高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課優(yōu)質(zhì)課-2.5.1圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用【市一等獎(jiǎng)】?jī)?yōu)質(zhì)課

1、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用Kepler（1571-1630）行星運(yùn)動(dòng)三定律開(kāi)創(chuàng)了天文學(xué)的新紀(jì)元 第一定律：行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，是以太陽(yáng)為其一焦點(diǎn)的橢圓 E.Halley(1656-1742) 1705年大膽地預(yù)言1682年的那顆彗星以75年或76年為周期重復(fù)出現(xiàn). 這預(yù)言被驗(yàn)證于1759年再度轉(zhuǎn)回來(lái). 這顆彗星的軌道是一個(gè)很長(zhǎng)的橢圓，而不是拋物線 圓錐曲線是大自然行星運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律之一. 1835年、1910年和1986年再次看到Halley彗星。 歐洲學(xué)術(shù)界一致地接受了Newton的理論 領(lǐng)悟圓錐曲線中的思想在同一個(gè)圓錐上，通過(guò)改變截面的位置產(chǎn)生出截然不同的三種曲線。 三種曲線具有不同的離

2、心率0e1，因而形狀不同, 但是圓錐曲線具有統(tǒng)一方程。三種曲線分別具有不同的光學(xué)性質(zhì)，它們?nèi)绾蔚玫浇y(tǒng)一解釋？ 延長(zhǎng)F1P到F使得PF=PF2 作FPF2的角平分線l, 則 l 就是圓錐曲線在點(diǎn)P處的切線。F2F1FPl 自橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，反射線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)。M（1）橢圓的光學(xué)性質(zhì)如何解釋圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)？123圓錐曲線切線作法之一對(duì)Ml，有MF1+MF2PF1+PF2FFAPP如圖，在橢圓上求一點(diǎn)P, 使得|PF|+|PA|最小。舉一反三 已知橢圓C： ，F(xiàn)1、F2為分別 是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2，1)，P是C上的動(dòng) 點(diǎn)，求|PF1|+|PQ|的取值范圍。圖3.2.1圖3

3、.2.2圖3.2.3如何解釋圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)？F2l （2）雙曲線的光學(xué)性質(zhì) 自雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射線所在直線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)。 對(duì)雙曲線上任一點(diǎn)P，作F1PF2的角平分線l,則 l 就是雙曲線在點(diǎn)P處的切線。F1P1 23FFAPP如圖，在雙曲線上求一點(diǎn)P, 使得|PF|+|PA|最小。舉一反三 已知雙曲線C： ， F1、F2分 別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn) ，P是C上的動(dòng) 點(diǎn)，求|PF2|+|PQ|的取值范圍。圖3.2.5F 自焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后，反射線平行于對(duì)稱軸。Pl準(zhǔn)線如何解釋圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)？Q 作FPQ的角平分線l， 則l 就是拋物線在點(diǎn)P處的切線。(3

4、)拋物線的光學(xué)性質(zhì)12準(zhǔn)線應(yīng)用 已知F是圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，A為其內(nèi)部一個(gè)定點(diǎn)，在該曲線上求一點(diǎn)P, 使得|PF|+|PA|最小。F分析：如圖拋物線情況，|PA|+|PF|QQ|AQ| =|PA|+|PF| 自點(diǎn)F出發(fā)的光線，遇到圓錐曲線上的點(diǎn)P反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.=|PA|+|PQ|PAP 已知拋物線C： ， F是其焦點(diǎn)， 點(diǎn) ，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|+|PQ| 的取值范圍。 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)描述： 自一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)P反射后，反射線所在直線必定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F2（包括焦點(diǎn)F2是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況）。已知橢圓方程為 1，若有光束自焦點(diǎn)A(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到A點(diǎn)，

5、設(shè)二次反射點(diǎn)為B，C，如圖3.1.2所示，則ABC的周長(zhǎng)為。解：橢圓方程為 1中，A(3，0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)自A(3，0)射出的光線AB 反射后，反射光線AC定過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)A (-3，0)故ABC的周長(zhǎng)為圖3.1.2 拋物線有光學(xué)性質(zhì)，由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p0),一光源在點(diǎn)M( ,4)處， 由其發(fā)出的光線沿平行于拋 物線的對(duì)稱軸的方向射向拋 物線上的點(diǎn)P,折射后又射向 拋物線上的點(diǎn)Q， 再折射后，又沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M. (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),證明：y1y2=-p2; (2)求拋物線的方程；(思考題) (1)證明:由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知，光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F( ,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x- ). 由式得x= y+ ,將其代入拋