（本科）微積分上冊第二章教學課件

1、正版可修改PPT課件（本科）微積分上冊第二章教學課件第二章 導數(shù)與微分第一節(jié) 導數(shù)的基本概念 第二節(jié) 函數(shù)的求導法則 第三節(jié) 高階導數(shù) 第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導數(shù) 第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用第一節(jié) 導數(shù)的基本概念 一、引例二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系一、引例設(shè)有一做直線運動的物體，其位移函數(shù) ，當 時， 當由時刻 變到 時，物體在 這段時間內(nèi)所走過的路程為當物體作變速運動時，平均速度的極限就是物體在 時刻的瞬時速度 ，即1.變速直線運動的瞬時速度2曲線切線的斜率設(shè)曲線 的圖形如2-2所示，點 為曲線上一定點，在曲線上另取一點 點 的位置取決

2、于 ，它是曲線上一動點；下面來求點 處的切線的斜率割線 的極限位置就是曲線在點 的切線 yOx0+xx0 xT圖 2-2二 、導數(shù)的定義1函數(shù) 在點 的導數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù) 在點 的某一個鄰域內(nèi)有定義給 以增量 ，函數(shù) 相應(yīng)地有增量 ，如果存在，則稱此極限值為函數(shù) 在點 處的導數(shù)，記為 ，或 ，或者 ，有時也記為 ，即有2函數(shù) 在 上的導數(shù)的概念 定義2 若函數(shù) 在 內(nèi)每一點都可導，則稱 在 內(nèi)可導也就是說對于該區(qū)間內(nèi)每一點 都有一個導數(shù)值 與之對應(yīng)，故 是該區(qū)間上的一個函數(shù)，叫做 在該區(qū)間上的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記為 ，或 ，或者 ，有時也記為 注 (1)一般地，某函數(shù)的導數(shù)還是一個函數(shù)，我們

3、稱之為導函數(shù)；而函數(shù)在某一點的導數(shù)是一個數(shù)值，我們稱之為函數(shù)在這點的導數(shù)值(2) 在 處的導數(shù)等于導函數(shù) 在點 處的函數(shù)值 由導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)，可以分為以下三個步驟： （1）求增量 ； （2）算比值 ； （3）取極限 例7 討論函數(shù)在 點處的可導性解 因為 所以，函數(shù)在 點處可導，且 注 分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)，必須用導數(shù)的定義來求 3函數(shù)左、右導數(shù)的概念定義3 如果 存在，則稱該極限為函數(shù) 在點 處的左導數(shù)，記為 即定義4 如果 存在，則稱該極限為函數(shù) 在點 處的右導數(shù)，記為 即注 （1）函數(shù) 如果在 上是可導的，是指 在開區(qū)間 內(nèi)每一點可導，而且在左端點 處 存在，在右端點 處 存

4、在（2）如果 是分段函數(shù)，當 是分段函數(shù)的分界點時，需要用定義計算出左導數(shù) 和右導數(shù) 若 與 都存在且相等時，則 在點 可導，且有 = = ；若 時，則 在點 處不可導(3)當且僅當函數(shù)在一點的左、右導數(shù)都存在且相等時，函數(shù)在該點才是可導的三、導數(shù)的幾何意義函數(shù) 在點 處的導數(shù)值 ，是曲線 在點 處切線的斜率，即 yy = f (x)圖2-4MTNM0O四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系定理 如果函數(shù) 在點 處可導，那么函數(shù) 在該點必連續(xù)反之，一個函數(shù)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導例如 函數(shù) 在 上連續(xù)，但在 處的導數(shù)不存在；曲線 在原點處沒有切線 第二節(jié) 函數(shù)的求導法則 一、函數(shù)的和、差、積、商

5、的求導法則二、反函數(shù)的求導法則三、復(fù)合函數(shù)的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1 如果 和 在 處可導，函數(shù)的和、差 在 處也是可導的，并且有上述法則可推廣到有限個函數(shù)的和、差的導數(shù)，等于它們的導數(shù)的和、差，即定理2 如果 和 在 處可導，函數(shù)的積 在 處也是可導的，并且有上述法則可推廣到有限個函數(shù)乘積的導數(shù)的情形，即定理3 如果 和 在 處可導，函數(shù)的商 在 處也是可導的，并且有特別地當 時，有 二、反函數(shù)的求導法則定理4 （反函數(shù)的求導法則）如果 在某區(qū)間上單調(diào)可導，且 ，那么它的反函數(shù) 在對應(yīng)區(qū)間上也可導，且有也就是說：互為反函數(shù)的函數(shù)的導數(shù)互為倒數(shù) 基本初等函數(shù)求導公式三、

