專題14 解三角形（解析版）

1、十年十年高考+大數(shù)據(jù)預(yù)測(cè) II）若成等比數(shù)列，求的最小值【解析】（1）成等差數(shù)列，由正弦定理得（2）成等比數(shù)列，由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）即，所以的最小值為40（2019江蘇15）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【解析】（1）由余弦定理，得，即所以（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，所以從而，即，故因?yàn)椋?，從而因?1（2019天津理15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（）求的值；（）求的值【解析】（）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因?yàn)?，得到，由余弦定理可得（）由?/p>

2、）可得，從而，故42（2018天津）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，已知(1)求角的大?。?(2)設(shè)，求和的值【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因?yàn)椋傻?2)在中，由余弦定理及，有，故由，可得因?yàn)椋室虼耍?所以， 43（2016年山東）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （）證明：；（）求的最小值【解析】()由得，所以，由正弦定理，得（）由所以的最小值為44（2016年四川）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且（I）證明：；（ = 2 * ROMAN II）若，求【解析】（I）證明：由正弦定理可知原式可以化解為和為三角形內(nèi)角 ， 則，兩

3、邊同時(shí)乘以，可得由和角公式可知，原式得證（II）由題，根據(jù)余弦定理可知， 為三角形內(nèi)角，則，即由（I）可知，45（2015湖南）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且為鈍角（1）證明：；（2）求的取值范圍【解析】（1）由及正弦定理，得，所以，即又為鈍角，因此+(，)，故=+，即=；（2）由（1）知，=(+)=(2+)=20，所以，于是=，因?yàn)?，所以0，因此2由此可知的取值范圍是（，46（2012安徽）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有（）求角A的大??；（) 若，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)【解析】（）（ = 2 * ROMAN II）在中，47（2011山東）在中，分別為內(nèi)角，所對(duì)的邊長(zhǎng)已知 （I）求的值； （II）若，

4、的面積【解析】（I）由正弦定理，設(shè)則所以即，化簡(jiǎn)可得又，所以，因此（II）由得由余弦定理解得a=1因此c=2又因?yàn)樗砸虼?8（2011安徽）在中，分別為內(nèi)角，所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=，b=，求邊BC上的高【解析】由，得再由正弦定理，得由上述結(jié)果知設(shè)邊BC上的高為，則有考點(diǎn)45利用正弦定理、余弦定理解平面圖形1（2020全國(guó)文11）在中，則（ ）A B C D【答案】C【思路導(dǎo)引】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【解析】設(shè)，故選C2（2020全國(guó)理7）在中，則（ ）A B C D【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案【解析】在中，根據(jù)余弦

5、定理：，可得 ，即，故，故選A3（2020北京10）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（ Day）歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)方式是（ ）A BC D 【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)圓半徑為，內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)為，則，設(shè)外切正六邊形邊長(zhǎng)為，則，當(dāng)時(shí)，又，4（2018新課標(biāo)，理6文7）在中，則ABCD【答案】A【解析】在中，則，故選5（2017新課標(biāo)1，文11）ABC的內(nèi)角A、B、

6、C的對(duì)邊分別為a、b、c已知，a=2，c=，則C=ABCD【答案】B6（2016新課標(biāo)卷3，理8）在中，BC邊上的高等于，則 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】設(shè)邊上的高線為，則，所以，由余弦定理，知，故選C7（2016新課標(biāo)卷3，文9）在中，BC邊上的高等于，則 （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】設(shè)邊上的高線為，則，所以由正弦定理，知，即，解得，故選D8（2013新課標(biāo)，文4）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，由正弦定理得，解得，又，=，故選B9（2016年天津）在中，若，=3， ，則AC= A1 B

7、2 C3 D4【解析】A【解析】由余弦定理得，選A10（2013天津）在ABC中，則=A B C D【答案】C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得11（2012廣東）在中，若，則A B C D【解析】B【解析】由正弦定理得：12（2011天津）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，則的值為（ ）A B C D【解析】D【解析】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，則，在中，由正弦定理得，解得13（2017新課標(biāo)卷3，文15）ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知C=60，b=，c=3，則A=_【答案】75【解析】由題意： ，即 ，結(jié)合 可得 ，則 14(2016全國(guó)新課標(biāo)卷2，文15)ABC的內(nèi)角A

8、，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，a=1，則b=_【答案】15（2015新課標(biāo)，理16）在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是（ ） 【答案】（，）【解析】如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，F(xiàn)CB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）16（2011全國(guó)課標(biāo)，理16）在中，則的最大值為 【答案】【解析】由正弦定理得，=，=，=+=（，故的最

9、大值為17（2011全國(guó)課標(biāo)，文15）中，AC=7，AB=5，則的面積為 【答案】【解析】由余弦定理得，=，即=，即，解得=3或=8(舍)，=18（2019浙江14）在中，點(diǎn)在線段上，若，則_，_【解析】在直角三角形ABC中， QUOTE AB=4 ， QUOTE BC=3 ， QUOTE AC=5 ， QUOTE sinC=45 ，在 QUOTE BCD 中， QUOTE 322=BDsinC ，可得 QUOTE BD=1225 ；， QUOTE sinCBD=sin(135-C)=22(cosC+sinC)=22(45+35)=7210 ，所以 QUOTE cosABD=cos(90-CB

