(完整word版)概率論與數理統計習題集及答案

--15-概率論與數理統計》作業(yè)集及答案第1章概率論的基本概念§1.1隨機試驗及隨機事件(1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H、反面T出現的情形.樣本空間是：S=—枚硬幣連丟3次，觀察出現正面的次數.樣本空間是：S=_TOC\o"1-5"\h\z(1)丟一顆骰子.A：出現奇數點，則A=；B：數點大于2,則￡=.(2)一枚硬幣連丟2次，A：第一次出現正面，則A=；B：兩次出現同一面，貝4；C：至少有一次出現正面，則C=.§1.2隨機事件的運算設A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關系表示下列各事件：A、B、C都不發(fā)生表示為：.(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示為：.A與B都不發(fā)生，而C發(fā)生表示為:.(4)A、B、C中最多二個發(fā)生表示為：_.(5)A、B、C中至少二個發(fā)生表示為：.(6)A、B、C中不多于一個發(fā)生表示為：.設S={x:0<x<5},A={x:1<x<3},B={x:2<<4}:貝y(1)AuB=，(2)AB=，(3)AB=，(4)AuB=，(5)AB=?！?.3概率的定義和性質已知P(AuB)=0.8,P(A)=0.5,P(B)=0.6，則(1)P(AB)=,(2)(P(AB))=,(3)P(AuB)=.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3,則P(AB)=.§1.4古典概型某班有30個同學,其中8個女同學,隨機地選10個,求:(1)正好有2個女同學的概率,最多有2個女同學的概率,(3)至少有2個女同學的概率.將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.§1.5條件概率與乘法公式丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數之和為7,則其中一顆為1的概率是。已知P(A)=1/4,P(BIA)=1/3,P(AIB)=1/2,則P(AuB)=。§1.6全概率公式有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中‘的概率相同。第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率?！?.7貝葉斯公式1．某廠產品有70%不需要調試即可出廠，另30%需經過調試，調試后有80%能出廠，求（1）該廠產品能出廠的概率，（2）任取一出廠產品,求未經調試的概率。將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02,B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少？§1.8隨機事件的獨立性1.電路如圖，其中A,B,C,D為開關。設各開關閉合與否相互獨立，且每一開關閉合的概率均為P,求L與R為通路（用T表示）的概率。,AzBzLRCD甲，乙,丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨立，求下列概率:（1）恰好命中一次,（2）至少命中一次。第1章作業(yè)答案§1?11：(1)S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；(2)S={0,1,2,3}2：(1)A={1,3,5}B={3,4,5,6}；(2)A二{正正，正反},B={正正，反反},C={正正，正反，反正}?！??21：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC；(4)AuBoC；(5)ABoACoBC；(6)ABoACoBC或ABC+ABC+ABC+ABC；2：(1)AoB={x:1<x<4}；(2)AB={x:2<x<3}；(3)AB-{x:3<x<4}；————(4)AoB={x:0<x<1或2<x<5}；(5)AB={x:1<x<4}?！?.31：(1)P(AB)=0.3,(2)P(AB)=0.2,(3)P(AoB)=0.7.2：P(AB))=0.4.§1?41：(1)C2C8/C10,(2)(C10+C1C9+C2c8)/C10,(3)1—(C10+CiC9)/C10.82230228228223022822302：P3/43.4§1?51：.2/6；2：1/4。§1?61：設A表示第一人“中”則P(A)=2/10設B表示第二人“中”則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)21822*I*10910910兩人抽“中‘的概率相同,與先后次序無關。2：隨機地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45§1?71：(1)94%(2)70/94；2：0.993；§1?8?1：用A,B,C,D表示開關閉合，于是T=ABUCD,從而，由概率的性質及A,B,C,D的相互獨立性P(T)=P(AB)+P(CD)—P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)-p2+p2一p4-2p2一p42：(1)0.4(1—0.5)(1—0.6)+(1—0.4)0.5(1—0.6)+(1—0.4)(1—0.5)0.6=0.38；(2)1—(1—0.4)(1—0.5)(1—0.6)=0.88.第2章隨機變量及其分布§2.1隨機變量的概念，離散型隨機變量一盒中有編號為1,2,3,4,5的五個球，從中隨機地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼.，試寫出X的分布律.某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數，試寫出X的分布律?！?.20一1分布和泊松分布1某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數X是服從入=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設隨機變量X有分布律：X23,Y?n(X),試求：p0.40.6(1)P(X=2,YW2)；(2)P(YW2)；(3)已知YW2,求X=2的概率?！?.3貝努里分布1一辦公室內有5臺計算機，調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻恰有2臺計算機被使用的概率是多少？至少有3臺計算機被使用的概率是多少？至多有3臺計算機被使用的概率是多少？至少有1臺計算機被使用的概率是多少？

