23 空間位置關系與證明(教師版)

第二十三講空間位置關系與證明★★★高考在考什么【考題回放】（浙江）若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則（B）BC過點P有且僅有一條直線與l，m都平行BC過點P有且僅有一條直線與1，m都垂直過點p有且僅有一條直線與1，m都相交過點p有且僅有一條直線與1，m都異面（06湖南）如圖，過平行六面體ABCD-A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有（1D）A.4條B.6條1C.8條D.12條（湖北）平面a外有兩條直線m和n，如果m和n在平面a內的射影分別是m'和n'，給出下列四個命題：m'丄n'nm丄n；m丄nnm'丄n；m與n'相交nm與n相交或重合;m'與n'平行nm與n平行或重合.其中不正確的命題個數是（D）A.1 B.2 C.3 D.4（湖北）關于直線m、n與平面a、0，有下列四個命題：（D）①m//a,n//0且a//0，則m//n； ②m丄a,n丄0且a丄0，則m丄n；③m丄a,n//0且a//0，則m丄n； ④m//a,n丄0且a丄0，則m//n.其中真命題的序號是：A.①、② B.③、④ C.①、④ D.②、③在正方形ABCD-A'BCD中，過對角線BD'的一個平面交AA'于E,交CC'于F,貝1」（ ）四邊形BFD'E一定是平行四邊形四邊形BFD'E有可能是正方形四邊形BFD'E在底面ABCD內的投影一定是正方形四邊形BFD'E有可能垂直于平面BB'D以上結論正確的為①③④ 。（寫出所有正確結論的編號）（上海）在平面上，兩條直線的位置關系有相交、平行、重合三種. 已知a，0是兩個相交平面,空間兩條直線1，1在a上的射影是直線s，s，1，1在0上的射影是直線t，t.用s與s，t與t121212121212的位置關系，寫出一個總能確定1與1是異12面直線的充分條件：—s//s，并且t與t相交（t//t，并且s與s相交） 12121212★★★高考要考什么線與線的位置關系:平行、相交、異面；線與面的位置關系:平行、相交、線在面內；面與面的位置關系:平行、相交；轉化思想：線線平行O線面平行O面面平行，線丄線O線丄面O面丄面；

★★★高考將考什么【范例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°,PA二AB二BC,E是PC的中點.證明CD丄AE；證明PD丄平面ABE；求二面角A-PD-C的大小.證明：在四棱錐P-ABCD中，因PA丄底面ABCD,CDu平面ABCD，故PA丄CD.?/AC丄CD,PAAAC二A,???CD丄平面PAC.而AEu平面PAC,??CD丄AE.證明：由PA二AB二BC,ZABC二60°,可得AC二PA.E是PC的中點，???AE丄PC.由(I)知，AE丄CD，且PCACD=C，所以AE丄平面PCD.而PDu平面PCD，?:AE丄PD.???PA丄底面ABCD,PD在底面ABCD內的射影是AD,AB丄AD,AB丄PD.又???ABAAE二A，綜上得PD丄平面ABE.(Ill)解法一：過點A作AM丄PD，垂足為M，連結EM.貝J(H)知，AE丄平面PCD,AM在平面PCD內的射影是EM，則EM丄PD.因此ZAME平面PCD內的射影是EM，則EM丄PD.因此ZAME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，得ZCAD=30°.設AC=a,可得PA=a,AD=互a,PD=亙a,AE忑a.

