2022年新教材高中數(shù)學第一章預備知識3不等式3.2基本不等式第2課時基本不等式的應用素養(yǎng)作業(yè)北師大版必修第一冊

1、PAGE 5PAGE 第一章33.2第2課時A組素養(yǎng)自測一、選擇題1若xx|2x0，則x(2x)的最小值是(C)A2Beq f(3,2)C1Deq f(1,2)解析因為xx|2x0，所以2x0，所以x(2x)(x)(2x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2x,2)eq sup12(2)1，當且僅當x1時，等號成立2某工廠第一年產量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則(B)Axeq f(ab,2)Bxeq f(ab,2)Cxeq f(ab,2)Dxeq f(ab,2)3當x1時，不等式xeq f(1,x1)a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A

2、a2Ba2Ca3Da3解析由于x1，所以x10，eq f(1,x1)0，于是xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，當eq f(1,x1)x1即x2時等號成立，即xeq f(1,x1)的最小值為3，要使不等式恒成立，應有a3，故選D4設x，y為正數(shù)，則(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)的最小值為(B)A6B9C12D15解析x，y為正數(shù)，(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)14eq f(y,x)eq f(4x,y)9，當且僅當y2x時等號成立選B5若對所有正數(shù)x，y，不等式xyaeq r(x2y2)都

3、成立，則a的最小值是(A)Aeq r(2)B2C2eq r(2)D8解析因為x0，y0，所以xyeq r(x2y22xy)eq r(2x22y2)eq r(2)eq r(x2y2)，當且僅當xy時等號成立，所以使得xyaeq r(x2y2)對所有正數(shù)x，y都成立的a的最小值是eq r(2)故選A6若點A(2，1)在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值為(C)A2B4C8D16解析因為點A在直線mxny10上，所以2mn10，即2mn1因為m0，n0，所以eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(2mn,m)eq f(4m2n,n)2eq f

4、(n,m)eq f(4m,n)242eq r(f(n,m)f(4m,n)8，當且僅當meq f(1,4)，neq f(1,2)時取等號故選C二、填空題7已知x、y都是正數(shù)，(1)如果xy15，則xy的最小值是_2eq r(15)_；(2)如果xy15，則xy的最大值是_eq f(225,4)_解析(1)xy2eq r(xy)2eq r(15)，即xy的最小值是2eq r(15)；當且僅當xyeq r(15)時取最小值(2)xyeq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)eq sup12(2)eq f(22

5、5,4)，即xy的最大值是eq f(225,4)當且僅當xyeq f(15,2)時xy取最大值8已知正數(shù)a、b滿足eq f(9,a)eq f(1,b)3，則ab的最小值為_4_解析eq f(9,a)eq f(1,b)32eq r(f(9,ab)eq r(ab)2ab4當且僅當eq f(9,a)eq f(1,b)，即a6，beq f(2,3)時取等號三、解答題9若正數(shù)a、b滿足：eq f(1,a)eq f(2,b)1，求eq f(2,a1)eq f(1,b2)的最小值解析正數(shù)a、b滿足eq f(1,a)eq f(2,b)1，則eq f(1,a)1eq f(2,b)eq f(b2,b)，則eq f

6、(1,b2)eq f(a,b)，由正數(shù)a、b滿足eq f(1,a)eq f(2,b)1，則eq f(2,b)1eq f(1,a)eq f(a1,a)，則eq f(2,a1)eq f(b,a)，eq f(2,a1)eq f(1,b2)eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2，當且僅當ab3時取等號，故eq f(2,a1)eq f(1,b2)的最小值為210某公司今年3月欲抽調一批銷售員推銷A產品，根據(jù)過去的經(jīng)驗，每月A產品銷售數(shù)量y(萬件)與銷售員的數(shù)量x(人)之間的函數(shù)關系式為yeq f(920 x,x23x1600)(x0)在該月內，銷售員數(shù)量為多少時，銷售

7、的數(shù)量最大？最大銷售量為多少？(精確到0.1萬件)解析依題意得yeq f(920,x3f(1600,x)(xN*)因為xeq f(1600,x)2eq r(xf(1600,x)80，當且僅當xeq f(1600,x)，即x40時上式等號成立，所以ymaxeq f(920,83)11.1(萬件)所以當銷售員為40人時，銷售量最大，最大銷售量約為11.1萬件B組素養(yǎng)提升一、選擇題1已知m，nR，且m2n2100，則mn的最大值是(B)A100B50C20D10解析由m2n22mn得mneq f(m2n2,2)50，當且僅當mn5eq r(2)時等號成立2已知0 x1，a，b為常數(shù)，且ab0，則ye

8、q f(a2,x)eq f(b2,1x)的最小值為(A)A(ab)2B(ab)2CabDab解析yeq f(a2,x)eq f(b2,1x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,x)f(b2,1x)x(1x)a2b2eq f(a2(1x),x)eq f(b2x,1x)a2b22ab(ab)2，當且僅當xeq f(a,ab)時取等號3已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(B)A2B4C6D8解析(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1aeq f(y,x

9、)eq f(ax,y)1a2eq r(f(y,x)f(ax,y)1a2eq r(a)，當且僅當eq f(y,x)eq f(ax,y)，即yeq r(a)x時取等號依題意得1a2eq r(a)9，即(eq r(a)2)(eq r(a)4)0，又eq r(a)40，eq r(a)2，解得a4，故a的最小值為4，故選B4(多選題)已知集合UR，Ap|paeq f(1,a2)，a2，Bq|qx28，xR，則下列正確的是(ABD)AABx|4x8BABRCABDUAB解析由a2，故paeq f(1,a2)(a2)eq f(1,a2)24，當且僅當a3時取等號所以Ap|p4，Bq|q8故選ABD二、填空題

10、5已知xeq f(5,2)，則f(x)eq f(x24x5,2x4)的最小值是_1_解析f(x)eq f(x2)21,2x4)eq f(x2,2)eq f(1,2x4)eq f(2x4,4)eq f(1,2x4)2eq r(f(2x4,4)f(1,2x4)1當且僅當eq f(2x4,4)eq f(1,2x4)，即x3時取“”6(2021湖南湘潭高二期末)一批救災物資隨51輛汽車從某市以vkm/h的速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于eq f(v2,800)km，那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要_10_h解析當最后一輛汽車出發(fā)，第一輛汽車走了eq

11、f(50f(v2,800),v)eq f(v,16)小時，最后一輛車走完全程共需要eq f(400,v)小時，所以一共需要eq f(400,v)eq f(v,16)小時，結合基本不等式，計算最值，可得eq f(400,v)eq f(v,16)2eq r(f(400,v)f(v,16)10，故最小值為10小時三、解答題7(2022福建廈門雙十中學高二上第二次月考)設a0，b0，且abeq f(1,a)eq f(1,b)(1)求ab的最小值；(2)證明：a2a2與b2b2不可能同時成立解析由abeq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,ab)，且a0，b0，得ab1(1)由基本不等式及a

12、b1，知ab2eq r(ab)2，當且僅當ab1時取等號，故ab的最小值為2(2)證明：由(1)知a2b22ab2，且ab2，因此a2b2ab4，假設a2a2與b2b2同時成立，則a2b2ab4，兩式矛盾，故a2a2與b2b2不可能同時成立8某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調查測算，某產品的年銷售量(也即該產品的年產量)x萬件與年促銷費用m(m0)萬元滿足x3eq f(k,m1)(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件已知2020年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2020年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解析(1)由題意知，當m0時，x1，13kk2，x3eq f(2,m1)，每件產品的銷售價格為