2023年重慶中考數(shù)學幾何證明題-(專題練習+答案詳解)

2023年重慶中考數(shù)學24題專題練習1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，連接BE，CE〔1〕求證：BE=CE；〔2〕假設∠BEC=90°，過點B作BF⊥CD，垂足為點F，交CE于點G，連接DG，求證：BG=DG+CD．2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長線上一點，連接ED，與BC交于點H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點F，并與BC交于點G．G為CH的中點．〔1〕假設HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；〔2〕假設CD=4，BH=1，求AD的長．3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對角線AC延長線上一點，F(xiàn)是AD延長線上的一點，且EB⊥AB，EF⊥AF．〔1〕當CE=1時，求△BCE的面積；〔2〕求證：BD=EF+CE．4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，點E為線段BC延長線上的一點，且．過點EEF∥CA，交CD于點F，連接OF．〔1〕求證：OF∥BC；〔2〕如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．〔1〕求線段CD的長；〔2〕H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．〔1〕假設AB=6cm，，求梯形ABCD的面積；〔2〕假設E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．7、：如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點E．〔1〕求證：AE=ED；〔2〕假設AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．8、：如圖，在正方形ABCD中，點G是BC延長線上一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F．〔1〕求證：∠DAE=∠DCE；〔2〕當CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．9、如圖，正方形ABCD，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接EF，假設BE=DF，點P是EF的中點．〔1〕求證：DP平分∠ADC；〔2〕假設∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點，交BC的延長線于F；〔1〕證明：EF=EA；〔2〕過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點E是直角梯形ABCD內(nèi)一點，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．〔1〕求證：EB=EF；〔2〕延長FE交BC于點G，點G恰好是BC的中點，假設AB=6，求BC的長．12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點E，F(xiàn)是CD的中點，DG是梯形ABCD的高．〔1〕求證：AE=GF；〔2〕設AE=1，求四邊形DEGF的面積．13、，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC，連AG．〔1〕求證：FC=BE；〔2〕假設AD=DC=2，求AG的長．14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E是AB邊上一點，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點F，連接AF、BF．〔1〕求證：AD=BE；〔2〕試判斷△ABF的形狀，并說明理由．15、〔2023?潼南縣〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求證：AD=AE；〔2〕假設AD=8，DC=4，求AB的長．16、如圖，梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，BD平分∠ABC．〔1〕求證：AE⊥BD；〔2〕假設AD=4，BC=14，求EF的長．17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．〔1〕求證：CD=BE；〔2〕假設AD=3，DC=4，求AE．18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長．19、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點E、F分別在AD、AB上，且．〔1〕求證：BF=EF﹣ED；〔2〕連接AC，假設∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．〔1〕假設EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長．〔2〕假設點F是CD的中點，求證：CE=BE﹣AD．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD，DH⊥BC．〔1〕求證：DH=〔AD+BC〕；〔2〕假設AC=6，求梯形ABCD的面積．22、，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DG∥BC，交AB于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DC，連接AE，BD．〔1〕求證：△AGE≌△DAB；〔2〕過點E作EF∥DB，交BC于點F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點F，EF=EC，連接DF．〔1〕試說明梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕假設AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；〔3〕在條件〔2〕下，射線BC上是否存在一點P，使△PCD是等腰三角形，假設存在，請直接寫出PB的長；假設不存在，請說明理由．24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF．AF交BE于P．〔1〕證明：△ABE≌△DAF；〔2〕求∠BPF的度數(shù)．25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點F，使CF=CD．〔1〕求∠ABC的度數(shù)；〔2〕如果BC=8，求△DBF的面積？26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點．〔1〕求證：△AGD為正三角形；〔2〕求EF的長度．27、，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點E是AB上的點，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F．〔1〕假設∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長．〔2〕求證：ED=BE+FC．28、〔2005?鎮(zhèn)江〕：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，直線CE交DA的延長線于點F．〔1〕求證：△BCE≌△AFE；〔2〕假設AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長．29、：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E．求證：〔1〕△BFC≌△DFC；〔2〕AD=DE；〔3〕假設△DEF的周長為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過A點作BD的垂線，交BC于E．〔1〕求證：四邊形ABED是菱形；〔2〕如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．參考答案1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，連接BE，CE〔1〕求證：BE=CE；〔2〕假設∠BEC=90°，過點B作BF⊥CD，垂足為點F，交CE于點G，連接DG，求證：BG=DG+CD．證明：〔1〕等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；〔2〕延長CD和BE的延長線交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE〔已證〕，∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE〔已證〕，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH〔已證〕，ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長線上一點，連接ED，與BC交于點H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點F，并與BC交于點G．G為CH的中點．〔1〕假設HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；〔2〕假設CD=4，BH=1，求AD的長．〔1〕證明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中點，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；〔2〕解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對角線AC延長線上一點，F(xiàn)是AD延長線上的一點，且EB⊥AB，EF⊥AF．