6、復(fù)合函數(shù)的求導法則定理5 （復(fù)合函數(shù)求導法則 ） 如果 在點 處可導，而 在點 處可導，那么復(fù)合函數(shù) 在點 處可導，并且其導數(shù)為或?qū)懗?注 這個公式說明復(fù)合函數(shù)的導數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)該法則也稱為鏈式法則，它可以推廣到多個中間變量情形 注 對于初學者來說，求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)是一個難點但若能夠熟悉復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，并牢記“由外向里，逐層求導”八字原則，則復(fù)合函數(shù)的求導就會變得簡便易行所謂“由外向里”，就是按照復(fù)合的層次，從最外面開始，依次向里；“逐層求導”就是一層一層地求下去，直到自變量為止最后，把各層求的導數(shù)的結(jié)果乘起來即可其關(guān)鍵是正確地分解復(fù)合函數(shù).關(guān)于求

7、導記號的兩點說明（1）對于復(fù)合函數(shù) ，如果不設(shè)中間變量， 表明 對自變量 求導；如果設(shè)出中間變量 ，求 對自變量 求導，應(yīng)記成 或 ，否則就不容易區(qū)分 對自變量 求導還是對中間變量 求導（2） 表示復(fù)合函數(shù)對自變量 求導；而 表示函數(shù) 對中間變量 求導，其中 第三節(jié) 高階導數(shù)一、高階導數(shù)二、幾個基本初等函數(shù)的n階導數(shù)公式一、高階導數(shù)如果函數(shù) 的導數(shù)仍是 的可導函數(shù)，那么就稱 的導數(shù)為 的二階導數(shù)，記為 或 即 相應(yīng)地， 為 的一階導數(shù)類似地，可以定義 的三階導數(shù)，四階導數(shù)，一般地， 的 階導數(shù)的導數(shù)，我們稱為 的 階導數(shù)三階導數(shù)的記號是 3時的 階導數(shù)的記號是 或 把二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為

8、高階導數(shù) 求高階導數(shù)方法就是多次接連地求一階導數(shù)，所以計算函數(shù)的高階導數(shù)仍是用前面的求導方法和求導公式 二、幾個基本初等函數(shù)的n階導數(shù)公式萊布尼茨求導公式 即第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)形如 的函數(shù)為顯函數(shù) 若自變量 與因變量 之間的函數(shù)關(guān)系由方程 表示，則稱 是 的隱函數(shù)求隱函數(shù)的導數(shù)時，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊同時對自變量 求導，凡是遇到含有因變量 的項時，把 當作中間變量看待，要按復(fù)合函數(shù)求導法則求導，然后從所得的方程中解出來 ；所求的 的式子中允許含有 冪指函數(shù)的導數(shù)冪指函數(shù)的一般形式是如果 都可導，求

9、通常我們有兩種方法，解決冪指函數(shù)的求導問題，一種叫“對數(shù)求導法”另一種叫“指數(shù)求導法”“對數(shù)求導法”就是先在所給函數(shù)的兩邊取對數(shù)，然后再求出 的導數(shù)即 “指數(shù)求導法”就是先把所給函數(shù)表示為含對數(shù)的復(fù)合指數(shù)形式，然后再求出 的導數(shù)即 例5 求隱函數(shù) 的導數(shù)解法1 (對數(shù)求導法) 因為解法2 （指數(shù)求導法）對數(shù)求導法適宜于多個函數(shù)的乘積、乘方、開方及冪指函數(shù)的求導 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)如果參數(shù)方程 （2-1）確定了 與 之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程（2-1）確定的函數(shù)其導數(shù)為第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分基本公式及運算法則四、微分在近似運算

10、中的應(yīng)用一、微分的概念微分的研究對象是函數(shù)在某一點處當自變量有一個微小的改變量時，相應(yīng)函數(shù)的改變量的大小 .定義 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域 內(nèi)有定義， ，如果相應(yīng)的函數(shù)的增量可以表示為 ，其中， 是不依賴于 的常數(shù)， 是比 高階的無窮小，那么稱函數(shù)在 點處是可微的， 稱為函數(shù) 在點 處相應(yīng)于自變量增量 的微分，記為 ，即 可微與可導之間的關(guān)系 函數(shù) 在點 可微的充要條件是函數(shù)在點 處可導為了統(tǒng)一記號，我們記 ，所以有 或 為此，導數(shù)又可稱為微商我們把求導數(shù)與求微分的方法統(tǒng)稱為微分法 二、微分的幾何意義 當自變量有增量 時， 在點 處的微分 等于曲線在點 處的切線的縱坐標的改變量 Qdyyxx0yO圖2-7PTx0+xxNM三、微分基本公式及運算法則1微分公式表（1） （ 是常數(shù)）；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） ；（11） ；（12） ；（13） ；（14）