處理共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的常見(jiàn)方法和技巧

1、處理共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的常見(jiàn)方法和技巧物體所受各力的作用線（或其反向延長(zhǎng)線）能交于一點(diǎn)，且物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速 直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則稱為共點(diǎn)力作用下物體的平衡。它是靜力學(xué)中最常見(jiàn)的問(wèn)題，下面主要介 紹處理共點(diǎn)力作用下物體平衡問(wèn)題的一些思維方法。解三個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問(wèn)題的方法解三個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問(wèn)題的常用方法有以下五種：（1）力的合成、分解法：對(duì)于三力平衡問(wèn)題，一般可根據(jù)“任意兩個(gè)力的合成與第三 個(gè)力等大反向”的關(guān)系，即利用平衡條件的“等值、反向”原理解答。例1.如圖1所示，一小球在紙面內(nèi)來(lái)回振動(dòng)，當(dāng)繩OA和OB拉力相等時(shí)，擺線與豎直 方向的夾角為：（）圖1A. 15 B. 30 C. 4

2、5 D. 60解析：對(duì)0點(diǎn)進(jìn)行受力分析，0點(diǎn)受到OA繩和OB繩的拉力F和F及小球通過(guò)繩子對(duì)AB0點(diǎn)的拉力F三個(gè)力的作用，在這三個(gè)力的作用下0點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，由“等值、反向”原理得，F(xiàn)A和F的合力F合與F是等值反向的，由平行四邊形定則，作出FA和F的合力F 合,AB合AB合如圖2所示，由圖可知口 =佇，故答案是a。圖2（2）矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢 量箭頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形；反之，若三個(gè)力矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形， 則這三個(gè)力的合成必為零，因此可利用三角形法，求得未知力。例2.圖3中重物的質(zhì)量為m,輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的。

3、平衡時(shí)AO是水平的，BO與水平面的夾角為白。AO的拉力血4和BO的拉力馮啟的大小是：（）OlOl圖3A比二戲童阮門召b巧皿二険童匚吮召C.D.C.D.解析：因結(jié)點(diǎn)0受三力作用而平衡，且理4與mg垂直，所以三力應(yīng)組成一個(gè)封閉的直 角三角形，如圖4所示，由直角三角形知識(shí)得：弧訟二略FTA = mge，所以選 項(xiàng) B、 D 正確。（3）正弦定理法：三力平衡時(shí)，三個(gè)力可構(gòu)成一封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角 度關(guān)系，則可用正弦定理列式求解。例3.如圖5 (a)所示，質(zhì)量為m的物體用一輕繩掛在水平輕桿BC的C端，B端用鉸 鏈連接，C點(diǎn)由輕繩AC系住，已知AC、BC夾角為白，則輕繩AC上的張力和輕桿BC上

4、的壓 力大小分別為多少？圖5解析：選C點(diǎn)為研究對(duì)象，受力情況如圖5 (b)所示，由平衡條件和正弦定理可得- sm90即得恥所以由牛頓第三定律知，輕繩AC上的張力大小為所以由牛頓第三定律知，輕繩AC上的張力大小為，輕桿 BC 上的壓力大小= mg cot 3三力匯交原理：如果一個(gè)物體受到三個(gè)不平行外力的作用而平衡，這三個(gè)力的作 用線必在同一平面上，而且必為共點(diǎn)力。例4.如圖6所示，兩光滑板AO、B0與水平面夾角都是60, 輕質(zhì)細(xì)桿水平放在其 間，用豎直向下的力F作用在輕桿中間，桿對(duì)兩板的壓力大小為。圖6解析：選輕桿為研究對(duì)象，其受三個(gè)力而平衡，因此這三力必為共點(diǎn)力（匯交于 O”） 作出受力分析如

5、圖 7 所示。圖7由圖可知，F(xiàn)與F對(duì)稱分布，所以忌二月恥，且這兩力的夾角為120，其合力F” TA TB應(yīng)與 F 相等，以 F ， F 為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為菱形，其性質(zhì)為對(duì)角線垂直且平分，根 TA TB據(jù)三角形知識(shí)，有F= 27 cos 60 = Fta =理g又因?yàn)楦?F所以氐1 = Ftb = F解多個(gè)共點(diǎn)力作用下物體平衡問(wèn)題的方法多個(gè)共點(diǎn)力作用下物體的平衡問(wèn)題，常采用正交分解法?？蓪⒏髁Ψ謩e分解到x軸上 和y軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條件，即込=、碼求解。值得注意的 是，對(duì)X、y方向選擇時(shí)，要盡可能使落在X、y軸上的力多，且被分解的力盡可能是已知力, 不宜分解待求力。例5.在

6、機(jī)械設(shè)計(jì)中亦常用到下面的力學(xué)原理，如圖8所示，只要使連桿AB與滑塊m 所在平面間的夾角占大于某個(gè)值，那么，無(wú)論連桿AB對(duì)滑塊施加多大的作用力，都不可能 使之滑動(dòng)，且連桿AB對(duì)滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱之為“自鎖” 現(xiàn)象。為使滑塊能“自鎖”，白應(yīng)滿足什么條件？（設(shè)滑塊與所在平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為）解析：滑塊m的受力分析如圖9所示，將力F分別在水平和豎直兩個(gè)方向分解，則:圖9在豎直方向上理尸悝+肌在水平方向上由以上兩式得FpF sm G因?yàn)榱可以很大，所以上式可以寫成月匚恥閂至昭關(guān)門日故占應(yīng)滿足的條件為研究對(duì)象的靈活選擇整體法與隔離法用整體法還是用隔離法，其實(shí)質(zhì)就是如何合理選

