2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用ppt課件新人教A版必修2

1、2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程42020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程42020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”【思考】利用坐標(biāo)法解決直線與圓的問題時(shí),建立坐標(biāo)系需要遵循的原則是什么?提示:一般借助圖形中的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心分別為坐標(biāo)軸、原點(diǎn)建系,如果圖形沒有對(duì)稱性,則利用圖形中的邊為坐標(biāo)軸,盡可能多的把圖形中的點(diǎn)、線放到坐標(biāo)軸上.【思考】利用坐標(biāo)法解決直線與圓的問題時(shí),建立坐標(biāo)系需要遵循的【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題時(shí)平面直角坐標(biāo)系可以隨便

2、建.()(2)圓O上一動(dòng)點(diǎn)M與圓O外一定點(diǎn)P的距離的最小值為|PO|-|OM|.()【素養(yǎng)小測(cè)】(3)已知點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1=x2,y1y2,則PQ與x軸垂直.()(3)已知點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1=x2【提示】(1).建立不同的坐標(biāo)系,對(duì)解決問題有直接影響,應(yīng)在利于解題的原則下建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系.(2).數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)P,O,M三點(diǎn)共線,且M在P,O之間時(shí),距離最小.(3).若x1=x2,y1y2,則直線PQ的斜率不存在,直線PQ與x軸垂直.【提示】(1).建立不同的坐標(biāo)系,對(duì)解決問題有直接影響,應(yīng)2.方程y= 對(duì)應(yīng)的曲線是()2.方程y=

3、對(duì)應(yīng)的曲線是()【解析】選A.由方程y= ,得x2+y2=4(y0),它表示的圖形是圓x2+y2=4在x軸以下的部分.【解析】選A.由方程y= ,得x2+y2=4(y3.如圖,圓弧形拱橋的跨度AB=12米,拱高CD=4米,則拱橋的直徑為_.3.如圖,圓弧形拱橋的跨度AB=12米,拱高CD=4米,則拱【解析】設(shè)圓心為O,半徑為r,則由勾股定理得OB2= OD2+BD2,即r2=(r-4)2+62,解得r= ,所以拱橋的直徑為13米.答案:13米【解析】設(shè)圓心為O,半徑為r,則由勾股定理得OB2=類型一直線與圓的實(shí)際應(yīng)用問題【典例】為了適應(yīng)市場(chǎng)需要,某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如圖所示),它的

4、附近有一條公路.從基地中心O處向東走1 km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A,接著向東再走7 km到達(dá)公路上的點(diǎn)B;從基地中心O向正北走8 km類型一直線與圓的實(shí)際應(yīng)用問題到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D,修建一條由D通往公路BC的專用線DE,求DE的最短距離.到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D,修建一【思維引】建立坐標(biāo)系,寫出直線BC的方程,點(diǎn)O到直線BC的距離減去半徑,即為DE的最短距離.【思維引】建立坐標(biāo)系,寫出直線BC的方程,點(diǎn)O到直線BC的【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過OB,OC所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則圓O的方程為x2+y2=

5、1.因?yàn)辄c(diǎn)B(8,0),C(0,8),所以直線BC的方程為 =1,即x+y=8.當(dāng)點(diǎn)D為與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓的切點(diǎn)時(shí),|DE|為最短距離,此時(shí)DE的長(zhǎng)為 -1=(4 -1) km.【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過OB,OC所在的直線分別為x【類題通】求解直線與圓的方程的實(shí)際問題的一般步驟(1)認(rèn)真審題,明確題意.(2)建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn),用方程表示曲線,從而在實(shí)際問題中建立直線與曲線的方程.(3)利用直線與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問題.【類題通】(4)把代數(shù)結(jié)果還原為實(shí)際問題的解.提醒:在實(shí)際問題中,有些量具有一定的條件,轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時(shí)要注意范圍.(4)把代數(shù)結(jié)果還

6、原為實(shí)際問題的解.【習(xí)練破】如圖所示,l是東西走向的一條水管,在水管北側(cè)有兩個(gè)半徑都是10 m的圓形蓄水池A,B(A,B分別為蓄水池的圓心),經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A,B到水管l的距離分別為55 m和25 m,AB=50 m.以l所在直線為x軸,過點(diǎn)A且與l垂直的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【習(xí)練破】(1)求圓B的方程.(2)計(jì)劃在水管l上的點(diǎn)P處安裝一接口,并從接口出發(fā)鋪設(shè)兩條水管,將l中的水引到A,B兩個(gè)蓄水池中,問點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為多少時(shí),鋪設(shè)的兩條水管總長(zhǎng)度最小?并求出該最小長(zhǎng)度.(1)求圓B的方程.【解析】(1)過點(diǎn)B作BCOA于點(diǎn)C,如圖所示,則在RtABC中,A

