處理共點(diǎn)力平衡問題的常見方法和技巧

1、處理共點(diǎn)力平衡問題的常見方法和技巧物體所受各力的作用線（或其反向延長線）能交于一點(diǎn)，且物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速 直線運(yùn)動狀態(tài)，則稱為共點(diǎn)力作用下物體的平衡。它是靜力學(xué)中最常見的問題，下面主要介 紹處理共點(diǎn)力作用下物體平衡問題的一些思維方法。解三個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問題的方法解三個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問題的常用方法有以下五種：（1）力的合成、分解法：對于三力平衡問題，一般可根據(jù)“任意兩個(gè)力的合成與第三 個(gè)力等大反向”的關(guān)系，即利用平衡條件的“等值、反向”原理解答。例1.如圖1所示，一小球在紙面內(nèi)來回振動，當(dāng)繩OA和OB拉力相等時(shí)，擺線與豎直 方向的夾角為：（）圖1A. 15 B. 30 C. 4

2、5 D. 60解析：對0點(diǎn)進(jìn)行受力分析，0點(diǎn)受到OA繩和OB繩的拉力F和F及小球通過繩子對AB0點(diǎn)的拉力F三個(gè)力的作用，在這三個(gè)力的作用下0點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，由“等值、反向”原理得，F(xiàn)A和F的合力F合與F是等值反向的，由平行四邊形定則，作出FA和F的合力F 合,AB合AB合如圖2所示，由圖可知口 =佇，故答案是a。圖2（2）矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢 量箭頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形；反之，若三個(gè)力矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形， 則這三個(gè)力的合成必為零，因此可利用三角形法，求得未知力。例2.圖3中重物的質(zhì)量為m,輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的。

3、平衡時(shí)AO是水平的，BO與水平面的夾角為白。AO的拉力血4和BO的拉力馮啟的大小是：（）OlOl圖3A比二戲童阮門召b巧皿二険童匚吮召C.D.C.D.解析：因結(jié)點(diǎn)0受三力作用而平衡，且理4與mg垂直，所以三力應(yīng)組成一個(gè)封閉的直 角三角形，如圖4所示，由直角三角形知識得：弧訟二略FTA = mge，所以選 項(xiàng) B、 D 正確。（3）正弦定理法：三力平衡時(shí)，三個(gè)力可構(gòu)成一封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角 度關(guān)系，則可用正弦定理列式求解。例3.如圖5 (a)所示，質(zhì)量為m的物體用一輕繩掛在水平輕桿BC的C端，B端用鉸 鏈連接，C點(diǎn)由輕繩AC系住，已知AC、BC夾角為白，則輕繩AC上的張力和輕桿BC上

4、的壓 力大小分別為多少？圖5解析：選C點(diǎn)為研究對象，受力情況如圖5 (b)所示，由平衡條件和正弦定理可得- sm90即得恥所以由牛頓第三定律知，輕繩AC上的張力大小為所以由牛頓第三定律知，輕繩AC上的張力大小為，輕桿 BC 上的壓力大小= mg cot 3三力匯交原理：如果一個(gè)物體受到三個(gè)不平行外力的作用而平衡，這三個(gè)力的作 用線必在同一平面上，而且必為共點(diǎn)力。例4.如圖6所示，兩光滑板AO、B0與水平面夾角都是60, 輕質(zhì)細(xì)桿水平放在其 間，用豎直向下的力F作用在輕桿中間，桿對兩板的壓力大小為。圖6解析：選輕桿為研究對象，其受三個(gè)力而平衡，因此這三力必為共點(diǎn)力（匯交于 O”） 作出受力分析如

5、圖 7 所示。圖7由圖可知，F(xiàn)與F對稱分布，所以忌二月恥，且這兩力的夾角為120，其合力F” TA TB應(yīng)與 F 相等，以 F ， F 為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為菱形，其性質(zhì)為對角線垂直且平分，根 TA TB據(jù)三角形知識，有F= 27 cos 60 = Fta =理g又因?yàn)楦?F所以氐1 = Ftb = F解多個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問題的方法多個(gè)共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題，常采用正交分解法?？蓪⒏髁Ψ謩e分解到x軸上 和y軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條件，即込=、碼求解。值得注意的 是，對X、y方向選擇時(shí)，要盡可能使落在X、y軸上的力多，且被分解的力盡可能是已知力, 不宜分解待求力。例5.在

6、機(jī)械設(shè)計(jì)中亦常用到下面的力學(xué)原理，如圖8所示，只要使連桿AB與滑塊m 所在平面間的夾角占大于某個(gè)值，那么，無論連桿AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能 使之滑動，且連桿AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱之為“自鎖” 現(xiàn)象。為使滑塊能“自鎖”，白應(yīng)滿足什么條件？（設(shè)滑塊與所在平面間的動摩擦因數(shù)為）解析：滑塊m的受力分析如圖9所示，將力F分別在水平和豎直兩個(gè)方向分解，則:圖9在豎直方向上理尸悝+肌在水平方向上由以上兩式得FpF sm G因?yàn)榱可以很大，所以上式可以寫成月匚恥閂至昭關(guān)門日故占應(yīng)滿足的條件為研究對象的靈活選擇整體法與隔離法用整體法還是用隔離法，其實(shí)質(zhì)就是如何合理選

