高中數(shù)學(xué)人教版選修1-2同課異構(gòu)教學(xué)課件：3-2-2-復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算-探究導(dǎo)學(xué)課型

1、3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算3.2.2主題一：復(fù)數(shù)的乘法【自主認(rèn)知】1.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，平方差公式與完全平方公式是否成立？即若z1，z2C，是否有 =(z1+z2)(z1-z2)，(z1+z2)2=提示：成立.復(fù)數(shù)的乘法(乘方)類似于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的多項(xiàng)式的乘法(乘方)，只不過是在運(yùn)算中遇到i2時(shí)就將其換為-1，因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2C，則有(z1+z2)2= =(z1+z2)(z1-z2)等.主題一：復(fù)數(shù)的乘法2.多個(gè)復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算遵循怎樣的運(yùn)算法則？提示：多個(gè)復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算類似多項(xiàng)式相乘的規(guī)律，把復(fù)數(shù)逐一相乘，再分別合并實(shí)部、虛部.3.復(fù)數(shù)的乘法是

2、否滿足交換律、結(jié)合律？乘法對(duì)加法滿足分配律嗎？提示：三個(gè)運(yùn)算律都滿足.2.多個(gè)復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算遵循怎樣的運(yùn)算法則？根據(jù)以上探究過程，總結(jié)出復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則及運(yùn)算律.1.設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則(a+bi)(c+di)=_.2.復(fù)數(shù)的乘法滿足的運(yùn)算律：對(duì)任意z1，z2，z3C，有交換律：z1z2=_.結(jié)合律：(z1z2)z3=_.分配律：z1(z2+ z3)=_.(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2+ z1z3根據(jù)以上探究過程，總結(jié)出復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則及運(yùn)算律.(ac【合作探究】1.當(dāng)x，yR時(shí)，若x2+y2=0，則有x=

3、y=0，那么當(dāng)x，yC時(shí)，該結(jié)論是否成立？提示：不成立.例如，當(dāng)x=1+i，y=1-i時(shí)，x2+y2=(1+i)2+(1-i)2=0，但這時(shí)并沒有x=y=0.【合作探究】2.z2與|z|2有什么關(guān)系？提示：當(dāng)zR時(shí)，z2=|z|2，當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，z2|z|2，但|z|2=|z2|.(例如z=i時(shí)，z2=-1，|z|2=1，顯然z2|z|2，但|z|2=|i2|=1.)3.in具有什么規(guī)律？提示：in具有周期性，其中周期T=4.2.z2與|z|2有什么關(guān)系？【拓展延伸】虛數(shù)單位i的周期性(1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(nN).(2)in+in+1+in+2+

4、in+3=0(nN).n也可以推廣到整數(shù)集.【拓展延伸】虛數(shù)單位i的周期性4.若z，z1，z2C，m，nN，則zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)m= 成立嗎？提示：成立.事實(shí)上，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)指數(shù)冪是整數(shù)時(shí)，以上運(yùn)算性質(zhì)也依然成立.4.若z，z1，z2C，m，nN，則zmzn=zm+n，【過關(guān)小練】1.若復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=3-i，則z1z2等于()A.4+2i B.2+iC.2+2i D.3【解析】選A.z1z2=(1+i)(3-i)=(3+1)+(3-1)i=4+2i.【過關(guān)小練】2.計(jì)算下列各式的值：i6=；i29=；i15=.【解析】i6=i2=-1；i29=i

5、1=i；i15=i3=-i.答案：-1i-i2.計(jì)算下列各式的值：主題二：共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的除法【自主認(rèn)知】1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，bR)，復(fù)數(shù) =a-bi(a，bR)，則兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置關(guān)系如何？提示：關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.主題二：共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的除法2.若復(fù)數(shù)z1=z2z，則稱復(fù)數(shù)z為復(fù)數(shù)z1除以z2所得的商，即z=z1z2.一般地，設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(c+di0)，如何求z1z2？提示：2.若復(fù)數(shù)z1=z2z，則稱復(fù)數(shù)z為復(fù)數(shù)z1除以z2所得的3.復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是怎樣的？提示：復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化的過程，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分?jǐn)?shù)的形式，然

