高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件-數(shù)列求和

1、數(shù)列求和考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項和公式：2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個

2、常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.常用結(jié)論4.在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.解(3)要分a0或a1或a0且a1討論求解.CA解析S204152162223219，2S204252262323220，4.(易錯題)數(shù)列(n3)2n1前20項的和為_.222202故S20222202.解由f(x)f(1x)4，可得f(0)f(1)4，所以2an(f(0)f(1)an2(n1)考點分組轉(zhuǎn)化求和解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為關(guān)于x的不等式a1x2S2x20的解集為(1，2)，例1 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且關(guān)于x的不

3、等式a1x2S2x20的解集為(1，2).(1)求數(shù)列an的通項公式；又S22a1d，所以a1d，所以數(shù)列an的通項公式為ann.(2)若數(shù)列bn滿足bna2n2an1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解由(1)可得，a2n2n，2an2n.因為bna2n2an1，所以bn2n12n，所以數(shù)列bn的前n項和Tn(1352n1)(222232n)感悟提升解Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當n為偶數(shù)時，訓(xùn)練1 已知數(shù)列an的通項公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項和Sn.綜上所述，當n為奇數(shù)時，考點裂項相消法求和

4、例2 (2021開原三模)給出以下三個條件：4a3，3a4，2a5成等差數(shù)列；nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)y2xa的圖象上，其中a為常數(shù)；S37.請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解.設(shè)an是一個公比為q(q0，且q1)的等比數(shù)列，且它的首項a11，_.(1)求數(shù)列an的通項公式；解選進行作答.因為4a3，3a4，2a5成等差數(shù)列，所以6a44a32a5，即6a3q4a32a3q2，解得q1(舍)或q2，所以an2n1.選進行作答.由題意得Sn2na，因為a1S12a1，所以a1，所以Sn2n1，當n2時，Sn12n11，則anSnSn12n1，當n1時，a11，符合上式，所

5、以an2n1.選作答.由S37，得a1a2a37，即a1a1qa1q27，解得q2或q3，又因為q0，所以q2，所以an2n1.證明bn2log22n112n1，nN*，所以Tn解已知Sn2ana1，當n2時，Sn12an1a1，兩式相減得an2an1，n2，所以數(shù)列an是公比為2，首項為1的等比數(shù)列，所以an的通項公式為an2n1.考點錯位相減法求和解設(shè)an的公比為q，則anqn1.因為a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，(1)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

6、在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“SnqSn”的表達式.應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q1，應(yīng)用公式Snna1.解選，即Sn2an1.當n1時，S12a11，故a11；當n2時，Sn12an11，兩式相減得an2an1，所以an為等比數(shù)列，其中公比為2，首項為1.所以an2n1.選，即a11，log2(anan1)2n1.所以當n2時，log2(anan1)log2(an1an)2，所以a2k1(kN*)為等比數(shù)列，其中首項為a11，公比為4，所以a2k114k12(2k1)1；由a11，log2(a1a2)1，得a2

7、2，同理可得，a2k24k122k1(kN*).綜上，an2n1.所以an為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，又因為an為單調(diào)數(shù)列，所以q0，(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解由(1)知，nann2n1，所以Tn122322(n1)2n2n2n1，2Tn2222(n2)2n2(n1)2n1n2n，兩式相減得Tn12222n22n1n2n(2n1)n2n.所以Tn(n1)2n1.數(shù)列中的奇偶項問題數(shù)列中的奇、偶項問題是對一個數(shù)列分成兩個新數(shù)列進行單獨研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.(1)數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型數(shù)列中連續(xù)

8、兩項和或積的問題(anan1f(n)或anan1f(n)；含有(1)n的類型；含有a2n，a2n1的類型；已知條件明確奇偶項問題.(2)對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列an求Sn時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把a2k1a2k看作一項，求出S2k，再求S2k1S2ka2k.解依題意可知數(shù)列an1an是以a2a1312為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以an1an22n12n，等式兩邊同時除以2n得，例1 已知數(shù)列an中，a11，a23，且數(shù)列an1an是以2為公比的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；一、含有(1)n的類型所以an2n1.(2)令cn(1)n1an，求數(shù)列cn的

9、前n項和Sn.解由(1)得，cn(1)n1(2n1)，當n為偶數(shù)時，Sn(211)(221)(231)(241)(2n11)(2n1)212223242n12n當n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，解法一當n為偶數(shù)時，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)(13n1)二、已知條件明確的奇偶項問題S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(132n1)數(shù)列中的放縮放縮法的注意事項以及解題策略：(1)對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式；若不能或很難求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式.而對于“和式”數(shù)列不等式，放縮的最主要目的是通過放縮，把原數(shù)列變?yōu)榭汕蠛汀⒁浊蠛偷臄?shù)列.(2)明確放縮的方向：是放大還是縮小.若要證明小于某值，則放大；若要證明大于某值，則縮小.(3)放縮的項數(shù)：不一定對所有項進行放縮，有時從第一項開始，或從第二項，或從第三項等開始.(4)常見的放縮方法有：增加(減少)某些項；增大(減少)分子(分母)；增大(減小)被開方數(shù)；增大(減小)底數(shù)(指數(shù))；利用不等式的性質(zhì)或基本不等式；利用函數(shù)的單調(diào)性等.放縮法，常見的放縮技巧有：解設(shè)等差數(shù)列an的