中考總復習：平面直角坐標系與一次函數、反比例函數-知識點整理及重點題型梳理（提高）

1、北師大版數學中考總復習重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習中考總復習：平面直角坐標系與一次函數、反比例函數-知識講解（提高）【考綱要求】結合實例，了解常量、變量和函數的概念，體會“變化與對應”的思想；會確定函數自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數，又能恰當地選擇圖象去描述兩個變量之間的關系；理解正比例函數、反比例函數和一次函數的概念，會畫他們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決有關的實際問題.【知識網絡】 【考點梳理】考點一、平面直角坐標系1.平面直角坐標系平面內兩條有公共原點且互相垂直的數軸構成了平面直角坐標系，坐標平面內一點對應的有序實數對叫做這點的坐標

2、.在平面內建立了直角坐標系，就可以把“形”（平面內的點）和“數”（有序實數對）緊密結合起來.2各象限內點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點 點P(x,y)在第一象限；點P(x,y)在第二象限；點P(x,y)在第三象限；點P(x,y)在第四象限；點P(x,y)在x軸上，x為任意實數；點P(x,y)在y軸上，y為任意實數；點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）.3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數.4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸

3、的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.5.關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數；點P與點p關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數；點P與點p關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數.6.點P(x,y)到坐標軸及原點的距離（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.7.在平面直角坐標系內兩點之間的距離公式如果直角坐標平面內有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標平面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標平

4、面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：要點詮釋：（1）注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；（2）平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標.考點二、函數1.函數的概念設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它相對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量.2.自變量的取值范圍對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數學問題，自變量取值應保證數學式子有意義.3表示方法解析法；列表法；圖象法.4畫函數圖象 （1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值；（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平

5、面內描出相應的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.要點詮釋： （1）在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量；（2）確定自變量取值范圍的原則：使代數式有意義；使實際問題有意義.考點三、幾種基本函數（定義圖象性質）1.正比例函數及其圖象性質（1）正比例函數：如果y=kx(k是常數，k0)，那么y叫做x的正比例函數（2）正比例函數y=kx（ k0)的圖象： 過（0，0），（1，K）兩點的一條直線 （3）正比例函數y=kx （k0)的性質 當k0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大； 當k0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的

6、增大而減小 . 2.一次函數及其圖象性質（1）一次函數：如果y=kx+b(k,b是常數，k0),那么y叫做x的一次函數（2）一次函數y=kx+b（k0)的圖象 （3）一次函數y=kx+b（k0)的圖象的性質一次函數ykxb的圖象是經過(0，b)點和點的一條直線當k0時，y隨x的增大而增大；當k0k0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限.在每個象限內，y隨x 的增大而減小.x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；當k0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限.在每個象限內，y隨x 的增大而增大.（5）反比例函數解析式的確定：利用待定系數法（只需一對對應值或圖象上一個點的坐標即可求出）（6）“

7、反比例關系”與“反比例函數”：成反比例的關系式不一定是反比例函數,但是反比例函數中的兩個變量必成反比例關系.（7）反比例函數的應用 反比例函數中反比例系數的幾何意義，如下圖，過反比例函數圖像上任一點 作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=. .(8)正比例函數和反比例函數的交點問題 若正比例函數(0)，反比例函數，則 當時，兩函數圖象無交點； 當時，兩函數圖象有兩個交點，坐標分別為(，)，(，)由此可知，正反比例函數的圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱要點詮釋：（1）用待定系數法求解析式（列方程組求解）；（2）利用一次（正比例）函數、反比例函數的

8、圖象求不等式的解集.【典型例題】類型一、坐標平面有關的計算1已知：如圖所示，（1）寫出ABC三個頂點的坐標；（2）作出ABC關于x軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標；（3）作出ABC關于y軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標 【思路點撥】（1）直接根據圖形寫出ABC三個頂點的坐標；（2）找到ABC的各頂點關于x軸對稱的對稱點并順次連接成圖形；（3）找到ABC的各頂點關于y軸對稱的對稱點并順次連接成圖形【答案與解析】（1）ABC三個頂點的坐標分別為：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所畫圖形如下所示，ABC即為所求，ABC三個頂點的坐標分別為：A（4，-3），B（3，

