高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件-空間向量及其應(yīng)用

1、空間向量及其應(yīng)用考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有_和_的量相等向量方向_且模_的向量相反向量方向_且模_的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相_或_的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2、大小方向相同相等相反相等平行重合(1)共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得_.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在_的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p_.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得p_，其中，a，b，c叫做空間的一個(gè)基底.2.空間向量的有關(guān)定理ab唯一xaybxaybzc3.空間向量的數(shù)量積(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.設(shè)a(a1，a2，a3)，b(

3、b1，b2，b3).4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量.5.直線的方向向量和平面的法向量平行或重合6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1l2u1u2u1u2l1l2u1u2_直線l的方向向量為u，平面的法向量為nlun_lunun平面，的法向量分別為n1，n2n1n2n1n2n1n2_u1u20un0n1n20常用結(jié)論解(1)直線的方向向量不是唯一的，有無數(shù)多個(gè)；(2)a；(3

4、)若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，不能構(gòu)成空間一個(gè)基底；(4)若a，b，則ab0，故不正確.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)若直線a的方向向量和平面的法向量平行，則a.()(3)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若ab0，則a，b是鈍角.()ABC解對于A，有b2a，所以a與b是平行向量；對于B，有d3c，所以c與d是平行向量；對于C，f是零向量，與e是平行向量；對于D，不滿足gh，所以g與h不是平行向量.2.(多選)(2021長沙質(zhì)檢)下列各組向量中，是平行向量的是( )A.a(1，2，2)，b

5、(2，4，4)B.c(1，0，0)，d(3，0，0)C.e(2，3，0)，f(0，0，0)D.g(2，3，5)，h(16，24，40)則AB或AB.AB或ABM，A，B，C四點(diǎn)共面.即點(diǎn)M平面ABC.屬于1222122(12cos 120021cos 120)2.6.正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為_.考點(diǎn)空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理BD2.(多選)(2021武漢質(zhì)檢)下列說法中正確的是()CD解由|a|b|ab|，可得向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到|a|b|ab|，所以A不正確；M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而

6、點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).考點(diǎn)空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和a，b，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使ab計(jì)算準(zhǔn)確.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，訓(xùn)練1 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長；ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600，(2)求證：AC1BD；b2a2acbc1，(3)求BD1與AC夾角的余弦值.考點(diǎn)利用空間向量證

7、明平行與垂直證明因?yàn)锳BAC，E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.因?yàn)锳A1平面ABC，AA1BB1，所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面A1B1BA的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，又EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)求證：平面AEA1平面BCB1.證明因?yàn)锳BAC，E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.因?yàn)锳A1平面ABC，AA1BB1，所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镋C平面AEA1，又EA平面BCB1，故平面AEA1平面BCB1.(1)利

8、用向量證明平行問題線線平行：方向向量平行.線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.面面平行：兩平面的法向量平行.(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；面面垂直問題：兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接OH，則OHBD，又四邊形ABCD為正方形，ACBD，OHAC，設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n(x，y，z).又四邊形BDEF為平行四邊形，AE平面BCF.(2)求證：CF平面AEF.證明如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接OH，則OHBD，又四邊形ABCD為正方形，ACBD，OHAC，又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求軌跡長度的范圍等問題.解如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，例1 (1)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線