10、D)=sinCBD=7210 19(2018江蘇)在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為 【解析】9【解析】因?yàn)椋钠椒志€交于點(diǎn)，所以，由三角形的面積公式可得，化簡(jiǎn)得，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為920(2018浙江)在中，角，所對(duì)的邊分別為，若，則=_，=_【解析】；3【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得由余弦定理可得，所?1（2017浙江）已知，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，則的面積是_，=_【解析】，【解析】由余弦定理可得，由所以， 因?yàn)椋?，所以?2(2015廣東)設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則 【解析】1【解析】由得或，因?yàn)?，所以，所以，于是有正弦定理?/p>

11、得，所以23（2015福建）若銳角的面積為，且，則等于 【解析】7【解析】由已知得的面積為，所以，所以，由余弦定理得，24（2015北京）在中，則【解析】1【解析】，而25（2015天津）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，則的值為 【解析】8 【解析】 因?yàn)?，所以，又，解方程組，得，由余弦定理得，所以26（2013福建）如圖中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，則的長(zhǎng)為_【解析】【解析】根據(jù)余弦定理可得，27（2018新課標(biāo)，理17）在平面四邊形中，（1）求；（2）若，求【解析】（1），由正弦定理得：，即，（2），28（2015新課標(biāo)，理17）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍（1）求；（

12、2）若，求和的長(zhǎng)【解析】（1）如圖，過作于，平分在中，在中，；分（2）由（1）知，過作于，作于，平分，令，則，由余弦定理可得：，的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為129（2015新課標(biāo)，文17）ABC中D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD=2DC（I）求 ；（II）若，求【解析】（I）由正弦定理得 因?yàn)锳D平分BAC，BD=2DC，所以（II）因?yàn)?所以 由（I）知，所以 30（2014新課標(biāo)，文17）四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)， （）求和； （）求四邊形的面積【解析】（1）由題設(shè)及余弦定理得=， =， 由 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得cosC =，故=60，BD=（2）四邊形ABCD的面積S=ABDAsi

13、nA+BCCDsinC =(12+32)sin60 =31（2013新課標(biāo)，理17）如圖，在ABC中，ABC90，AB= eq r(3) ，BC=1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90(1)若PB= eq f(1,2)，求PA；(2)若APB150，求tanPBA【解析】（）由已知得，PBC=，PBA=30o，在PBA中，由余弦定理得=，PA=；（）設(shè)PBA=，由已知得，PB=，在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，=，=32（2019北京15）在中， ， （）求b，c的值；（）求 的值【解析】（I）由余弦定理，得 因?yàn)椋越獾?，所以（II）由得由正弦定理得在中，是鈍角，所以為銳角所以所以33（201

14、8北京）在中，(1)求；(2)求邊上的高【解析】(1)在中，由正弦定理得，(2)在中，=如圖所示，在中，=，邊上的高為34（2017天津）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（）求和的值；（）求的值【解析】（）在中，因?yàn)椋视?，可得由已知及余弦定理，有，所以由正弦定理，得所以，的值為，的值為（）由（）及，得，所以，?5（2017北京）在中，=60，（）求的值；（）若，求的面積【解析】（）在ABC中，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫ǎ┮驗(yàn)?，所以，由，所以由余弦定理得，解得或（舍）所以ABC的面積36（2014山東）中，分別為內(nèi)角，所對(duì)的邊長(zhǎng)已知（）求的值；（II）求的面積【解析】（I）在中，由題意知，又因?yàn)?/p>

15、，所有，由正弦定理可得（II）由得，由，得所以因此，的面積37（2014安徽）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，且，（）求的值；（）求的值【解析】（），由正弦定理得，（）由余弦定理得，由于，故考點(diǎn)46正余弦定理在實(shí)際測(cè)量問題中的應(yīng)用1（2020山東15）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的界面如圖所示為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點(diǎn)，是圓弧與直線的切點(diǎn)， 四邊形為矩形，垂足為，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為 【答案】【思路導(dǎo)引】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面

16、積求得【解析】解法一：過作交于，交于，過作交于，設(shè)，由已知可得，又，解得扇形面積，設(shè)圓孔的半徑為，則半圓孔的面積為，則，陰影部分面積為，面積為解法二：2（2014四川）如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于 B C D【解析】C【解析】，3（2014新課標(biāo)I，文16）如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從點(diǎn)測(cè)得 點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得已知山高，則山高_(dá)【答案】150m【解析】在ABC中，CAB=，ABC=，BC=100，則AC=；在AMC中，則AMC=，由正弦定理得，AM=，在AMN中，則=150m4（2015湖北）如圖，一

17、輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m【解析】【解析】依題意，在中，由，所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，?m，在中，因?yàn)?，所以，所?m5（2019江蘇18）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）

18、（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離【解析】解法一：（1）過A作，垂足為E由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，因?yàn)镻BAB，所以所以因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求若Q在D處，聯(lián)結(jié)AD，由（1）知，從而，所以BAD為銳角所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求綜上，P和Q均不能選在D處（3）先討論點(diǎn)P的位置當(dāng)OBP90時(shí)，在中，由上可知，d15再討論點(diǎn)Q的位置由（2）知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求當(dāng)QA=15時(shí)，此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑綜