīng)相等. 【合作探究】探究一 復(fù)數(shù)的概念【例1】寫出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)，還是純虛數(shù).23i；3eq f(1,2)i；eq r(2)i；eq r(3)i；0.解的實部為2，虛部為3，是虛數(shù)；的實部為3，虛部為eq f(1,2)，是虛數(shù)；的實部為eq r(2)，虛部為1，是虛數(shù)；的實部為，虛部為0，是實數(shù)；的實部為0，虛部為eq r(3)，是純虛數(shù)；的實部為0，虛部為0，是實數(shù).歸納總結(jié)：【練習(xí)1】下列命題中，正確命題的個數(shù)是()若x，yC，則xyi1i的充要條件是xy1；若a，bR且ab，則aibi；若x2y20，則xy0.A.0 B.1 C.2 D.3【答

4、案】A解析由于x，yC，所以xyi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，所以是假命題.由于兩個虛數(shù)不能比較大小，所以是假命題.當(dāng)x1，yi時，x2y20成立，所以是假命題.故選A.探究二 復(fù)數(shù)的分類【例2】設(shè)z (m1)ilog2(5m)(mR).(1)若z是虛數(shù)，求m的取值范圍；(2)若z是純虛數(shù)，求m的值.解(1)因為z是虛數(shù)，故其虛部log2(5m)0，m應(yīng)滿足的條件是eq blcrc (avs4alco1( m10，,5m0，,5m1，)解得1m5，且m4.(2)因為z是純虛數(shù)，故其實部(m1)0，虛部log2(5m)0，m應(yīng)滿足的條件是eq blcrc (avs4alco

5、1(m11，,5m0，,5m1，)解得m2.歸納總結(jié)：【練習(xí)2】實數(shù)k為何值時，復(fù)數(shù)z(1i)k2(35i)k2(23i)分別是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)零.解由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)當(dāng)k25k60時，zR，即k6或k1.(2)當(dāng)k25k60時，z是虛數(shù)，即k6且k1.(3)當(dāng)eq blcrc (avs4alco1(k23k40，,k25k60)時，z是純虛數(shù)，解得k4.(4)當(dāng)eq blcrc (avs4alco1(k23k40，,k25k60)時，z0，解得k1.探究三 兩個復(fù)數(shù)相等【例3】(1)已知x2y22xyi2

6、i，求實數(shù)x，y的值.(2)關(guān)于x的方程3x2eq f(a,2)x1(10 x2x2)i有實根，求實數(shù)a的值.解(1)x2y22xyi2i，eq blcrc (avs4alco1(x2y20，,2xy2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)或eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1.)(2)設(shè)方程的實數(shù)根為xm，則原方程可變?yōu)?m2eq f(a,2)m1(10m2m2)i，eq blcrc (avs4alco1(3m2f(a,2)m10，,10m2m20，)解得a11或aeq f(71,5).歸納總結(jié)：【練習(xí)3】已知復(fù)數(shù)zeq r(3x1)x(x24x3)

7、i0，求實數(shù)x的值.解z0，zR，x24x30，解得x1或x3.z0，eq r(3x1)x0，且x24x30.對于不等式eq r(3x1)x0，x1滿足，x3不滿足，故x1.課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A.i B.i C.1 D.1【答案】A解析i21，i2i(i)1，zi.2.設(shè)a，bR，i是虛數(shù)單位，則“ab0”是“復(fù)數(shù)abi為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】B解析若復(fù)數(shù)abi為純虛數(shù)，則a0且b0，故ab0.而由ab0不一定能得到復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)，故“ab0”是“復(fù)

8、數(shù)abi為純虛數(shù)”的必要不充分條件.3.若集合Ai，i2，i3，i4(i是虛數(shù)單位)，B1，1，則AB等于()A.1 B.1 C.1，1 D.【答案】C解析因為i21，i3i，i41，所以Ai，1，i,1，又B1，1，故AB1，1.4.已知復(fù)數(shù)za2(2b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是()A.eq r(2)，1 B.eq r(2)，5C.eq r(2)，5 D.eq r(2)，1【答案】C解析令eq blcrc (avs4alco1(a22，,2b3，)得aeq r(2)，b5.5.以eq r(5)2i的虛部為實部，以eq r(5)i2i2的實部為虛部的新復(fù)數(shù)是()A.2

9、2i B.eq r(5)eq r(5)iC.2i D.eq r(5)eq r(5)i【答案】A解析設(shè)所求新復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，由題意知：復(fù)數(shù)eq r(5)2i的虛部為2；復(fù)數(shù)eq r(5)i2i2eq r(5)i2(1)2eq r(5)i的實部為2，則所求的z22i.故選A.6.若(xy)ix1(x，yR)，則2xy的值為()A.eq f(1,2) B.2C.0 D.1【答案】D解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，eq blcrc (avs4alco1(xy0，,x10，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)xy0.2xy201.7.如果zm(m1)(m21)i為純虛數(shù)，