9、-1），C（1，-2）；（3）所畫圖形如下所示，ABC即為所求，ABC三個頂點的坐標分別為：A（-4，3），B（-3，1），C（-1，2） 【總結升華】作軸對稱圖形找對稱點是關鍵.舉一反三：【變式】如圖所示，ABC的頂點坐標分別為A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如將B點向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達B1點，若設ABC的面積為S1，AB1C的面積為S2，則S1，S2的大小關系為( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能確定 【答案】選B（點B的平移是關鍵，平移后ABCB1，兩個三角形等底等高）2(1)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，B1(0，1)，B2(0

10、，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，以B1B2為對角線作第一個正方形A1B1C1B2，以B2B3為對角線作第二個正方形A2B2C2B3，以B3B4為對角線作第三個正方形A3B3C3B4，如果所作正方形的對角線都在y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點都在第一象限內(n1，且n為整數)，那么A1的縱坐標為_，用n的代數式表示的縱坐標為_；(2)若設的坐標為(x，y)，求y關于x的函數關系式【思路點撥】作A1Dy軸于點D，可推出A1的縱坐標=B1D+B1O=1+1= =2，A2的縱坐標= =4.5，則An的縱坐標為 【答案與解析】(1)2，；(2)A1的橫坐標等于，A2的橫坐標等于，A3的橫

11、坐標等于，A4的橫坐標等于， 的橫坐標等于，縱坐標等于 ， ，代入消去n+1，得 y關于x的解析式為，說明點A1，A2，A3，A4，都在拋物線上如圖所示 【總結升華】解決本題的關鍵是觀察圖形得到點的縱坐標的特點類型二、一次函數3（2015泰州）已知一次函數y=2x4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數的圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2（1）當P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當d1+d2=3時點P的坐標；（3）若在線段AB上存在無數個P點，使d1+ad2=4（a為常數），求a的值【思路點撥】（1）對于一次函數解析式，求出A與B

12、的坐標，即可求出P為線段AB的中點時d1+d2的值；（2）根據題意確定出d1+d2的范圍，設P（m，2m4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據d1+d2=3求出m的值，即可確定出P的坐標；（3）設P（m，2m4），表示出d1與d2，由P在線段上求出m的范圍，利用絕對值的代數意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據存在無數個點P求出a的值即可【答案與解析】解：（1）對于一次函數y=2x4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，4），P為AB的中點，P（1，2），則d1+d2=3；（2）d1+d22；設P（m，2m4），d1+d2=|m|+|2m4|，當

13、0m2時，d1+d2=m+42m=4m=3，解得：m=1，此時P1（1，2）；當m2時，d1+d2=m+2m4=3，解得：m=，此時P2（，）；當m0時，不存在，綜上，P的坐標為（1，2）或（，）；（3）設P（m，2m4），d1=|2m4|，d2=|m|，P在線段AB上，0m2，d1=42m，d2=m，d1+ad2=4，42m+am=4，即（a2）m=0，有無數個點，a=2【總結升華】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，線段中點坐標公式，絕對值的代數意義，以及坐標與圖形性質，熟練掌握絕對值的代數意義是解本題的關鍵舉一反三：【變式】已知：如圖所示，在直角坐標平面內，O為

14、原點，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，4)，直線CMx軸點B與點A關于原點對稱，直線yx+b(b為常數)經過點B，且與直線CM相交于點D，連接OD (1)求b的值和點D的坐標(2)設點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點P的坐標【答案】(1)因為點B與點A關于原點對稱，點A的坐標為(1，0)，所以點B的坐標為(-1，0) 因為直線yx+b(b為常數)經過點B，所以0-1+b，解得b1，所以直線為yx+1 因為點C的坐標為(0，4)，直線CMx軸，所以點D的縱坐標為4 因為直線yx+1與直線CM交于點D，當y4時，4x+1，解得x3，所以點D的坐標為(3，4)(2)因為O為原

15、點，點D的坐標為(3，4)，點C的坐標為(0，4)，所以OC4，CD3，所以OD5 因為點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，則分三種情況： 當PDPO時，有， 因為，所以，解得所以點P的坐標為(，0) 當PDOD時，PO2CD6， 所以點P的坐標為(6，0)當ODPO時，PO5， 所以點P的坐標為(5，0)類型三、反比例函數4如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數（k0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tanBOA=（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數的解析式和n的值；（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊B

