函數(shù)單調性與曲線凸凹性

1、1第1頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一一、 函數(shù)單調性的判定法若定理 1. 設函數(shù)則 在a, b上單調增加(減少) .證: 不妨設則由拉格朗日中值定理得故這說明 在 I 內單調增加.在a, b上連續(xù), 在(a, b)內可導,2第2頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一例1. 確定函數(shù)的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為3第3頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一說明: 1) 單調區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點. 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調性 .例如,4第4頁，共17頁，20

2、22年，5月20日，9點25分，星期一例2. 證明時, 成立不等式證: 令從而因此且證明5第5頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一* 證明令從而即則 在 上連續(xù)上單調減少，6第6頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一定義 . 設函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有則稱圖形是凹的;(2) 若恒有則稱圖形是凸的 .二、曲線的凹凸與拐點連續(xù)曲線上的凹凸分界點 稱為拐點 .7第7頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 內則 在 I 內圖形是凹的 ;(2) 在 I 內則 在 I 內圖形是凸的 .證:利用一階泰

3、勒公式可得兩式相加說明 (1) 成立;(2)設函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導數(shù)證畢8第8頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一例3. 判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側二階導數(shù)不變號,9第9頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一例4. 求曲線的拐點. 解:不存在因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點 .凹凸10第10頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一例5.

4、 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1) 求2) 求拐點可疑點坐標令得對應3) 列表判別故該曲線在及上為下凹,為上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及均為拐點.凹凹凸11第11頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一內容小結1. 可導函數(shù)單調性判別在 I 上單調遞增在 I 上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+拐點 連續(xù)曲線上的凹凸分界點12第12頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一思考與練習上則或的大小順序是 ( )及B1. 設在提示: 由知 單調增加 ,13第13頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一 .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; *15 ; ;14第14頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一有位于一直線的三個拐點.1. 求證曲線 證明：備用題15第15頁，共17頁，2022年，5月20日，9點25分，星期一令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.16第16頁，共17頁，2022年，5月