6、后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn)即可.3.復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是怎樣的？根據(jù)以上探究過程，試著寫出共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的除法法則.1.共軛復(fù)數(shù)(1)條件：兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部_，虛部互為_.(2)記法：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).2.復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)(c+di)=_(c+di0).相等相反數(shù)根據(jù)以上探究過程，試著寫出共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的除法法則【合作探究】1.如果zR，那么 與z有什么關(guān)系？提示：當(dāng)zR時(shí)， =z，即一個(gè)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它自身.【合作探究】2.兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)乘積是一個(gè)怎樣的數(shù)？與復(fù)數(shù)的模的關(guān)系是什么？提示：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，它們的乘積是一個(gè)實(shí)數(shù).事實(shí)上，

7、若z=a+bi(a，bR)，那么z =(a+bi)(a-bi)=a2+b2，且有z =|z|2=| |2.2.兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)乘積是一個(gè)怎樣的數(shù)？與復(fù)數(shù)的模的關(guān)【過關(guān)小練】1.若x-2+yi和3x-i互為共軛復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x與y的值是( )A.x=3，y=3 B.x=5，y=1C.x=-1，y=-1 D.x=-1，y=1【解析】選D.由題意得【過關(guān)小練】2.復(fù)數(shù) 等于( )【解析】選A. =2-i.故選A.2.復(fù)數(shù) 等于( )【歸納總結(jié)】1.對(duì)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則的兩點(diǎn)說明(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以把i看作字母，類比多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行，注意要把i2化為-1，再把實(shí)部、虛部分別合并，將最后結(jié)果進(jìn)行

8、化簡(jiǎn).(2)對(duì)于能使用乘法公式計(jì)算的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法，用乘法公式更簡(jiǎn)捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.【歸納總結(jié)】2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)有：2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)有：(5)對(duì)于復(fù)數(shù)z，z= z為實(shí)數(shù).(6)設(shè)z=a+bi(a，bR)，則z =a2+b2=|z|2.(7)(8)若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，即 =z2，則 也互為共軛復(fù)數(shù)，即(5)對(duì)于復(fù)數(shù)z，z= z為實(shí)數(shù).類型一：復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算【典例1】(1)(2014福建高考)復(fù)數(shù)(3+2i)i等于()A.-2-3iB.-2+3i C.2-3i D.2+3i(2)(2015全國(guó)卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i，則z=()A.-2-i

9、 B.-2+i C.2-i D.2+i(3)計(jì)算：類型一：復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算【解題指南】(1)利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.(2)利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.(3)題中既有加、減、乘、除運(yùn)算，又有括號(hào)，同實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致，先算括號(hào)里的，再算乘除，最后算加減.【解題指南】(1)利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【解析】(1)選B.(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.(2)選C.因?yàn)?z-1)i=1+i，所以【解析】(1)選B.(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i【規(guī)律總結(jié)】復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的技巧(1)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)

10、算順序一樣.(2)對(duì)于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，要熟練掌握“分母實(shí)數(shù)化”的方法.(3)對(duì)于復(fù)數(shù)的高次乘方運(yùn)算，可利用公式(zm)n=zmn進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算.(4)對(duì)于復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算，仍可按照先乘方、再乘除、后加減的順序，有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)里面的.【規(guī)律總結(jié)】復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的技巧【鞏固訓(xùn)練】1.(2015湖南高考)已知 =1+i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解題指南】本題主要考查復(fù)數(shù)的加減乘除基本運(yùn)算，驗(yàn)證即得結(jié)論.【解析】選D.驗(yàn)證各選項(xiàng)，只有z=-1-i時(shí)，【鞏固訓(xùn)練】1.(2015湖南高考)已知 =12.(2015廣東高考)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1+i