16、C交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長【思路點撥】（1）由點E的縱坐標得出OA=4，再根據tanBOA= 即可求出AB的長度；（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.【答案與解析】解：（1）點E（4，n）在邊AB上，OA=4， 在RtAOB中，ta

17、nBOA=，AB=OAtanBOA=4=2.（2）由（1），可得點B的坐標為（4，2），點D為OB的中點，點D（2，1）.點D在反比例函數（k0）的圖象上，解得k=2.反比例函數解析式為.又點E（4，n）在反比例函數圖象上，.（3）如圖，設點F（a，2），反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，解得a=1.CF=1.連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2t，在RtCGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，OG=t=.【總結升華】本題綜合考查了反比例函數的知識，包括待定系數法求函數解析式，點在函數圖象上，銳角三角函數的定義，以及折疊的性質，求出點D的坐標，然

18、后求出反比例函數解析式是解題的關鍵舉一反三：【變式1】（2015棗莊）如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=（x0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點（1）求一次函數的解析式；（2）根據圖象直接寫出使kx+b成立的x的取值范圍；（3）求AOB的面積【答案】解：（1）點A（m，6），B（3，n）兩點在反比例函數y=（x0）的圖象上，m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）又點A（m，6），B（3，n）兩點在一次函數y=kx+b的圖象上，解得，則該一次函數的解析式為：y=2x+8；（2）根據圖象可知使kx+b成立的x的取值范圍是0 x1或x3；（3）分別過點A、B作AEx軸，BCx軸

19、，垂足分別是E、C點直線AB交x軸于D點令2x+8=0，得x=4，即D（4，0）A（1，6），B（3，2），AE=6，BC=2，SAOB=SAODSBOD=4642=8【變式2】已知雙曲線和直線相交于點和點，且.求的值.【答案】由得 故 或. 又即，舍去，故所求的值為.類型四、函數綜合應用5如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和軸、軸分別交于點A和點B，且OAOB1.這條曲線是函數的圖像在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（、），由點P向軸、軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F.（1）分別求出點E、F的坐標（用的代數式表

20、示點E的坐標，用的代數式表示點F的坐標，只須寫出結果，不要求寫出計算過程）；（2）求OEF的面積（結果用含、的代數式表示）； （3）AOF與BOE是否一定相似，請予以證明.如果不一定相似或一定不相似，簡要說明理由；（4）當點P在曲線上移動時，OEF隨之變動，指出在OEF的三個內角中，大小始終保持不變的那個角的大小，并證明你的結論.【思路點撥】在證明三角形相似時，EBOOAF是較明顯的，關鍵是證明兩夾邊對應成比例，這里用到了點P（，）在雙曲線上這一重要條件，挖掘形的特征，并把形的因素轉化為相應的代數式形式是解本題的關鍵.【答案與解析】（1）點E（，），點F（，）（2） （3）AOF與BOE一定相

21、似，下面給出證明OAOB1FAOEBOBEAF點P（，）是曲線上一點，即AFBEOBOA1AOFBOE （4）當點P在曲線上移動時，OEF中EOF一定等于45，由（3）知，AFOBOE，于是由AFOBBOF及BOEBOFEOF EOFB45.【總結升華】此題第（3）（4）問均為探索性問題，（4）以（3）為基礎，在肯定（3）的結論后，（4）的解決就不難了.舉一反三：【變式1】如圖所示，點A的坐標為(1，0)，點B在直線y-x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為( )A(0，0) B(,-) C(，) D(，)【答案】當AB與直線y-x垂直時，AB最短(如圖所示) 直線y-x，AOB45AOB是等腰直角三角形過B作BCx軸于C A(1，0)，OA1，此題選B【變式2】在同一坐標系中，一次函數y(1-k)x+2k+l與反比例函數的圖象沒有交點，則常數k的取值范圍是_【答案】由題意知 兩函數圖象無交點， 6如圖所示，點A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函數的圖象上(1)求m、k的值；(2)如果M為x軸上一點，N為y軸上一