機(jī)器視覺(jué) 空間幾何變換

1、機(jī)器視覺(jué) 空間幾何變換第1頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四主要內(nèi)容2.1 空間幾何變換2.2 幾何變換的不變量2.3 歐式空間的剛體變換第2頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四攝像機(jī)成像的幾何變換？2.1 空間幾何變換第3頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Figures Stephen E. Palmer, 2002Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D)3D world2D image第4頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四第5頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，

2、5月20日，20點(diǎn)55分，星期四第6頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Projection can be trickySlide source: Seitz第7頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Projection can be trickySlide source: Seitz第8頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四成像幾何（Projective Geometry）What is lost?LengthWhich is closer?Who is taller?第9頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四

3、成像幾何（Projective Geometry）空間實(shí)際長(zhǎng)度與圖像中的長(zhǎng)度成一定比例放縮第10頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Projective GeometryWhat is lost?LengthAnglesPerpendicular?Parallel?第11頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Projective GeometryWhat is preserved?Straight lines are still straight第12頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四成像幾何（Projective Geomet

4、ry）消失點(diǎn)/無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（Vanishing Point）第13頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四成像特點(diǎn)（Properties of Projection ）點(diǎn)（points）投影后為點(diǎn)；線(xiàn)（lines）投影后為線(xiàn)；平面（planes or polygon ）投影后為平面（可能不是整個(gè)平面）。特殊情況：經(jīng)過(guò)光心的線(xiàn)投影后退變?yōu)辄c(diǎn)；經(jīng)過(guò)光心的平面投影后退變?yōu)榫€(xiàn)。第14頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四無(wú)窮遠(yuǎn)元素 平行線(xiàn)交于一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn); 平行平面交于一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn); 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)第15頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期

5、四在一個(gè)平面上, 所有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一條直線(xiàn), 稱(chēng)為這個(gè)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn).平行線(xiàn)無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)無(wú)窮遠(yuǎn)元素第16頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四3維空間中所有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一個(gè)平面, 稱(chēng)為這個(gè)空間的無(wú)窮遠(yuǎn)平面.無(wú)窮遠(yuǎn)元素?zé)o窮遠(yuǎn)平面平行線(xiàn)平行平面和直線(xiàn)第17頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Vanishing points and lines第18頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Vanishing points and linesVanishing pointVanishing lineVanishing point Vert

6、ical vanishing point(at infinity)Slide from Efros, Photo from Criminisi第19頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Vanishing points and linesPhoto from online Tate collection第20頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Note on estimating vanishing points第21頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四射影空間 對(duì) n 維歐氏空間加入無(wú)窮遠(yuǎn)元素, 并對(duì)有限元素和無(wú)窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)分

7、, 則它們共同構(gòu)成了 n 維射影空間. 1維射影空間是一條射影直線(xiàn), 它由我們所看到 的歐氏直線(xiàn)和它的無(wú)窮點(diǎn)組成; 2維射影空間是一個(gè)射影平面, 它由我們所看到 的歐氏平面和它的無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)組成; 3維射影空間由我們所在的空間與無(wú)窮遠(yuǎn)平面組 成.第22頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四 在 n 維空間中, 建立歐氏坐標(biāo)后, 每一個(gè)有限的點(diǎn)的坐標(biāo)為 , 對(duì)任意 n+1 個(gè)數(shù) , 如果滿(mǎn)足: 則 被叫作這個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo). 被稱(chēng)作非齊次坐標(biāo). 不全為0的數(shù) 組成的坐標(biāo) 被稱(chēng)作無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo).齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates ）第23頁(yè)，共45頁(yè)，20

8、22年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四一維齊次點(diǎn)坐標(biāo)定義齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates ）第24頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四二維齊次點(diǎn)坐標(biāo)定義有窮遠(yuǎn)點(diǎn) 方向?yàn)?=x2/x1的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)非齊次齊次坐標(biāo)關(guān)系 y軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(x, y)x = x1 / x3, y = x2 / x3(x1, x2, x3) (x30)(x1, x2, 0) (x10)(=x2/x1)(0, x2, 0) (x20)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates ）第25頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Homogen

