2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第12章 概率與統(tǒng)計(jì) 第9講

1、PAGE21第6講離散型隨機(jī)變量的均值、方差和正態(tài)分布考綱解讀1理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，并能根據(jù)分布列正確求出期望與方差，并能解決一些實(shí)際問題重點(diǎn)、難點(diǎn)2借助直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，掌握正態(tài)曲線的相關(guān)性質(zhì)，并能進(jìn)行正確求解考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講是高考中的熱點(diǎn)題型預(yù)計(jì)2022年將會考查：與分布列相結(jié)合求期望與方差，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情景，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識；正態(tài)分布的考查，尤其是正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)的概率題型為解答題中的一問，試題難度不會太大，屬中檔題型1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1

2、2inPp1p2pipn1均值：稱EXeqo,sup4011p12p2ipinpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的eqo,sup402平均水平2DXeqisui1,n,iEX2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的eqo,sup403平均偏離程度，其算術(shù)平方根eqrDX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)1EaXbeqo,sup401aEXb；2DaXbeqo,sup402a2DXa，b為常數(shù)3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差4正態(tài)曲線1正態(tài)曲線的定義函數(shù)，eqf1,r2eeqsup15eqf2,22，其中實(shí)數(shù)和0為參數(shù)，稱，的圖象為正態(tài)分布密度曲線

3、，簡稱正態(tài)曲線是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差2正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線是單峰的，關(guān)于直線eqo,sup401對稱；曲線在eqo,sup402處達(dá)到峰值eqf1,r2；曲線與軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，eqo,sup403越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；eqo,sup404越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散5正態(tài)分布1正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，bab，隨機(jī)變量X滿足PaXbeqiina,b,，d即a，b，正態(tài)曲線及軸圍成的曲邊梯形的面積，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布

4、，記作XN，22正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)PXeqo,sup401；P2X2eqo,sup402；P3X3eqo,sup4031概念辨析1隨機(jī)變量不可以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量所對應(yīng)的概率可以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量的均值不可以是負(fù)數(shù)2正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差3隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小4一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布答案12342小題熱身1已知隨機(jī)變量X的分布列為X202Peqf1,3eqf1,3eqf1,3則EX與

5、DX的值分別為A0,2B0，eqf8,3C2,f8,3，0答案B解析EX2eqf1,30eqf1,32eqf1,30，DX202eqf1,3002eqf1,3202eqf1,3eqf8,32設(shè)Bn，p，若E15，D，則nA45B50C55D60答案D解析由eqblcrcavs4alco1Enp15，,Dnp1p，解得eqblcrcavs4alco1p，,n60A1B2C3D4答案B解析先求出EX1eqf1,20eqf1,31eqf1,6eqf1,3再由YaX3得EYaEX3eqf7,3aeqblcrcavs4alco1f1,324已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,1，且PX2c1PXc3，則c_

6、答案eqf4,3解析因?yàn)?，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線3對稱，于是eqf2c1c3,23，解得ceqf4,3題型eqavs4al一離散型隨機(jī)變量的均值、方差角度1已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值1已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X632Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，且EX3，則DXf4,3f3,2C2D3答案C解析由題意，得eqblcrcavs4alco1abc1，,ac2b，,6a3b2c3，解得eqblcrcavs4alco1af1,6，,bf1,3，,cf1,2所以DX632eqf1,6332eqf1,3232eqf1,2eqf3,2eqf1,22角度2二項(xiàng)分布的均值、方差問題2由中

7、央電視臺綜合頻道CCTV1和唯眾傳媒聯(lián)合制作的開講啦是中國首檔青年電視公開課每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下的22列聯(lián)表：已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是B地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為，且4y31現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少；2完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握

8、認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；3若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為X，求X的分布列和期望PK200附：參考公式：K2eqfnadbc2,abcdacbd解1由題意，得eqf,100，所以35，所以y35，因?yàn)?y3，所以y15，20，A地抽取15eqf20,1003，B地抽取20eqf20,10042非常滿意滿意合計(jì)A301545B352055合計(jì)6535100K2eqf100302035152,65354555eqf100,1001，所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系3從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾“非常滿意”的概率為