3 3 2在Rt△ADP中,?AM丄PD,?AM?PD=PA?AD,PA?AD則AM=pd2運

a?_ a3

v''2T

a3在RtAAEM中,sinAME=AM<144解法二：由題設PA丄解法二：由題設PA丄底面ABCD,PAu平面PAD,則平面PAD丄平面ACD,交線為AD.過點C作CF丄AD垂足為F故CF丄平面PAD.過點F作FM丄PD垂足為M連結CM故CM丄PD.因此ZCMP是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得ZCAD=30°,設AC=a,可得PA=a,AD=仝遼a,PD=上21a,CF=1a,FD=上3a.3 3 2 6FMFD???△FMD-△PAD,A竺=匕.PAPD曰是，FMFD?PA曰是，FMFD?PAPD訂.??a=6_12Ta3141CF 2a l在Rt△CMF中，tanCMF二 =、門.FM<7a14所以二面角A-PD—C的大小是arctan「7.所以二面角A-所以二面角A-PD-C的大小是arcsin變式：如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱1EF/丄一BC._2（1） 證明FO//平面CDE；（2） 設BC_\3CD，證明EO丄平面CDF.證明：（I）取CD中點M,連結OM.在矩形ABCD中，OMH-BC，又EF//1BC，則EF//OM，22連纟結EM,于是四邊形EFOM為平行四邊形.二FO//EM又FO乞平面CDE，EMu平面CDE， FO〃平面CDE（II）證明：連結FM,由（I）和已知條件，在等邊ACDE中,CM_DM,EM丄CD且EM_上3CD_1BC_EF.22因此平行四邊形EFOM為菱形，從而E0丄FM而FMGCD=M,.?.CD丄平面EOM，從而CD丄E0.而FMnCD_M，所以EO丄平面CDF.【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。【范例2】如圖，在六面體ABCD-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方1111形，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，DD丄平面11111ABCD，DD丄平面ABCD，DD_2.111111（I） 求證：AC與AC共面，BD與BD共面.1111（II） 求證：平面AACC丄平面BBDD；1111（III） 求二面角A-BB-C的大?。ㄓ梅慈呛瘮抵当硎荆?1證明：以D為原點，以DADC，DD所在直線分別為x軸，1則有A（2，0，0），B（1則有A（2，0，0），B（1，1，2），1B（2，2，0），C（0，2，0），A（1，0，2），1C（0，1，2），D（0，0，2）11（I）證明:

?AC=(—110)，AC=(—2，2，0)，DB=(110)，DB=(2，2，0).1111?AC=2AC，DB=2DB.ii ii > ? > ????AC與AC平行，DB與DB平行,1111于是AC與AC共面，BD與BD共面.1111(II)證明：DD?AC=(0,0,2)?(—2,2,0)=0,1DB-AC=(2,2,0)?(—2,2,0)二0, ? ? ? ??DD丄AC，DB丄AC.iDDi與DB是平面BiBDDi內的兩條相交直線.???AC丄平面BBDD.11又平面AiACCi過Ac.???平面AiA?丄平面BiBDDi.(III)解：AA=(―10,2)BB=(—1,—12),CC=(0,—1,2).111設n=(x1,y1,zi)為平面AiABB1的法向量,n?AA=—x+2z=0,n?BB=—x—y+2z=0.1111111于是y=0,取z=1,則x=2,n=(2,0,1).111設m=(x2,y2,z2)為平面B1BCC1的法向量,m?BB=—x—y+2z=0,m?CC=—y+2z=0.1222122于是x=0,取z=1,則y=2,m=(02,1).222cosm,n\=cosm,n\=m*n=151??二面角1??二面角A—BB—C的大小為n—arccos—.15解法2(綜合法)：(I)證明：???D1D丄平面AiB1C1D1,D1D丄平面abcd.???DD丄DA,DD丄DC，平面ABCD〃平面ABCD.111111于是CD〃CD,DA〃DA.1111設E,F分別為DA,DC的中點，連結EF,AE,CF,11有AE〃DD,CF〃DD,DE二1,DF二1.1111???AE〃CF,11于是AC〃EF.11由DE=DF=1，得EF〃AC,故AC〃AC,AC與AC共面.1111過點Bi作BiO丄平面ABCD于點o,則BO/AE,BO絲CF，連結OE,OF,1111于是OE才A,OF絲BC,?OE二OF.1111BA丄AD,?OE丄AD.1111???BC丄CD,?OF丄CD.1111所以點O在BD上，故DB與DB共面.11(II)證明：TDD丄平面ABCD,?DD丄AC,11又BD丄AC(正方形的對角線互相垂直)DD與BD是平面BBDD內的兩條相交直線，111?AC丄平面BBDD.11乂平面AACC過AC,?:平面AACC丄平面BBDD.111111(III)解：：?直線DB是直線BB在平面ABCD上的射影，AC丄DB,1根據三垂線定理有AC丄B1B過點A在平面ABB"內作AM丄B1B于M，連結MC,MO,則B1B丄平面AMC