7、取研究對(duì)象，使受力分析和解題過(guò)程 簡(jiǎn)化。對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，兩者應(yīng)靈活選用、有機(jī)結(jié)合，才能到達(dá)迅速求解的目的。例 6. 在粗糙水平面上有一個(gè)三角形的木塊，在它的兩個(gè)粗糙斜面上分別放有兩個(gè)質(zhì)量m和的小木塊，叫 叫，如圖10所示，已知三角形木塊和兩個(gè)小木塊都是靜止的，則粗糙水平面對(duì)三角形木塊（ ）圖 10有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右；有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左；有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能確定，因m . m2和厲、燉的數(shù)值并未給出;以上結(jié)論都不對(duì)。解析：因?yàn)槿切文緣K和兩個(gè)小木塊都靜止，所以可將三者看成一個(gè)整體如圖11所示 其在豎直方向受重力和水平面的支持力，合力為零。在

8、水平方向沒(méi)有受其他力的作用，所以 整體在水平方向上沒(méi)有相對(duì)水平面的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因此粗糙水平面對(duì)三角形木塊沒(méi)有靜摩擦 力。例7.如圖12所示，兩塊相同的豎直木板之間有質(zhì)量均為m的四塊相同的磚，用兩個(gè) 大小為 F 的水平壓力壓木板，使磚塊靜止不動(dòng)。設(shè)所有接觸面均粗糙，則第3塊磚對(duì)第2 塊磚的摩擦力為（ ）I1234圖 12A. 0 B.C. mg D. 2mg解析：將4 塊磚為整體進(jìn)行受力分析如圖13所示，可知兩側(cè)木板對(duì)磚的靜摩擦力均為 豎直向上，且大小為2mg；再把第1、2兩塊磚為整體進(jìn)行受力分析如圖14所示，由圖可知 木板對(duì)磚的靜摩擦力與磚的重力2mg是一對(duì)平衡力，這表明第3塊與第2塊磚之間沒(méi)有

9、靜摩 擦力。所以選項(xiàng)A正確。求共點(diǎn)力作用下物體平衡的極值問(wèn)題的方法 共點(diǎn)力作用下物體平衡的極值問(wèn)題是指研究平衡問(wèn)題中某個(gè)力變化時(shí)出現(xiàn)的最大值或 最小值，處理這類問(wèn)題常用解析法和圖解法。例&如圖15所示，物體的質(zhì)量為2kg，兩根輕細(xì)繩AB和AC的一端連接于豎直墻上, 另一端系于物體上，且AC繩水平時(shí)，兩繩所成角為61= 600。在物體上另施加一個(gè)方向與 水平線成6，=60的拉力F,若要使繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。解析：作出A受力示意圖，并建立直角坐標(biāo)如圖16所示，由平衡條件有:圖 16XF cos- Fc - Fs cos = 0F gin 召 + 理 smmg = 0由以上兩式得主七上J

10、及要使兩繩都能繃直，需有由兩式得F有最大值朋gsin 3由兩式得F有最小值綜合得F的取值范圍為例9.重量為G的木塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，一人欲用最小的作用力F使 木塊做勻速運(yùn)動(dòng)，則此最小作用力的大小和方向應(yīng)如何？解析：由于廣嘰,所以不論F如何改變，與與F的合力F的方向都不會(huì)發(fā)生變N N 1ce = arctan 丄 =arctan 岸化，如圖17 （甲）所示，合力F1與豎直方向的夾角一定為為由木塊做勻速運(yùn)動(dòng)可知F、F1和G三力平衡，且構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，當(dāng)改變F的方向 時(shí)，F(xiàn)和.的大小都會(huì)發(fā)生改變,，由圖17 （乙）知，當(dāng)F和F的方向垂直時(shí)F最小。故由圖中幾何關(guān)系得O圖中幾何關(guān)系得O共點(diǎn)力平衡問(wèn)題中的“變”與“不變”物體在共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，即使在一些量變的過(guò)程中某些本質(zhì)并不變。因此尋找變化中保持不變的部分，乃是解決平衡問(wèn)題的一種重要方法。例10.三個(gè)相同的支座上分別擱著三個(gè)質(zhì)量和直徑都相等的光滑圓球a、b、c，支點(diǎn)P、Q在同一水平面上，a球的重心位于球心，b球和c球的重心*、2分別位于球心的正 上方和球心的正下方，如圖18所示，三球均處于平衡狀態(tài)，支點(diǎn)P對(duì)a球的彈力為氐,對(duì)b球和c球的彈力分別為氐、，則（圖 18A.%B.C.A.%B.C.解析：本題的干擾因素是三個(gè)球的重心在豎直方向的位置發(fā)生了變化（a