《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)西安市田家炳中學(xué)李國(guó)平一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自《北師大版教材必修1》第四章方程的根與函數(shù)的的零點(diǎn)。函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶。函數(shù)與方程有著十分重要的應(yīng)用，再加上函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一，同時(shí)在必修5一元二次不等式的解法中還會(huì)涉及方程和函數(shù)以及不等式的關(guān)系。因此函數(shù)與方程在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位。就本章而言，本節(jié)通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形.它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對(duì)函數(shù)知識(shí)的總結(jié)拓展。之后將函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應(yīng)用，通過(guò)建立函數(shù)模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系.滲透“方程與函數(shù)”思想。二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生大多來(lái)自示范高中重點(diǎn)班，開(kāi)始可采用競(jìng)賽的形式調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性；學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異不大，但進(jìn)一步鉆研的精神相差較大，所以可適當(dāng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行拓展。學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，也會(huì)通過(guò)圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學(xué)生理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識(shí)也足以讓學(xué)生直觀理解函數(shù)零點(diǎn)的存在性，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點(diǎn)，從認(rèn)知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對(duì)于它根的個(gè)數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉，學(xué)生理解起來(lái)沒(méi)有多大問(wèn)題。這也為我們歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根聯(lián)系提供了知識(shí)基礎(chǔ)。但是學(xué)生對(duì)其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認(rèn)識(shí)不深（比如三次函數(shù)），對(duì)于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝?lèi)型的例子，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。加之函數(shù)零點(diǎn)的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)師生互動(dòng)，盡多的給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)二者的聯(lián)系，并充分提供不同類(lèi)型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。三設(shè)計(jì)思想教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)嚴(yán)密思考，并從中找到樂(lè)趣。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式四、教學(xué)目標(biāo)以二次函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法；學(xué)會(huì)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法。讓學(xué)生在探究過(guò)程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法。六、教學(xué)程序設(shè)計(jì)1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在性的探索1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題1解方程(比賽)：①一0②+一。再比賽解+一設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}(產(chǎn)生疑問(wèn)，引起興趣，引出課題)第一題和第二題簡(jiǎn)單，第三題學(xué)生無(wú)法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說(shuō)高次方程可通過(guò)下節(jié)二分法求方程的近似解來(lái)解決。問(wèn)題2先來(lái)觀察幾個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖。方程X2■2x■3■0與函數(shù)j■x2■2xB3°方程x2■2x■1■0與函數(shù)j■x2■2x■1°方程x2■2x■3■0與函數(shù)j■x2■2x■1圖師生互動(dòng)師：教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫(huà)函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點(diǎn)概念。零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)=()(￡)，把使()=成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)=()(￡)的。師：填表格函數(shù)j■x2■2x■3j■x2■2x■1j■x2■2x■1函數(shù)的零點(diǎn)方程的根生：經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，填完表格師提示：根據(jù)零點(diǎn)概念，提出問(wèn)題，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？生：經(jīng)過(guò)觀察表格，得出第一個(gè)結(jié)論。師再問(wèn)：根據(jù)概念，函數(shù)=()的零點(diǎn)與函數(shù)=()的圖象與軸交點(diǎn)有什么關(guān)系？生：經(jīng)過(guò)觀察圖像與軸交點(diǎn)完成解答，得出第二個(gè)結(jié)論師：概括總結(jié)前兩個(gè)結(jié)論(請(qǐng)學(xué)生總結(jié))。)概念：函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)而是實(shí)數(shù)。例如函數(shù)j■x2■2xB3的零點(diǎn)為)函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)j■f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)■0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)j■f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).)方程f(x)■0有實(shí)數(shù)根■函數(shù)j■f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)■函數(shù)j■f(x)有零點(diǎn)。師：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)上述結(jié)論。再提出問(wèn)題：如何并根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義求零點(diǎn)？生：可以解方程“x)■0而得到(代數(shù)法；)可以利用函想■f(x)的圖象找出零點(diǎn).(幾何法)問(wèn)題一方面讓學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，另一方面通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生再次加深對(duì)二者關(guān)系的認(rèn)識(shí)使函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點(diǎn)的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。通過(guò)對(duì)比教學(xué)揭示知識(shí)點(diǎn)之間的密切關(guān)系。問(wèn)題3是不是所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)？師：僅提出問(wèn)題，不須做任何提示。生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，并進(jìn)行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論.二次函數(shù)j■ax2■bx■c(a■0)的零點(diǎn)：看^)△>0,方程ax2■bx■c■0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).)△=0,方程x2■bx■c■0有兩相等實(shí)根(二重根,)二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