于是BB丄MC,BB丄MO,11所以，ZAMC是二面角A-￥-C的一個平面角.根據勾股定理，有AA=J5 CC=45 BB=\；6.根據勾股定理，111?.?OM丄BB,1有OM=晉$=，BM=1I,AM=10?.?OM丄BB,1有OM=晉$=，BM=1I,AM=10cosZAMC=AM2+CM2一AC2=-1,ZAMC=n-arccos-,2AM?CM 5 51二面角A-BB-C的大小為n一arccos_.15變式如圖，已知ABCD-AiBiCiDi是棱長為3的正方體,點E在AA上，點F在CC上，且AE=FC=1.1111)求證：E，B，F，D四點共面；(4分)1(2)若點G在BC上，BG=—，點M在BB上,31GM丄BF，垂足為H，求證：EM丄平面BCCB；(4分)11(3)用0表示截面EBFD和側面BCCB所成的銳二面角的大小，求tan9.111證明：(1)建立如圖所示的坐標系，則BE二(3,01),BF=(0,3,2), ?—?? >—>>所以BD=BE+BF，故BD,BE,BF共面.11又它們有公共點B，所以E,B,f，Di四點共面.(2)如圖，設M(0,0,z)，則GM=0,--,zk3丿—> >—> 2而BF=(0,3,2)，由題設得GMDBF=一§03+z衛(wèi)=0,因為M(0,01),E(3,0,1)，有ME=(3,,0),又BB=(0,03),BC二(0,3,0)，所以MEbBB^0,11ME0BC=0，從而ME丄BB,ME丄BC.故ME丄平面BCCiBi.(3)設向量BP—(x,y,3)丄截面EBFD，于是BP丄BE,BP丄BF.1而BE二(3,o,,BF二(而BE二(3,o,,BF二(0,3,2),得BPCBE—3c+3—0,BPDBF—3y+6—0,解得x——1,y——2,所以BP—(—1，—2,).又BA—(3,0,0)丄平面BCCB,11于是cos9—|BPdsa|BP所以又BA—(3,0,0)丄平面BCCB,11于是cos9—|BPdsa|BP故tan9—J13.【范例3】如圖,在長方體Aq中,AD=AAi=1,AB=2，點E【范例3】如圖,在長方體Aq中,AD=AAi=1,AB=2，點E在棱AB上移動.1）證明：DE丄AD； 1 1（2） 當E為AB的中點時，求點E到面ACDi的距離；-（3） AE等于何值時，二面角）一EC—D的大小為一.14解析：法1TAE丄面AADD,AD丄AD,Illi、、 ，- l設點E到面ACD的距離為乩在厶ACD中，AC=CD=p5,AD*2,3 1 1=_,而S —?AE?BC=_.2 aace 2 21 1 3 1-DD=-S -h,:.-x1—3xh,:.h=—13aAD1C 2 2 3過D作DH丄CE于H,連DH、DE,則DH丄CE,.??ZDHD]為二面角Di—EC—D的平面角【設AE=x則BE=2－x:.AD丄DE11CC1故SAADp:.VD1—AEC1-1?、；遼-2-1S3AAEC在RtADDH中八?ZDHD=-，.:DH=1.--4?在RtAADE中,DE=x1+x2,:.在RtADHE中,EH=x,CC1法2：1），D1（0，（1）（2）x,法2：1），D1（0，（1）（2）x,ADEBC1D1在RtADHC中CH—<3,在RtACBE中CE—Yx2—4x+5.x+\/3—\.‘x2—4x+5x—2—\；3.兀AE—2—、；3時,二面角D—EC—D的大小為一.1 4以D為坐標原點，直線)A、DC、DDi分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設E=x,則A(1,0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),1C(02,0).因為DA_,DE—(1,0,1),(1,x,—1)—0,所以DA丄DE.1111因為E為AB的中點，則E(1,1,0),從而DE—(1,1,—1),AC—(—1,2,0),AD—(—1,0,1),1_1設平面ACD]的法向量為n—(a,b,c),n?AC—0, 「—a+2b—0 fa—2b 也即f c，得f ，n?AD—0, [—a+c—0 [a—c1

3從而n=（2丄2）,所以點E到平面ADC的距離為h二岀』n12*1-2131 InI(3)設平面D1EC的法向量n=(a,b,c),.??CE=(1,x—2,0),DC=(0,2,—1),DD

「 ；1n?DC=0, 「2b—c=01nsn?CE=0, 〔a+b(x—2)=0.- 兀???n=(2-皿).依題意cos4=(0,0,1),令b=1,In-DDI1-= 1—=nI?丨DDI丄x=2—、;3.2.??x=2+“3（不合，舍去），1.*.