高中數(shù)學(xué)必修二 6.4.3 第3課時(shí) 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例學(xué)案

1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第3課時(shí) 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素 養(yǎng) 目 標(biāo)學(xué) 科 素 養(yǎng)1.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的測量相關(guān)術(shù)語；3.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問題。1.數(shù)學(xué)抽象；2.邏輯推理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算；4.數(shù)學(xué)模型。【自主學(xué)習(xí)】實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90)南偏西60方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方

2、向線所轉(zhuǎn)過的水平角【小試牛刀】1.思維辨析(對的打“”，錯(cuò)的打“”)(1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊()(2)兩個(gè)不可能到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得()(3)若P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北44方向()2. 從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為()ABC90 D180【經(jīng)典例題】題型一 不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離問題點(diǎn)撥：求解測量距離問題的方法是：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時(shí)，盡量把已知元素放在同一個(gè)三角形中 例1 如圖， A，B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A，B兩點(diǎn)間的距離

3、的方法.并求出A，B間的距離。思考：在上述測量方案下，還有其他計(jì)算A，B兩點(diǎn)間距離的方法嗎？【跟蹤訓(xùn)練】1 如圖，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點(diǎn)A，B(AB與河岸平行)，測得數(shù)據(jù)：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，試求C，D之間的距離 題型二 測量高度問題點(diǎn)撥：高度的測量主要是一些底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題例2 如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法.并求出

4、建筑物的高度?！靖櫽?xùn)練】2 如圖，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60和45，AB長為40 m，斜坡與水平面成30角，則鐵塔CD的高為_m.題型三 測量角度問題點(diǎn)撥：(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，在圖形中標(biāo)出相關(guān)的角和距離(2)根據(jù)實(shí)際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解例3 位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30 ，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙

5、船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 1）？需要航行的距離是多少海里（精確到1 n mile）？【跟蹤訓(xùn)練】3 地圖測繪人員在點(diǎn)A測得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30的方向，且距離為40eq r(3) m，之后該測繪人員沿正北方向行走了40 m，達(dá)到點(diǎn)B.試確定此時(shí)目標(biāo)參照物P在他北偏東的度數(shù)以及他與目標(biāo)參照物P的距離【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1若P在Q的北偏東4450方向上，則Q在P的()A東偏北4510方向上B東偏北4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上2.某觀察站C與兩燈塔A，B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C的

6、北偏東30方向上，燈塔B在觀察站C的正西方向上，則兩燈塔A，B間的距離為()A500米B600米C700米 D800米3.一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30的方向，且與它相距8eq r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，此船的航速是()A8(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí) B8(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)C16(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí) D16(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)4.如圖，要測出山上一座天文臺BC的高，從山腳A處測得AC60 m，天文臺最高處B的仰角為45，天文

7、臺底部C的仰角為15，則天文臺BC的高為_m.5.如圖所示為一角槽，已知ABAD，ABBE，并測量得AC3 mm，BC2eq r(2) mm，ABeq r(29) mm，則ACB_6.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75的方向以12海里/小時(shí)的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12eq r(3)海里/小時(shí)的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時(shí)間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向【參考答案】【小試牛刀】1. (1)(2)(3)2.B 解析：根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖所示，因?yàn)閮芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等，所以.【經(jīng)典例題】例1 解：測量者可以在河岸邊選定兩

8、點(diǎn)C，D，測得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得于是，在ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A，B兩點(diǎn)間的距離思考：先求AD，BD的長度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A，B間的距離。【跟蹤訓(xùn)練】1 解：ABCABDDBC150.因?yàn)锳BCD，所以C18015030.在ABD中，AB6，ADB180756045，所以ADeq f(ABsinABD,sinADB)eq f(6sin 60,sin 45)3eq r(6)，所以BDeq f(ADsinDAB,sinABD)eq f(3r(6)sin 75,sin 60)33eq r(3).

9、在RtDBC中，CDeq f(BD,sinC)eq f(33r(3),sin 30)66eq r(3).所以C，D之間的距離為(66eq r(3)m.例2 解 選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是,CD=a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC=asinsin-所以，這座建筑物的高度為 AB=AE+h=ACsin+h=asinsinsin-+h【跟蹤訓(xùn)練】2 eq f(40r(3),3)解析：延長CD交過A，B的水平線于點(diǎn)E，F(xiàn)，因?yàn)镃AE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以B

10、CA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40，在ACD中，由正弦定理得，eq f(AC,sinADC)eq f(CD,sinCAD)，即eq f(40,f(r(3),2)eq f(CD,f(1,2)，解得CDeq f(40r(3),3).例3 解：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖。由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=202+72-2207-12=589.BC24n mile由正弦定理，得sinC20=sin12024于是 sinC=203224=5312由于0 C90，所以C46。因此，乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46+30=76，大約需要航行

11、24n mile.【跟蹤訓(xùn)練】3 解：如圖，在PAB中，PAB30，PA40eq r(3) m，AB40 m.由余弦定理，得PBeq r(AB2PA22ABPAcosPAB)eq r(402（40r(3)）224040r(3)cos 30)40(m)因?yàn)锳B40 m，所以ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此測繪人員到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)參照物P在他的北偏東60方向上，且目標(biāo)參照物P與他的距離為40 m.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C 解析：選C.如圖所示2.C 解析：選C.由題意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos

12、120，所以AB700米，故選C.3.D 解析:由題意得在SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得eq f(SA,sin 105)eq f(AB,sin 45)，即eq f(8r(2),sin 105)eq f(AB,sin 45)，得AB8(eq r(6)eq r(2)，因此此船的航速為eq f(8r(6)r(2),f(1,2)16(eq r(6)eq r(2)(海里/小時(shí))4. 30eq r(2) 解析：由題圖可得B45，BAC30，故BCeq f(ACsinBAC,sinB)eq f(60sin 30,sin 45)30eq r(2)(m)5. eq f(3,4) 解析：在ABC中，由余弦定理得cosACBeq f(32（2r(2)）2（r(29)）2,232r(2)eq f(r(2),2).因?yàn)锳CB(0，)，所以ACBeq f(3,4).6.解：設(shè)經(jīng)過