7、取研究對象，使受力分析和解題過程 簡化。對一個(gè)較為復(fù)雜的問題，兩者應(yīng)靈活選用、有機(jī)結(jié)合，才能到達(dá)迅速求解的目的。例 6. 在粗糙水平面上有一個(gè)三角形的木塊，在它的兩個(gè)粗糙斜面上分別放有兩個(gè)質(zhì)量m和的小木塊，叫 叫，如圖10所示，已知三角形木塊和兩個(gè)小木塊都是靜止的，則粗糙水平面對三角形木塊（ ）圖 10有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右；有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左；有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能確定，因m . m2和厲、燉的數(shù)值并未給出;以上結(jié)論都不對。解析：因?yàn)槿切文緣K和兩個(gè)小木塊都靜止，所以可將三者看成一個(gè)整體如圖11所示 其在豎直方向受重力和水平面的支持力，合力為零。在

8、水平方向沒有受其他力的作用，所以 整體在水平方向上沒有相對水平面的運(yùn)動趨勢，因此粗糙水平面對三角形木塊沒有靜摩擦 力。例7.如圖12所示，兩塊相同的豎直木板之間有質(zhì)量均為m的四塊相同的磚，用兩個(gè) 大小為 F 的水平壓力壓木板，使磚塊靜止不動。設(shè)所有接觸面均粗糙，則第3塊磚對第2 塊磚的摩擦力為（ ）I1234圖 12A. 0 B.C. mg D. 2mg解析：將4 塊磚為整體進(jìn)行受力分析如圖13所示，可知兩側(cè)木板對磚的靜摩擦力均為 豎直向上，且大小為2mg；再把第1、2兩塊磚為整體進(jìn)行受力分析如圖14所示，由圖可知 木板對磚的靜摩擦力與磚的重力2mg是一對平衡力，這表明第3塊與第2塊磚之間沒有

9、靜摩 擦力。所以選項(xiàng)A正確。求共點(diǎn)力作用下物體平衡的極值問題的方法 共點(diǎn)力作用下物體平衡的極值問題是指研究平衡問題中某個(gè)力變化時(shí)出現(xiàn)的最大值或 最小值，處理這類問題常用解析法和圖解法。例&如圖15所示，物體的質(zhì)量為2kg，兩根輕細(xì)繩AB和AC的一端連接于豎直墻上, 另一端系于物體上，且AC繩水平時(shí)，兩繩所成角為61= 600。在物體上另施加一個(gè)方向與 水平線成6，=60的拉力F,若要使繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。解析：作出A受力示意圖，并建立直角坐標(biāo)如圖16所示，由平衡條件有:圖 16XF cos- Fc - Fs cos = 0F gin 召 + 理 smmg = 0由以上兩式得主七上J

10、及要使兩繩都能繃直，需有由兩式得F有最大值朋gsin 3由兩式得F有最小值綜合得F的取值范圍為例9.重量為G的木塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為，一人欲用最小的作用力F使 木塊做勻速運(yùn)動，則此最小作用力的大小和方向應(yīng)如何？解析：由于廣嘰,所以不論F如何改變，與與F的合力F的方向都不會發(fā)生變N N 1ce = arctan 丄 =arctan 岸化，如圖17 （甲）所示，合力F1與豎直方向的夾角一定為為由木塊做勻速運(yùn)動可知F、F1和G三力平衡，且構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，當(dāng)改變F的方向 時(shí)，F(xiàn)和.的大小都會發(fā)生改變,，由圖17 （乙）知，當(dāng)F和F的方向垂直時(shí)F最小。故由圖中幾何關(guān)系得O圖中幾何關(guān)系得O共點(diǎn)力平衡問題中的“變”與“不變”物體在共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，即使在一些量變的過程中某些本質(zhì)并不變。因此尋找變化中保持不變的部分，乃是解決平衡問題的一種重要方法。例10.三個(gè)相同的支座上分別擱著三個(gè)質(zhì)量和直徑都相等的光滑圓球a、b、c，支點(diǎn)P、Q在同一水平面上，a球的重心位于球心，b球和c球的重心*、2分別位于球心的正 上方和球心的正下方，如圖18所示，三球均處于平衡狀態(tài)，支點(diǎn)P對a球的彈力為氐,對b球和c球的彈力分別為氐、，則（圖 18A.%B.C.A.%B.C.解析：本題的干擾因素是三個(gè)球的重心在豎直方向的位置發(fā)生了變化（a