3）4＜0,方程ax2■bx■c■0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).第一階段設(shè)計(jì)意圖本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點(diǎn)情況，給學(xué)生一個(gè)清晰的解題思路。進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。1.2零點(diǎn)存在性的探索師：用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖、兩點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫(huà)曲線與直線的相交情況，說(shuō)明連接、兩點(diǎn)的函數(shù)曲線交點(diǎn)必在區(qū)間，內(nèi)。生：觀察下面函數(shù)（）=的圖象（如圖）并回答①區(qū)間，上有無(wú)零點(diǎn)；（）-（）②區(qū)間，①區(qū)間，上有無(wú)零點(diǎn)；（）-（）②區(qū)間，上③區(qū)間，上有無(wú)零點(diǎn);有無(wú)零點(diǎn);（＜或＞）。（＜或＞）。（＜或＞）。師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)析總結(jié)概括形成結(jié)論）一般地，我們有：如果函數(shù)=（）在區(qū)間，上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有（）-（），那么函數(shù)=（）在區(qū)間（a）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在￡（,）,使得（），這個(gè)也就是方程（）=的根。第二階段設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維2、例范研究例已知函數(shù)（）一一十有如下對(duì)應(yīng)值表：一一()4一一函數(shù)=（）在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)？為什么？設(shè)計(jì)意圖通過(guò)本例引導(dǎo)探索，師生互動(dòng)探求1如果函數(shù)=f）在區(qū)間，上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，

并且有()-()探求2如果函數(shù)并且有()?()并且有()-()探求2如果函數(shù)并且有()?()探求3如果函數(shù)并且函數(shù)在區(qū)間(a探求4如果函數(shù)線，函數(shù)在區(qū)間(a0時(shí)函數(shù)在區(qū)間(=()在區(qū)間a時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a=()在區(qū)間a)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有

=()在區(qū)間a)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)嗎上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，)內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只一個(gè)零點(diǎn)？上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，()?()?上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲?師：總結(jié)兩個(gè)條件：)函數(shù)=()在區(qū)間a上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線)在區(qū)間a上有()?()一個(gè)結(jié)論：函數(shù)=()在區(qū)間a內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)補(bǔ)充：什么時(shí)候只有一個(gè)零點(diǎn)？(觀察得出)函數(shù)=()在區(qū)間a內(nèi)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)例2求函數(shù)f(x)■lnX■2X■6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).問(wèn)題：)你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？第三階段設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用應(yīng)用例1例加深對(duì)定理的理解3、練習(xí)嘗試(可根據(jù)時(shí)間和學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受程度適當(dāng)調(diào)整)1求函數(shù)J■X3■2X2■X■2，并畫(huà)出它的大致圖象..利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒(méi)有根，有幾個(gè)根：x2■x■2■0；(2)f(X)■cx■4X；.利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：f(x)BIX3■3x■3；(2)f(x)■2xln(x■2)■3；［師生互動(dòng)］師：多媒體演示；結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)(特別是單調(diào)性)在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用.生：建議學(xué)生使用計(jì)算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備。第四階段設(shè)計(jì)意圖：利用練習(xí)鞏固新知識(shí)，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備第五階段設(shè)計(jì)意圖：一是為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備二是小組探究合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識(shí)，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，此組題目具有較強(qiáng)的開(kāi)放性，探究性，基本上可以達(dá)到上述目的。4課堂小結(jié)：零點(diǎn)概念零點(diǎn)存在性的判斷零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用注意點(diǎn)：零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間5作業(yè)回饋教材習(xí)題3（組）第、題；思考：總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)求法要注意的問(wèn)題；思考可以用求函數(shù)零點(diǎn)的方法求方程的近似解嗎？六、教學(xué)反思本設(shè)計(jì)遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，分三步來(lái)展開(kāi)這部分的內(nèi)容。第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。