11、)2=()A.-2 B.2 C.-2i D.2i【解題指南】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可直接利用運(yùn)算法則求解.【解析】選D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.2.(2015廣東高考)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1+i)【補(bǔ)償訓(xùn)練】計(jì)算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)【補(bǔ)償訓(xùn)練】計(jì)算：(1)(2+i)(2-i).【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)方法一：原式=【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=類型二：共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用【典例2】(

12、1)復(fù)數(shù)z= 的共軛復(fù)數(shù)是()A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i(2)(2015廣東高考)若復(fù)數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位)，則 =()A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i(3)(2015濰坊高二檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是 ，且z- =-4i，z =13，試求 .類型二：共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用【解題指南】(1)先利用復(fù)數(shù)的除法法則求出z的代數(shù)形式，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解.(2)先求z，再求 .(3)設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及兩復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程組求解.【解題指南】(1)先利用復(fù)數(shù)的除法法則求出z的代數(shù)形式，再利【解析

13、】(1)選D.z=所以z的共軛復(fù)數(shù)為-1-i.故選D.(2)選D.因?yàn)閦=i32i=2+3i，所以 =23i.(3)設(shè)z=x+yi(x，yR)，則由條件可得【解析】(1)選D.z=高中數(shù)學(xué)人教版選修1-2同課異構(gòu)教學(xué)課件：3-2-2-復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算-探究導(dǎo)學(xué)課型【規(guī)律總結(jié)】共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)時(shí)，必須先將這個(gè)復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，得到其實(shí)部與虛部后再據(jù)定義求得其共軛復(fù)數(shù).(2)進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，主要采用分母實(shí)數(shù)化方法，其實(shí)質(zhì)就是將分式的分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)公式z =|z|2=| |2進(jìn)行化簡(jiǎn)并計(jì)算.【規(guī)律總結(jié)】共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用【鞏固訓(xùn)練】1.(20

14、15吉林高二檢測(cè))復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是( )A.2i+1 B.-1-2iC.2i-1 D.1-2i【解析】選C.因?yàn)樗詮?fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是-1+2i，故選C.【鞏固訓(xùn)練】1.(2015吉林高二檢測(cè))復(fù)數(shù) 的共2.(2014安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位， 表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z=1+i，則 =( )A.-2 B.-2i C.2 D.2i【解析】選C.因?yàn)閦=1+i，所以 =1-i，故 = +i(1-i)=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.2.(2014安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位， 表示復(fù)數(shù)z的共【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.若1|z|2，求u= (1+i)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的集合表示的圖形，并求其面積.【解析

15、】由u= (1+i)得：又因?yàn)閨z|=| |= ，1|z|2，所以 |u|2 ，因此動(dòng)點(diǎn)A的圖形是一個(gè)圓環(huán).設(shè)此圓環(huán)面積為S，那么S=(2 )2-( )2=6.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.若1|z|2，求u= (1+i)所對(duì)應(yīng)2.設(shè)z1，z2C，A=z1 +z2 ，B=z1 +z2 ，則A與B是否可以比較大??？為什么？【解題指南】設(shè)出z1，z2的代數(shù)形式，化簡(jiǎn)A，B，判斷A，B是否同為實(shí)數(shù)即可.2.設(shè)z1，z2C，A=z1 +z2 ，B=z1【解析】設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)，則 =a-bi， =c-di，所以A=z1 +z2=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=

16、ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bdR，B=z1 +z2 =|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2R，所以A與B可以比較大小.【解析】設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR類型三：in的值的周期性及其應(yīng)用【典例3】(1)(2015湖北高考)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.-iC.1 D.-1(2)(2015福建高考)若集合A=i，i2，i3，i4(i是虛數(shù)單位)，B=1，-1，則AB等于()A.-1 B.1 C.1，-1 D. (3)若復(fù)數(shù)z= ，求1+z+z2+z2014的值.類型三：in的值的周期性及其應(yīng)用【解