7、B=50,AC=55-25=30,所以BC=40.又B到x軸的距離為25,所以B(40,25),所以圓B的方程為(x-40)2 +(y-25)2=100.【解析】(1)過點(diǎn)B作BCOA于點(diǎn)C,如圖所示,則在Rt(2)設(shè)圓A關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為圓D,則圓D:x2+(y+55)2 =100,D(0,-55).又B(40,25),所以kDB= =2,所以直線BD的方程為2x-y-55=0.因?yàn)閨AP|=|DP|,所以|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以當(dāng)點(diǎn)D,P,B三點(diǎn)共線時(shí)|DP|+|BP|最小,即|AP|+|BP|最小,最小值為|BD|= (2)設(shè)圓A關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為圓D,則圓D:x2+

8、(y+55由 解得 即點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為 m時(shí),鋪設(shè)的兩條水管總長(zhǎng)度最小,最小為(40 -20)m.由 解得 即點(diǎn)P到點(diǎn)O【加練固】如圖,一座圓拱橋,當(dāng)水面在m位置時(shí),拱頂離水面2米,水面寬12米.當(dāng)水面下降1米后水面寬多少米?【加練固】【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂頂點(diǎn)的豎直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂頂點(diǎn)的豎直直線為y軸,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知可得: A(6,-2),設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.將A的坐標(biāo)代入圓的方程可得r=10,所以圓的方程是:x2+(y+10)2=100,則

9、當(dāng)水面下降1米后可設(shè)A的坐標(biāo)為(x0,-3)(x00)代入圓的方程可得x0= ,所以當(dāng)水面下降1米后,水面寬為2 米.設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知可得: 類型二坐標(biāo)法的應(yīng)用【典例】如圖,在ABC中,D,E,F分別為BC,AC,AB的中點(diǎn),用坐標(biāo)法證明: (|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+ |BE|2+|CF|2.類型二坐標(biāo)法的應(yīng)用【思維引】建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),利用已知關(guān)系確定坐標(biāo)關(guān)系即可.【思維引】建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),利用【解析】以B為原點(diǎn),BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示: 【解析】以B為原點(diǎn),BC為x軸

10、建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示:設(shè)C(a,0),A(b,c),則 由左邊公式可得,左邊= (|AB|2+|BC|2+|AC|2)= (b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)= (a2+b2+c2-ab),同理可得,右邊=|AD|2+|BE|2+|CF|2= = (a2+b2+c2-ab),所以 (|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.設(shè)C(a,0),A(b,c),則 【內(nèi)化悟】利用坐標(biāo)法證明幾何問題有什么優(yōu)點(diǎn)?提示:將圖形關(guān)系證明轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算,簡(jiǎn)化了煩瑣的幾何證明過程.【內(nèi)化悟】【類題通】坐標(biāo)法建立直角坐標(biāo)系應(yīng)堅(jiān)持的原則(1)若有兩條相互垂直的直線,一般

11、以它們分別為x軸和y軸.(2)充分利用圖形的對(duì)稱性.【類題通】(3)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.(4)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得.(3)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱.【習(xí)練破】已知點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PAB=PBA= 15,用坐標(biāo)法證明PCD為等邊三角形.(tan 15=2- )【習(xí)練破】【證明】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,【證明】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)則B(1,-tan15),C(1,2-tan15),D(-1,2-tan15),因?yàn)閠an15=2- ,所以C(1, ),D(-1, ),所以|

12、PC|=|PD|=|CD|=2,所以PCD為等邊三角形.則B(1,-tan15),C(1,2-tan15),D(【加練固】在ABC中,D是BC邊上任意一點(diǎn)(D與B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,求證:ABC為等腰三角形.【加練固】【證明】如圖,作AOBC,垂足為O,以BC所在直線為x軸,以O(shè)A所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系.【證明】如圖,作AOBC,垂足為O,以BC所在直線為x軸,設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因?yàn)閨AB|2=|AD|2 +|BD|DC|,所以由兩點(diǎn)間的距離公式,得b2+a2= d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)