〔1〕當CE=1時，求△BCE的面積；〔2〕求證：BD=EF+CE．〔2〕過E點作EM⊥DB于點M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．〔1〕解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣〔∠CAB+∠CBA〕=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…〔5分〕〔2〕證明：過E點作EM⊥DB于點M，∴四邊形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…〔10分〕4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，點E為線段BC延長線上的一點，且．過點E作EF∥CA，交CD于點F，連接OF．〔1〕求證：OF∥BC；〔2〕如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．解答：〔1〕證明：延長EF交AD于G〔如圖〕，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF〔AAS〕，∴CF=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴OF∥BE．〔2〕解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．證明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．〔1〕求線段CD的長；〔2〕H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．〔1〕解：連接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD〔HL〕，∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．〔2〕證明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由〔1〕得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由〔1〕得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．〔1〕假設AB=6cm，，求梯形ABCD的面積；〔2〕假設E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．解：〔1〕連AC，過C作CM⊥AD于M，如圖，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面積=?〔8+14〕?6=66〔cm2〕；〔2〕證明：過G作GN⊥AD，如圖，∵∠D=45°，∴△DNG為等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、：如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，延長CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點E．〔1〕求證：AE=ED；〔2〕假設AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．〔1〕證明：如圖．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AE=DE．〔2〕解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、：如圖，在正方形ABCD中，點G是BC延長線上一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F．〔1〕求證：∠DAE=∠DCE；〔2〕當CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．〔1〕證明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE〔正方形的對角線平分對角〕，ED=DE〔公共邊〕，AE=CE〔正方形的四條邊長相等〕，∴△DAE≌△DCE〔SAS〕，∴∠DAE=∠DCE〔全等三角形的對應角相等〕；〔2〕解：如圖，由〔1〕知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA〔等邊對等角〕；又∵CG=CE〔〕，∴∠G=∠CEG〔等邊對等角〕；而∠CEG=2∠EAC〔外角定理〕，∠ECB=2∠CEG〔外角定理〕，∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；過點C作CH⊥AG于點H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如圖，正方形ABCD，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接EF，假設BE=DF，點P是EF的中點．〔1〕求證：DP平分∠ADC；〔2〕假設∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．〔1〕證明：連接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．〔SAS〕∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中點，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，〔SSS〕∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；〔2〕作PH⊥CF于H點．∵P是EF的中點，∴PH=EC．設EC=x．由〔1〕知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+〔2﹣x〕2=〔x〕2解得x1=﹣2﹣2〔舍去〕，x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=〔﹣2+2〕﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=〔﹣2+4〕×=3﹣5．10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點，交BC的延長線于F；〔1〕證明：EF=EA；〔2〕過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．〔1〕證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E為CD的中點，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．〔5分〕〔2〕解：連接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由〔1〕得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由〔1〕得EF=EA，∴EG⊥AF．〔5分〕11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點E是直角梯形ABCD內(nèi)一點，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．〔1〕求證：EB=EF；〔2〕延長FE交BC于點G，點G恰好是BC的中點，假設AB=6，求BC的長．〔1〕證明：∵△ADF為等邊三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°〔1分〕∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB〔2分〕∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，〔3分〕∵AE為公共邊∴△FAE≌△BAE〔4分〕∴EF=EB〔5分〕〔2〕解：如圖，連接EC．〔6分〕∵在等邊三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分線，那么∠EFA=∠EFD=30°．〔7分〕由〔1〕△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．〔8分〕∵點G是BC的中點，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG為等邊三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°〔9分〕∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=〔10分〕；解法二：過C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點E，F(xiàn)是CD的中點，DG是梯形ABCD的高．〔1〕求證：AE=GF；〔2〕設AE=1，求四邊形DEGF的面積．〔1〕證明：∵AB=DC，∴梯形ABCD為等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．〔1分〕由AE⊥BD，∴AE∥DC．〔2分〕又∵AE為等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中點，∵F是DC的中點，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四邊形AEFD是平行四邊形．〔3分〕∴AE=DF〔4分〕∵F是DC的中點，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，〔5分〕∴AE=GF．〔6分〕〔2〕解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．