17、題指南】(1)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)的概念.(2)利用復(fù)數(shù)的周期性及集合之間的運(yùn)算求解.(3)先化簡(jiǎn)z，再利用等比數(shù)列的求和公式求解.【解題指南】(1)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)的概念.【解析】(1)選A.因?yàn)閕607=(i2)303i=-i，共軛復(fù)數(shù)為i，所以應(yīng)選A.(2)選C.A=i，-1，-i，1，B=1，-1，AB=1，-1.(3)因?yàn)?所以1+z+z2+z2014=【解析】(1)選A.因?yàn)閕607=(i2)303i=-i，【規(guī)律總結(jié)】in和n(nN*)的性質(zhì)1.in(nN*)的性質(zhì)(1)對(duì)任意4個(gè)連續(xù)的正整數(shù)a，b，c，d都有ia+ib+ic+id=0.(2)i4n=1，i4n+1=

18、i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，nN*.(3)(1i)2=2i， 【規(guī)律總結(jié)】in和n(nN*)的性質(zhì)2.n(nN*)的性質(zhì)設(shè)1= 2=則1，2具有下列性質(zhì)：(1)(2)1+1+2=0.(3) =2， =1.(4)1= ，2= .(5)12=1，1= ，2=(6)3n=1，3n+1=，3n+2=2.2.n(nN*)的性質(zhì)【鞏固訓(xùn)練】1.(2014安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于( )A.-i B.i C.-1 D.1【解析】選D.i3+=-i+ =-i+i-i2=1，故選D.【鞏固訓(xùn)練】1.(2014安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2.(2015長(zhǎng)沙高二檢測(cè))i為虛數(shù)單位,則 等于()

19、A.0 B.2i C.-2i D.4i【解析】選A. =-i+i+(-i)+i=0.2.(2015長(zhǎng)沙高二檢測(cè))i為虛數(shù)單位,則 3.計(jì)算：i+i2+i3+i2015.【解題指南】可利用in的周期性化簡(jiǎn)，或者利用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)計(jì)算.3.計(jì)算：i+i2+i3+i2015.【解析】方法一：因?yàn)閕2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i，所以in的值呈周期性出現(xiàn)，且一個(gè)周期為4.又i+i2+i3+i4=i5+i6+i7+i8=i2009+i2010+i2011+i2012=0，所以原式=i2013+i2014+i2015=i+i2+i3=i-1-i=-1.方法二：原式=【解析】方法一：因?yàn)閕2

20、=-1，i3=-i，i4=1，i5=【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.計(jì)算【解析】i2 009=i4502+1=i，( + i)8=2(1+i)24=(4i)4=28=256，【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.計(jì)算2.計(jì)算i+2i2+3i3+2000i2000=.【解析】設(shè)S=i+2i2+3i3+2000i2000，則iS=i2+2i3+3i4+1999i2000+2000i2001.由-，得(1-i)S=i+i2+i3+i4+i2000-2000i2001= -2000i2001=-2000i，故S= =1000-1000i.答案：1000-1000i2.計(jì)算i+2i2+3i3+2000i2000=類型四：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用【典例4】(1)若等比數(shù)列zn中，z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai(a，bR且a0).則a=，b=.(2)設(shè)z是虛數(shù)，=z+ 是實(shí)數(shù)，且-12，求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍.類型四：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用【解題指南】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列等式，由復(fù)數(shù)相等列方程組計(jì)算.(2)按常規(guī)解法，設(shè)z=x+yi(x，yR)，化簡(jiǎn)=z+ ，找出實(shí)部、虛部可以列出的等量關(guān)系式求解.【解題指南】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列等式，由復(fù)數(shù)相等列方程【解析】(1)因?yàn)閦1，z2，z3成等比數(shù)列，所以 =z1z3，即(a+bi)2=b+ai.所以a2-b2+2abi=b+ai，答案：【解析】(1