13、(b+d)=(d-b)(c-d),又d-b0,故-b-d=c-d,即-b=c,所以ABC為等腰三角形.設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因類型三與圓相關(guān)的最值問題角度1利用幾何意義求最值【典例】(2019撫順高一檢測(cè))已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,則x2+y2的最大值是()A.6 B.3+ C.14+6 D.14類型三與圓相關(guān)的最值問題【思維引】利用x2+y2= 的幾何意義求最值.【思維引】利用x2+y2= 【解析】選C.方程x2+y2+4x-2y-4=0變形為(x+2)2+(y-1)2=9,表示圓心為(-2,1),半徑為3的圓,畫出相應(yīng)的圖形,如圖所示:【解

14、析】選C.方程x2+y2+4x-2y-4=0變形為(x+連接OB并延長(zhǎng),與圓B交于A點(diǎn),此時(shí)x2+y2的最大值為|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|= 則|AO|2=(3+ )2=14+6 ,即x2+y2的最大值為14+6 .連接OB并延長(zhǎng),與圓B交于A點(diǎn),此時(shí)x2+y2的最大值為【素養(yǎng)探】在利用幾何意義求最值時(shí),常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象,可以將式子變形,賦予其幾何意義,再利用幾何性質(zhì)求最值.本例的條件不變,試求|x+y+6|的最小值.【素養(yǎng)探】【解析】|x+y+6|= 表示圓上點(diǎn)到直線x+y+6=0的距離的 倍,最小為圓心到直線的距離減半徑的 倍,即 【解析】|x+y+6|= 表示

15、圓上點(diǎn)到角度2與切線相關(guān)的最值【典例】點(diǎn)P在直線4x+3y+20=0上,PA,PB與圓x2+y2=4相切于A,B兩點(diǎn),則四邊形PAOB面積的最小值為_.角度2與切線相關(guān)的最值【思維引】利用切線的性質(zhì)表示出面積,確定決定面積最值的量,從而求該量的最小值.【思維引】利用切線的性質(zhì)表示出面積,確定決定面積最值的量,【解析】根據(jù)題意,圓的方程為x2+y2=4,則圓心(0,0),半徑r=2,又由|PA|=|PB|,PAOA,PBOB,則S四邊形PAOB=2SPAO =2 |PA|AO|=2PA,在RtPAO中,有|PA|2=|PO|2-r2 =|PO|2-4,則當(dāng)PO最小時(shí),PA最小,此時(shí)所求的面積也最

16、小,點(diǎn)P是直線4x+3y+20=0上的動(dòng)點(diǎn),則PO的最小值為d= =4,PA的最小值為 故S四邊形PAOB=2PA4 .【解析】根據(jù)題意,圓的方程為x2+y2=4,則圓心(0,0)答案:4 答案:4 【類題通】1.利用直線與圓的方程解決最值問題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有斜率、截距、距離等.【類題通】(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.2.涉及與圓有關(guān)的最值問題,可借助圖形性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合求解,一般地:(1)形如u= 形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.(2)轉(zhuǎn)

17、化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(2)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)的距離最值問題.(3)形如|Ax+By+C|形式的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的最值的 倍問題.(2)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為【習(xí)練破】1.(2019長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),若點(diǎn)P是圓x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則ABP面積的最小值為()A.6B. C.8D. 【習(xí)練破】【解析】選B.求ABP面積的最小值,即求P到直線AB的最小值,即為圓心到直線AB的距離減去半徑.直線AB的方程為

18、3x-4y-12=0,圓x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圓心為(0,1),半徑為1.因?yàn)閳A心到直線AB的距離為d= 【解析】選B.求ABP面積的最小值,即求P到直線AB的最小 所以P到直線AB的最小值為 因?yàn)閨AB|=5,所以ABP面積的最小值為 所以P到直線AB的最小值為 2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x-1=0,則y-2x的最小值和最大值分別為()A.-9,1B.-10,1C.-9,2D.-10,22.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x-1=0,則y-2【解析】選A.根據(jù)題意,設(shè)z=y-2x,則y=2x+z,則z可看作是直線y=2x+z在y軸上的截距,方程x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,表示以(2,0)為圓心, 為半徑的圓,如圖所示,【解析】選A.根據(jù)題意,設(shè)z=y-2x,則y=2x+z,則z當(dāng)直線y=2x+z與圓相切時(shí),縱截距z取得最大值或最小值,此時(shí)有 解得z=-9或1,則y-2x的最大值為1,最小值為-