衡量精度的指標(biāo)

1、日期星期班級節(jié)次教學(xué)課題計(jì)劃學(xué)時教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：面g目標(biāo):其它能力目標(biāo)：課堂類型主要教學(xué)方法教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)參考資料教研室主任：年 月 日教學(xué)內(nèi)容及過程設(shè)計(jì)（教學(xué)組織、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、時間分配 ） 2-3衡量精度的指標(biāo)本小節(jié)闡述誤差概念及幾種精度指標(biāo)對一系列觀測值而言，不論其觀測條件如何，也不論是對同一量還是不同量進(jìn)行觀 TOC o 1-5 h z 測，只要這些量是在相同條件下獨(dú)立觀測的，則產(chǎn)生的一組偶然誤差必然具有上述4個特性。如前所述，偶然誤差服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：，.（.，）2,T2： HYPERLINK l bookmark2 o Current Document f（

2、 ）= _ e 22-_ e4寸近仃42元仃或記為：N （0,仃2）。.1f二 根據(jù)概率密度函數(shù)可見，最大值為J2n仃。其大小與b成反比，由于對于一個必然事件，概率值為 1,即概率密度曲線與橫軸圍成的面積值為1,因而f（0）越大，概率密度曲線形狀越陡峭，反之則越平緩。而b小則f（0）大，b大則f（0）小，所以b決定了曲線的形狀，。為方差的平方根，稱標(biāo)準(zhǔn)差，其估值在測量平差中稱為中誤差。對于形狀陡峭的圖形，很顯然隨著誤差絕對值的加大，概率值迅速地減小，也可說偶然誤差更集中地分布在真值（0）附近，稱誤差分布離散度小、反之，對于形狀平緩的 圖形，偶然誤差分布較為分散，或者說離散度大。不難理解，離散度

3、小時，對應(yīng)的觀測 值質(zhì)量較好，或說精度高。反之，離散度較大時，對應(yīng)的觀測值質(zhì)量較差，精度較低。由此可見，精度又可以定義為誤差分布的離散程度。兩個（組）觀測值對應(yīng)的誤差分布相同，則稱同精度觀測值，同理若誤差分布不同，則是精度不同。在相同觀測條件下進(jìn)行多個觀測量的觀測，各觀測量對應(yīng)同一種誤差分布，各觀測值都是同精度觀測值。 注意：同精度觀測值不等于真誤差相同，這是因?yàn)檎嬲`差不可知， 因而不可能以真誤差大小定義精度，我們只能定義觀測條件相同，精度相同。所以對應(yīng) 于同一種誤差分布的各觀測值，盡管真誤差不同，但都稱為同精度觀測值。由于用觀測值對應(yīng)的誤差分布來衡量精度高低，麻煩而且困難，測量上采用能描述其

4、誤差分布離散程度的數(shù)字指標(biāo)作為衡量精度的指標(biāo)。教學(xué)內(nèi)容及過程設(shè)計(jì)（教學(xué)組織、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、時間分配 ）下面介紹幾種常見的精度指標(biāo)。一、方差和中誤差方差即真誤差平方的理論平均值，表達(dá)式為：oO仃2 =D （A） = E （A2） = fA2f （A）dAa。（ E （） = 0）如前所述，決定誤差分布曲線的形狀，反映誤差的離散程度，所以可作為精度指標(biāo)。此外，根據(jù)方差的定義， 可見方差實(shí)際上是偶然誤差平方的理論平均值，或者說是以概率值為權(quán)，無窮觀測條件 下的加權(quán)哥平均。對等精度的觀測值而言，方差的計(jì)算可按下式進(jìn)行：00（1） n（2） Nv （3） n及二2 二 . 2 f （. ）d.-l

5、im xkf （：k）d ：k =limk =lim:k用n fv n 。（與”CT =對于觀測值有限的實(shí)際情況：只能求得標(biāo)準(zhǔn)差的估值中誤差n 。今后不再區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差和中誤差，統(tǒng)稱中誤差，用。表示。注意公式（A）中等號（1）根據(jù)定積分的定義，在np, d*kT 0時成立。等號（2）Vk成立是根據(jù)觀測值數(shù)（樣本數(shù)）n四 時，頻率即等于概率的原理，用 n代替了Vkf（Ak）dAk?等號右邊累計(jì)號 上限大寫N,是劃分的區(qū)間數(shù)。等號（3）成立是將 n展1開的結(jié)果，如果將 n解釋為每個誤差出現(xiàn)的概率，不等于絕對值大小的誤差出現(xiàn)的機(jī)會相同（概率相等），因?yàn)檩^小的&k出現(xiàn)的次數(shù)較多。教學(xué)內(nèi)容及過程設(shè)計(jì)（教學(xué)組

6、織、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、時間分配 ）e表小,、平均誤差在一定的條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望稱平均誤差，設(shè)以e = E（怦=則有：同理可有:定義中一定條件下，在這里實(shí)指消除了系統(tǒng)誤差法的相同觀測條件下。獨(dú)立的偶然 誤差指各個誤差的大小、符號互不影響，一般而言，獨(dú)立觀測，誤差獨(dú)立。對照中誤差 是偶然誤差平方的理論平均值的算術(shù)根，知平均誤差與中誤差定義的出發(fā)點(diǎn)都是避免偶 然誤差直接取理論平均值為 0,下式可以證明兩者之間存在固定的比例關(guān)系：二-.”()& =2 . f(. ：)d/ . -2 .：1,一 e 2、d ： 二 一.2二二2 二 c de:0.22;二21,即用N表示。對應(yīng)

7、的，真2 二ji可見兩種精度指標(biāo)是完全等價的，即分別用兩種精度指標(biāo)衡量觀測值及其函數(shù)的精 度，結(jié)果相同。同理，在觀測數(shù)有限的情況下，也只能得到平均誤差的估值。二、極限誤差極限誤差本身不是一種誤差指標(biāo)，而是在一定觀測條件下，以中誤差為標(biāo)準(zhǔn)確定的, 不大可能出的誤差絕對值。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率積分表，落入?yún)^(qū)間（-仃，仃）、（-2。，2。）、（-3。，3。）的概率分別為：68.3%、95.5 %、99.7%。由此可見，出現(xiàn)絕對值大于2-3倍中誤差的偶然誤差屬于小概率事件。通常小概率事件在實(shí)踐中被認(rèn)為是不大可能發(fā)生的，所以在測量工作中，通常根據(jù)實(shí)踐確定中誤差的估值，而以二倍或三倍中誤差作為外業(yè)成果檢核的標(biāo)準(zhǔn)，超過即視為不合格。三、相對誤差觀測值或其函數(shù)值的中誤差作分子、觀測值或