經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件

1、經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件一、隱函數(shù)的導數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則:用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.(differentiation of functions represented implicitly)一、隱函數(shù)的導數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能例1解解得例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過原點.例2解所求切線方程為顯然通過原點.例3解例3解 對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).對數(shù)求導法適用范

2、圍: 對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù), 然例4解等式兩邊取對數(shù)得例4解等式兩邊取對數(shù)得例5解等式兩邊取對數(shù)得例5解等式兩邊取對數(shù)得一般地一般地二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題: 消參困難或無法消參如何求導?(differentiation of functions represented parametrically)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題: 消參困由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件例6解例6解 所求切線方程為 所求切線方程為例7解例7解經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由

3、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件例8解例8解三、小結(jié) 思考題隱函數(shù)求導法則: 直接對方程兩邊求導;對數(shù)求導法: 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導法則求導;參數(shù)方程求導: 實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則;三、小結(jié) 思考題隱函數(shù)求導法則: 直接對方程兩邊求導思考題 一工廠有x名技術工人和 y 名非技術工人每天可生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量為(件)現(xiàn)有16名技術工人和32名非技術工人, 而廠長計劃再雇用一名技術工人. 試求廠長如何調(diào)整非技術工人的人數(shù), 可保持產(chǎn)品產(chǎn)量不變？思考題 一工廠有x名技術工人和 y 名非技術工 解 現(xiàn)在產(chǎn)品產(chǎn)量為f (16,32)=8192件, 保持這種產(chǎn)量的函數(shù)曲線為f ( x, y)=

4、=8192 對于任一給定值 x 每增加一名技術工人時 y 的變化量即為這函數(shù)曲線切線的斜率 .(1)(1)式兩端對x求導，整理得： 解 現(xiàn)在產(chǎn)品產(chǎn)量為f (16,32)= 因此廠長要增加一個技術工人并要使產(chǎn)量不變,就要相應地減少約4名非技術工人. 因此廠長要增加一個技術工人并要使產(chǎn)量不變,就思考題思考題思考題解答不對思考題解答不對練 習 題練 習 題經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件練習題答案練習題答案經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積

5、分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件經(jīng)濟數(shù)學微積分隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)課件四、隨機時間序列模型的估計四、隨機時間序列模型的估計 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類： （1）最小二乘估計； （2）矩估計； （3）利用自相關函數(shù)的直接估計。 下面有選擇地加以介紹。結(jié)構階數(shù)模型識別確定估計參數(shù) AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q) AR(p)模型的Yule Walker方程估計 在AR(p)模型的識別中，曾得到： 利用k=-

6、k，得到如下方程組： AR(p)模型的Yule Walker方程估計 在A 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關函數(shù)1,2,p的關系， 利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關函數(shù)的估計值： 然后利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計值： 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程 由于： 于是, 從而可得2的估計值 在具體計算時，可用樣本自相關函數(shù)rk替代。 由于： 于是, 從而可得2的估計值 在具體計算時，可用 MA(q)模型的矩估計 將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到： (*)

7、 MA(q)模型的矩估計 將MA(q)模型的自協(xié)方 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數(shù) 的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(*)是一個包含(q （1）MA(1)模型的直接算法 對于MA(1)模型，（*）式相應地寫成：于是： 或：有： （1）MA(1)模型的直接算法 對于MA(1)模型，（*于是有解： 由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數(shù)： 由（*）式得 （*） （2）MA(q)模型的迭代算法 對于q1的MA(

8、第一步，給出的一組初值，比如,代入（*）式，計算出第一次迭代值 ，第一步，給出的一組初值，比如,代入（*）式，計算出第一次迭 第二步，將第一次迭代值代入（*）式，計算出第二次迭代值 按此反復迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為（*）的近似解。 第二步，將第一次迭代值代入（*）式，計算出第二次迭代值 ARMA(p,q)模型的矩估計 在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數(shù)1,2,p與1,2,q以及2，其估計量計算步驟及公式如下： 第一步，估計1,2,p ARMA(p,q)模型的矩估計 在 是總體自相關函數(shù)的估

9、計值，可用樣本自相關函數(shù)rk代替。 第二步，改寫模型，求1,2,q以及2的估計值 將模型： 是總體自相關函數(shù)的估計值，可用樣本自相關函數(shù)rk代改寫為： 令， 于是(*)可以寫成： (*) 構成一個MA模型。按照估計MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,q以及2的估計值。 改寫為： 令， 于是(*)可以寫成： (*) 構成一 AR(p)的最小二乘估計 假設模型AR(p)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，即有， 殘差的平方和為： (*) AR(p)的最小二乘估計 假設模型AR(p)的參數(shù)估 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值是下列方程組的解： 即 ，j=1,2,p (*) 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計值

10、。 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值是下列方程組的 為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估計進行比較，將(*)改寫成： j=1,2,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值 。 為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估代入，上式表示的方程組即為： 或 ，j=1,2,pj=1,2,p代入，上式表示的方程組即為： 或 ，j=1,2,pj=1解該方程組，得到： 即為參數(shù)的最小二乘估計。 Yule Walker方程組的解：解該方程組，得到： 即為參數(shù)的最小二乘估計。 比較發(fā)現(xiàn)，當n足夠大時，二者是相似的。 2的估計值為： 需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的

11、討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。 如果包含常數(shù)項，該常數(shù)項并不影響模型的原有性質(zhì)，因為通過適當?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項的模型。 比較發(fā)現(xiàn)，當n足夠大時，二者是相似的。 2的估 下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。 對含有常數(shù)項的模型 ：方程兩邊同減/(1-1-p)，則可得到： 其中， 方程兩邊同減/(1-1-p)，則可得到： 五、模型的檢驗五、模型的檢驗 由于ARMA(p,q)模型的識別與估計是在假設隨機擾動項是一白噪聲的基礎上進行的，因此，如果估計的模型確認正確的話，殘差應代表一白噪聲序列。 如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明

12、模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。 在實際檢驗時，主要檢驗殘差序列是否存在自相關。1、殘差項的白噪聲檢驗 由于ARMA(p,q)模型的識別與 可用QLB的統(tǒng)計量進行2檢驗：在給定顯著性水平下，可計算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設。 若大于相應臨界值，則應拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。 可用QLB的統(tǒng)計量進行2檢驗：在給定顯2、AIC與SBC模型選擇標準 另外一個遇到的問題是，在實際識別ARMA(p,q)模型時，需多次反復償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識別檢驗。 顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同

13、時降低了自由度。 因此，對可能的適當?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷摹昂啙嵭浴迸c模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。2、AIC與SBC模型選擇標準 其中，n為待估參數(shù)個數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)項），T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residual sum of squares）。 常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息法（Akaike information criterion，簡記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（Schwartz Bayesian criterion，簡記為SBC）： 其中，n為待估參數(shù)個數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型間進行比較時，必須選取相同的時間段。在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好 由第一節(jié)知：中國支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時間序列。 可以對經(jīng)過一階差分后的GD