9、eous coordinatesConversionConverting to homogeneous coordinateshomogeneous image coordinateshomogeneous scene coordinatesConverting from homogeneous coordinates第26頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Homogeneous coordinatesInvariant to scalingPoint in Cartesian is ray in HomogeneousHomogeneous CoordinatesCa

10、rtesian Coordinates第27頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四Basic geometry in homogeneous coordinatesLine equation: ax + by + c = 0Append 1 to pixel coordinate to get homogeneous coordinateLine given by cross product of two pointsIntersection of two lines given by cross product of the lines第28頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月

11、20日，20點(diǎn)55分，星期四homogeneous coordinatesIntersection of parallel lines第29頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates ）為什么要用齊次坐標(biāo)表示？可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。第30頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四射影變換(projective transformation)n維射影空間的射影變換:射影變換由Tp矩陣決定，有(n+1)2個(gè)參數(shù)，獨(dú)立參數(shù)(

12、n+1)2-1個(gè)第31頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四1維射影變換:射影變換(projective transformation)3維射影變換:第32頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四仿射變換（Affine transformation）仿射變換是射影變換的特例 ，當(dāng)射影中心平面變?yōu)闊o(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，射影變換就變成了仿射變換。第33頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四1維仿射變換:仿射變換（Affine transformation）3維仿射變換:第34頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四比例變換（Metr

13、ic transformation）比例變換是帶有一比例因子的歐氏變換，其三維空間變換形式：比例變換有7個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移和1個(gè)比例因子。比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小，所以有時(shí)將比例變換稱(chēng)為相似變換。第35頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四歐氏變換（Euclidean transformation） 歐氏變換是在歐氏空間進(jìn)行的變換，與比例變換很類(lèi)似，只是比例因子取為1。在三維歐氏空間其變換形式可表示為歐氏變換有6個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移。第36頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四 在幾何變換中，某些幾何特性在變換

14、前后具有不變化的特性。這樣的特性或特征量稱(chēng)為不變特性或不變量。2.2.1 簡(jiǎn)比與交比直線(xiàn)L上三個(gè)點(diǎn)A, B, C。以A、B為基礎(chǔ)點(diǎn)，點(diǎn)C為分點(diǎn)，由分點(diǎn)與基礎(chǔ)點(diǎn)所確定的兩個(gè)有向線(xiàn)段之比稱(chēng)為簡(jiǎn)比，記為一條直線(xiàn)上四個(gè)點(diǎn)中兩個(gè)簡(jiǎn)比的比值稱(chēng)為交比以O(shè)點(diǎn)為交點(diǎn)的任意4條直線(xiàn)的交比稱(chēng)為線(xiàn)束交比2.2 幾何變換的不變量第37頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四射影變換不變性和不變量如下:（1）同素性和接合性（2 ）保持直線(xiàn)上點(diǎn)列的交比不變。（3） 保持線(xiàn)束的交比不變。（4）如果平面內(nèi)有一線(xiàn)束的四直線(xiàn)被任一直線(xiàn)所截，則截點(diǎn)列的交比和線(xiàn)束的交比相等。（5）點(diǎn)列交比是射影變換的基本不變量，是射

15、影變換的充分必要條件，且共線(xiàn)四點(diǎn)交比具有如下特性：不變量第38頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四仿射變換除具有以上射影變換不變性外，還具有如下特性:（l）兩直線(xiàn)間的平行性是仿射不變換。（2）共線(xiàn)三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射變換的基本不變量。（3）兩個(gè)三角形的面積之比是仿射不變量。（4）兩條封閉曲線(xiàn)所圍成的面積之比是仿射不變量。比例變換除具有仿射變換的不變性外，還保持兩條相交直線(xiàn)的夾角不變，因此其形狀保持不變; 歐氏變換不僅保持兩條相交直線(xiàn)的夾角不變，而且還保持任意兩點(diǎn)的距離不變，因此，其形狀和大小均保持不變。不變量第39頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四不變量 特征矢量CR反映了空間平面多邊形的結(jié)構(gòu)和形狀.第40頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期四 在機(jī)器視覺(jué)中，剛體變換經(jīng)常用于1、計(jì)算一個(gè)剛體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移后的新坐標(biāo);2、計(jì)算同一個(gè)剛體在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。假設(shè)在歐氏空間有一點(diǎn)p，其在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是和 ，有變換其中，2.3 歐氏空間的剛體變換第41頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)55分，星期