〔8分〕由〔1〕知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四邊形DEGF的面積=EF?DG=．〔10分〕13、，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC，連AG．〔1〕求證：FC=BE；〔2〕假設AD=DC=2，求AG的長．解答：〔1〕證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；〔2〕解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E是AB邊上一點，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點F，連接AF、BF．〔1〕求證：AD=BE；〔2〕試判斷△ABF的形狀，并說明理由．〔1〕證明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．〔2〕答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延長AF交BC的延長線于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、〔2023?潼南縣〕如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．〔1〕求證：AD=AE；〔2〕假設AD=8，DC=4，求AB的長．解答：〔1〕證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，〔AAS〕∴AD=AE；〔2〕解：由〔1〕知：AD=AE，DC=EC，設AB=x，那么BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+〔x﹣4〕2=x2，解得：x=10，∴AB=10．說明：依據(jù)此評分標準，其它方法如：過點C作CF⊥AB用來證明和計算均可得分．16、如圖，梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，BD平分∠ABC．〔1〕求證：AE⊥BD；〔2〕假設AD=4，BC=14，求EF的長．〔1〕證明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，E是BD的中點，∴AE⊥BD．〔2〕解：延長AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD〔已證〕，∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中點〔〕，所以由三角形中位線定理得：EF=CG=〔BC﹣BG〕=〔BC﹣AD〕=×〔14﹣4〕=5．答：EF的長為5．17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．〔1〕求證：CD=BE；〔2〕假設AD=3，DC=4，求AE．〔1〕證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．〔2〕解：在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長．解：如圖，過點D作DF∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．〔1分〕∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×=2〔2分〕在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．〔4分〕在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．〔5分〕19、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點E、F分別在AD、AB上，且．〔1〕求證：BF=EF﹣ED；〔2〕連接AC，假設∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．證明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；〔2〕解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由〔1〕得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．〔1〕假設EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的長．〔2〕假設點F是CD的中點，求證：CE=BE﹣AD．解：〔1〕作EM⊥AB，交AB于點M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四邊形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；〔2〕延長AF、BC交于點N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF〔AAS〕，∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD，DH⊥BC．〔1〕求證：DH=〔AD+BC〕；〔2〕假設AC=6，求梯形ABCD的面積．解：〔1〕證明：過D作DE∥AC交BC延長線于E，〔1分〕∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．〔2分〕∴CE=AD，DE=AC．∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE為等腰直角三角形．〔4分〕∵DH⊥BC，∴DH=BE=〔CE+BC〕=〔AD+BC〕．〔5分〕〔2〕∵AD=CE，∴．〔7分〕∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面積為18．〔8分〕注：此題解題方法并不唯一．22、，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DG∥BC，交AB于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DC，連接AE，BD．〔1〕求證：△AGE≌△DAB；〔2〕過點E作EF∥DB，交BC于點F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．〔1〕證明：∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等邊三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；〔2〕解：由〔1〕知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等邊三角形，∠AFE=60°．23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點F，EF=EC，連接DF．〔1〕試說明梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕假設AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；〔3〕在條件〔2〕下，射線BC上是否存在一點P，使△PCD是等腰三角形，假設存在，請直接寫出PB的長；假設不存在，請說明理由．解：〔1〕證明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕△DCF是等腰直角三角形，證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形〔如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形〕，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=〔BC﹣AD〕=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；〔3〕共四種情況：∵DF⊥BC，∴當PF=CF時，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；當P與F重合時，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；當PC=CD=〔P在點C的左側〕時，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；當PC=CD=〔P在點C的右側〕時，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．〔每個1分〕24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF．AF交BE于P．〔1〕證明：△ABE≌△DAF；〔2〕求∠BPF的度數(shù)．解答：〔1〕證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF〔SAS〕．〔2〕解：∵由〔1〕△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點F，使CF=CD．〔1〕求∠ABC的度數(shù)；〔2〕如果BC=8，求△DBF的面積？解答：解：〔1〕∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°〔2〕過點D作DH⊥BC，垂足為H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面積為．26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點．〔1〕求證：△AGD為正三角形；〔2〕求EF的長度．〔1〕證明：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD為等邊三角形，〔2〕解：∵BE為△BCG的中線，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF為斜邊AB