10、則實數(shù)m的值為()A.1 B.0C.1 D.1或1【答案】B解析由題意知eq blcrc (avs4alco1(mm10，,m210，)m0.二、填空題8.若實數(shù)x，y滿足(1i)x(1i)y2，則xy的值是 .【答案】1解析因為實數(shù)x，y滿足(1i)x(1i)y2，所以xxiyyi2，可得eq blcrc (avs4alco1(xy2，,xy0，)所以xy1，所以xy1.9.若復(fù)數(shù)m3(m29)i0，則實數(shù)m的值為 .【答案】3解析依題意知eq blcrc (avs4alco1(m30，,m290，)解得eq blcrc (avs4alco1(m3，,m3或3，)即m3.10.已知M2，m2

11、2m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，則實數(shù)m的值為 .【答案】1或2解析MNN，MN，m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq blcrc (avs4alco1(m22m1，,m2m20)或eq blcrc (avs4alco1(m22m0，,m2m24，)解得m1或m2.故實數(shù)m的值是1或2.11.設(shè)i為虛數(shù)單位，若關(guān)于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一實根為n，則m .【答案】1解析關(guān)于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一實根為n，可得n2(2i)n1mi0.所以eq blcrc (avs4alco1(n22n10，,mn0

12、.)所以mn1.三、解答題12.當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z(m2m6)ieq f(m27m12,m3)是：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？解(1)由eq blcrc (avs4alco1(m2m60，,m30，)得m2.當(dāng)m2時，z是實數(shù).(2)由eq blcrc (avs4alco1(m2m60，,m30，)得eq blcrc (avs4alco1(m2且m3，,m3，)即m2且m3.當(dāng)m2且m3時，z是虛數(shù).(3)由eq blcrc (avs4alco1(m2m60，,m30，,m27m120，)得eq blcrc (avs4alco1(m2且m3，,m3，,m3或m4，)即m3或m4

13、.當(dāng)m3或m4時，z是純虛數(shù).B組 能力提升一、選擇題1.若sin 21i(eq r(2)cos 1)是純虛數(shù)，則的值為()A.2keq f(,4)(kZ) B.2keq f(,4)(kZ)C.2keq f(,4)(kZ) D.eq f(k,2)eq f(,4)(kZ)【答案】B解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(sin 210，,r(2)cos 10，)解得eq blcrc (avs4alco1(kf(,4),2kf(3,4)(kZ)，2keq f(,4)，kZ.2已知關(guān)于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有實根n，且zmni，則復(fù)數(shù)z()A3iB3iC3iD3i【答

14、案】B由題意，知n2(m2i)n22i0，即n2mn2(2n2)i0.所以eq blcrc (avs4alco1(n2mn20，,2n20，)解得eq blcrc (avs4alco1(m3，,n1.)所以z3i.3(多選題)下列命題正確的是()A1i20B若a，bR，且ab，則aibiC若x2y20，則xy0D兩個虛數(shù)不能比較大小【答案】AD對于A，因為i21，所以1i20，故A正確對于B，兩個虛數(shù)不能比較大小，故B錯對于C，當(dāng)x1，yi時，x2y20成立，故C錯D正確二、填空題4.已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，若z1z2，則a的取值集合為 .【答案】0解析

15、由z1z2，得eq blcrc (avs4alco1(2a23a0，,a2a0，,4a12a，)解得a0，故a的取值集合為0.5.在給出的下列幾個命題中，正確命題的個數(shù)為 .若x是實數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)；若z是虛數(shù)，則z不是實數(shù)；一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零；1沒有平方根.【答案】1解析因?qū)崝?shù)是復(fù)數(shù)，故錯；正確；因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)要求實部為零，虛部不為零，故錯；因1的平方根為i，故錯.6(一題兩空)定義運算eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc，如果(xy)(x3)ieq blc|rc|(avs4alco1(3x2yi,y 1)，則實數(shù)x_，y_.【答案

16、】12由定義運算eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc得eq blc|rc|(avs4alco1(3x2yi,y 1)3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因為x，y為實數(shù)，所以有eq blcrc (avs4alco1(xy3x2y，,x3y，)解得x1，y2.三、解答題7已知復(fù)數(shù)z14m2(m2)i，z22sin (cos 2)i(其中i是虛數(shù)單位，m，R)(1)若z1為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)若z1z2，求實數(shù)的取值范圍解(1)z1為純虛數(shù)，eq blcrc (avs4alco1(4m20，,m20，)解得m2.(2)由z1z2，得eq blcrc (avs4alco1(4m22sin ，,m2cos 2，)4cos22sin sin22sin 3(sin 1)22.1sin 1，當(dāng)sin 1時，min2，當(dāng)sin 1時，max6，實數(shù)的取值范圍是2,68.已知復(fù)數(shù)z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i，mR，z1z2，求的取值范圍.解由z1z2，mR，可得eq blcrc (avs4alco1(m2cos ，,4m23sin .)整理，得4sin23sin 4eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(3,8)2eq f(9,16).，sin 0,1，eq f(9,16)，1.9.已知關(guān)于m的一元二次方程m