矩陣與數(shù)值分析金光日第2章-3條件數(shù)qr分解

1、2.1.5條件數(shù)與方程組的性態(tài) 其準(zhǔn)確解系數(shù)矩陣以及右端項(xiàng)發(fā)生微小的變化其準(zhǔn)確解方程組的解發(fā)生非常大的變化 定義 如果線性方程組Ax=b中，A或b的元素的微小變化，就會(huì)引起方程組解的巨大變化，則稱方程組為“病態(tài)”方程組，矩陣A稱為“病態(tài)”矩陣否則稱方程組為“良態(tài)”方程組，矩陣A稱為“良態(tài)”矩陣。 我們需要一種能刻畫矩陣和方程組“病態(tài)”程度的量。 求解 時(shí)，A 和 的誤差對(duì)解 有何影響？設(shè) A 精確， 有誤差 ，得到的解為 ，即絕對(duì)誤差放大因子又相對(duì)誤差放大因子相對(duì)誤差常用的條件數(shù)為 分別稱為矩陣A的-條件數(shù)、1-條件數(shù)和2-條件數(shù)為矩陣的算子范數(shù)， 定義設(shè)A為非奇異矩陣， 則稱 為矩陣A的條件

2、數(shù)。矩陣的條件數(shù)具有如下的性質(zhì)：(1)(2)(3),(4)如果 U 為酉矩陣，則 越大，解的相對(duì)誤差可能越大，A對(duì)求解線性方程組來說就越可能呈現(xiàn)病態(tài)但多大A算病態(tài)，通常沒有具體的定量標(biāo)準(zhǔn)；反之，越小，解的相對(duì)誤差越小，呈現(xiàn)良態(tài)下面給出與條件數(shù)有關(guān)的定理. 定理2.5 設(shè) Ax = b，A為非奇異矩陣，b為非零向量且 A 和b均有擾動(dòng) ，則 使得 非常小,若A的擾動(dòng)定理2 設(shè)Ax=b，A為非奇異矩陣，b為非零向量，則方程組近似解 的事后估計(jì)式為 其中稱 為近似解 的余量，簡稱余量。 定理2 設(shè)Ax=b，A為非奇異矩陣，b為非零向量，則方程組近似解 的事后估計(jì)式為 定理2 設(shè)Ax=b，A為非奇異矩

3、陣，b為非零向量，則方程組近似解 的事后估計(jì)式為 2.1.6矩陣的QR分解 Gauss消去過程實(shí)際上是用一系列具有特定結(jié)構(gòu)的單位下三角矩陣將A逐步上三角化的過程由矩陣的條件數(shù)定義可以看出，正交矩陣是性態(tài)最好的矩陣，如果我們能用正交矩陣代替Gauss消去過程中的單位下三角矩陣，即 =則 ,計(jì)算知 ,因此變換后所得的矩陣U的條件數(shù)不變，故該計(jì)算過程具有數(shù)值穩(wěn)定性 在線性代數(shù)中，曾證明了若方陣 且 ，則存在正交陣Q 和對(duì)角元都大于零的上三角陣R，使得 , 而且對(duì)任意非零向量 ，必有正交陣Q 使 如果 使用同樣的方法可以證明（即將A分解成） 其中 為對(duì)角元大于零的上三角陣上式稱為矩陣A的 分解由于 ，

4、因此這種分解的實(shí)現(xiàn)在矩陣計(jì)算中是非常重要的 為實(shí)現(xiàn)矩陣一般的 分解，我們引入Householder矩陣 定義2.4 設(shè) ，稱初等矩陣為Householder矩陣（簡稱H陣），或稱Householder變換矩陣 Householder矩陣具有如下性質(zhì)： (1) ,即H為對(duì)稱陣；(2) ，即H為正交陣；(3)如果 ，則 ;(5)設(shè) 且 ，取 ，則(4)性質(zhì)3亦稱鏡面反射變換，其幾何意義如下：例 求將向量x=(3, 4)T映射成為y=(5, 0)T的正交變換陣H。解：取=x-x2e1 =(-2, 4)T ，則H() =例 利用Householder變換求A的QR分解，其中解 將A按列分塊為其中取，則,令其中，取 令則令從而