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1、第六節(jié) 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯（Gauss）公式二、高斯公式的物理意義 通量與散度三、斯托克斯（Stokes）公式四、斯托克斯公式的物理意義 環(huán)流與旋度五、作業(yè)一、高 斯 公 式定理證明思路與格林公式的證明思路類似只證明：R關于x，y的曲面積分等于相應的三重積分（其余類似可證）對空間區(qū)域進行分類：（1）區(qū)域由上下兩片和垂直于xoy面的柱面圍成（2）區(qū)域為單連通區(qū)域（3）區(qū)域為多連通區(qū)域先證明：證明根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法同理可證：高斯（Gauss）公式所以：Gauss公式的實質 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.由兩類曲面積分之間的關系知使

2、用Gauss公式時應注意:Guass公式應用之一:簡化曲面積分計算解(利用柱面坐標得)課本例2注：對稱性+截面法更簡單，自己練習！添加曲面（取下側）使之封閉，在閉區(qū)域上使用高斯公式。對新添加之曲面（實為平面），用“一投、二代、三定號”的基本方法計算其曲面積分.課本例3，07期末題練習增加課本例4?試題鏈接：上一節(jié)例3課本例5解空間曲面在 面上的投影域為曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式故所求積分為小結：幾類題型1、滿足高斯公式的所有條件2、曲面不封閉的情形（期末考試重點題型）3、函數(shù)不具有一階連續(xù)偏導數(shù)（高斯積分）4、第一型曲面積分Gauss公式的應用之二：體積公式提示：課本例1二、高斯公式物

3、理意義-通量與散度1. 通量的定義:2. 散度的定義:物理意義：通量對體積的變化率，稱為通量密度.散度在直角坐標系下的形式積分中值定理兩邊取極限,高斯公式可寫成高斯公式右端：單位時間內離開區(qū)域的 流體總質量(流量).高斯公式左端：區(qū)域內源頭在單位時間 所產生的流體質量的平均值.小結應用的條件物理意義高斯公式的實質高斯公式三、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式. 是有向曲面 的正向邊界曲線右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分121根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證所以，.另一種形式便于記憶形式Stokes公式的實質: 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公式特殊情形簡單的應用解按斯托克斯公式, 有解則即四、斯托克斯公式的物理意義-環(huán)流量與旋度1. 環(huán)流量的定義:利用stokes公式, 有2. 旋度的定義:斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解釋:解由力學知道點 的線速度為觀

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