9、Peqf2,3，隨機(jī)抽取3人，X的可能取值為0,1,2,3，PX0eqblcrcavs4alco1f1,33eqf1,27，PX1Ceqoal1,3eqblcrcavs4alco1f2,3eqblcrcavs4alco1f1,32eqf6,27eqf2,9，PX2Ceqoal2,3eqblcrcavs4alco1f2,32eqblcrcavs4alco1f1,3eqf12,27eqf4,9，PX3eqblcrcavs4alco1f2,33eqf8,27，X0123Peqf1,27eqf2,9eqf4,9eqf8,27因?yàn)閄Beqblcrcavs4alco13，f2,3，所以EX3eqf2,32

10、角度3非二項(xiàng)分布的均值、方差問題3某省級示范性高中高三年級實(shí)驗(yàn)班和普通班在一個學(xué)期共同進(jìn)行了四次大型考試，從年級的角度，對數(shù)學(xué)試卷中每道題的區(qū)分度作如下規(guī)定：區(qū)分度q1實(shí)驗(yàn)班的得分率普通班的得分率，當(dāng)q1時，認(rèn)為該題區(qū)分度不好從班級的角度，若在某實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行抽樣調(diào)查，研究第12題的區(qū)分度，從班級數(shù)學(xué)成績前8名的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，后8名的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，并且以抽取的4人的答題結(jié)果為依據(jù)計(jì)算區(qū)分度，區(qū)分度q2前8名同學(xué)中抽取的2名同學(xué)答題的正確率后8名同學(xué)中抽取的2名同學(xué)答題的正確率，當(dāng)q2，則p的取值范圍是blcrcavs4alco10，f7,12blcrcavs4alco10，f1,2bl

11、crcavs4alco1f7,12，1blcrcavs4alco1f1,2，1答案B解析根據(jù)題意，學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，即PX1p，發(fā)球二次的概率PX2p1p，發(fā)球三次的概率PX31p2，則EXp2p1p31p2p23p3，依題意有EX，則p23p3，解得peqf5,2或peqf1,2，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得00，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績不及格低于90分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eqf1,10，則此次數(shù)學(xué)考試成績在100分到110分之間的人數(shù)約為A400B500C600D800答案A解析PX90PX110eqf1,10，P90X11012eqf1,10eqf4,5，P100X11

12、0eqf2,5，則成績在100分到110分之間的人數(shù)為1000eqf2,5條件探究若將舉例說明1中“正方形”改為“矩形”，“XN1,1”變?yōu)椤癤N1,1，陰影部分如圖所示”，則結(jié)果如何？解對于正態(tài)分布N1，1，可知1，1，正態(tài)曲線關(guān)于直線1對稱，故題圖中陰影部分的面積為eqf1,2P3X1P2X0eqf1,2P2X2P0和N2，eqoal2,220的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有A12，12B12，12C12，12D12，12答案A解析反映正態(tài)分布的平均水平，是正態(tài)曲線的對稱軸，由圖知12，反映正態(tài)分布的離散程度，越大，曲線越“矮胖”，表明越分散，越小，曲線越“高瘦”，表明越集中，由圖知122在某

13、次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N100,100，已知滿分為150分1試求考試成績位于區(qū)間80,120內(nèi)的概率；2若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格不小于90分的人數(shù)解1由N100,100，知100，10P80120P1002010020，即考試成績位于區(qū)間80,120內(nèi)的概率為2P90110P10010110eqf1,21，P90估計(jì)及格人數(shù)約為20001683高頻考點(diǎn)均值、方差的計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)分析離散型隨機(jī)變量的均值、方差是高考大題的必考題型之一通常以實(shí)際問題為背景，綜合考查概率計(jì)算、求分布列，計(jì)算均值、方差還應(yīng)特別注意與函數(shù)知識的綜合問題典例2022全國卷某

14、超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率1求六月份這種酸奶一天的需求量X單位：瓶的分布列；2設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y單位：元，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n單位：瓶為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值解1由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知PX200eqf216,90，PX300eqf36,90，PX500eqf2574,90因此X的分布列為X200300500P2由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，