2設每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？§2.4隨機變量的分布函數'0x<-11設隨機變量X的分布函數是：F(x)=<0.5-1<x<11x>1(1)求P(XWO)；PG<X<1)；P(X21),(2)寫出X的分布律。Ax2Ax2設隨機變量X的分布函數是：F(x)=0x>0,求（1）常數A,⑵PG<X<2）.x<0§2.5連續(xù)型隨機變量fkx0<x<11設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為：f(x)=/0其他(1)求常數k的值；(2)求X的分布函數F(X),畫出F(X)的圖形,(3)用二種方法計算P(-0.5<X<0.5).0x<12設連續(xù)型隨機變量x>0的分布函數為：F(x)=<lnx1<x<e1x>e(1)求X的密度函數f(x)，畫出f(x)的圖形，(2)并用二種方法計算P(X>0.5).§2.6均勻分布和指數分布1設隨機變量K在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率。

2假設打一次電話所用時間（單位：分）X服從?=0.2的指數分布，如某人正好在你前面

走進電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘到20分鐘的概率?！?.7正態(tài)分布1隨機變量X?N(3,4),(1)求P(2vXW5),P(-4vXW10),P(IXI>2),P(X>3)；⑵確定c,使得P(X>c)=P(Xvc)。2某產品的質量指標X服從正態(tài)分布，卩=160，若要求P（120vXv200）±0.80,試問。最多取多大？2設隨機變量X的密度函數為:2設隨機變量X的密度函數為:2(1-x)00<x<1其他§2.8隨機變量函數的分布1設隨機變量X的分布律為；X012p0.30.40.3Y=2X-1,求隨機變量X的分布律。Y=X2；求隨機變量Y的密度函數。設隨機變量X服從（0,1）上的均勻分布，Y=-21nX，求隨機變量Y的密度函數。第2章作業(yè)答案§2.11：Xi345p0.10.3p0.10.30.62：X123p0.40.6x0.40.6x0.6x0.4450.6x0.6x0.6x0.40.6x0.6x0.6x0.6x1§2.21：(1)P(X=1)=P(X±1)-P(X±2)=0.981684-0.908422=0.073262,P(X±1)=0.981684,P(XW1)=1-P(X±2)=1-0.908422=0.091578。

2：(1)由乘法公式：P(X=2,YW2)=P(X=2)P(YW2IX=2)=0.4x(e-2+2e-2+2e-2)=2e-2(2)由全概率公式：P(YW2)=P(X=2)P(YW2IX=2)+P(X=3)P(YW2IX=3)17=0.4x5e-2+0.6xe-3=0.27067+0.25391=0.5245823)由貝葉斯公式：P(X=2IYW3)由貝葉斯公式：P(X=2IYW2)=P(X=2,Y<2)

P(Y<2)0.270670.52458=0.516§2.31:設X表示在同一時刻被使用的臺數，則X?B(5,0.6),(1)P(X=2)=C20.620.43(2)P(X三3)=Cj0.630.42+C40.640.4+0.65(3)P(XW3)=1-C；0.640.4—0.65(4)P(X21)=1-0.452：至少必須進行11次獨立射擊.§2.41：(1)P(XW0)=0.5；PG<X<1)=0.5；P(X21)=0.5,(2)X的分布律為：X—―-J1—P0.50.52：(1)A=1,(2)P(1<X<2)=1/6'0x<0§2.51：(1)k=2,(2)F(x)=<x20<x<1；1x>13)P(-0.5<X<0.5)J0.5f(x)dx=J00dx+f0.52xdx=—；3)P(-0.5<X<0.5)—0.5—0.504或=F(0,5)-F(-0.5)=——0=—o442：(1)f(x2：(1)f(x)=曽1<x<e其他(2)P(X>2)=1—ln2§2.61：3/52：(1)e—2(2)e—2—e—4§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3,2：oW31.25?！?.81：y-113p0.30.40.32：fY(y)=[1jy(1-j亍)0<y<1,3：f(y)=Y1—e—y/22y>00其他0y<0第3章多維隨機變量

§3.1二維離散型隨機變量1.設盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取3個，用X表示取到的紅球個數，用Y表示取到的白球個數，寫出(X,Y)的聯合分布律及邊緣分布律。2.設二維隨機變量(X2.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律為:試根椐下列條件分別求a和b的值；(1)P(X=1)=0.6；00.110.10.2ab0.2(2)P(X=11Y=2)=0.5；(3)設F(x)是Y的分布函數，F(1.5)=0.5?！?.2二維連續(xù)型隨機變量1.(X1.(X、Y)的聯合密度函數為：f(x,y)=0<x<1,0<y<1其他求(1)常數k；(2)P(Xv1/2,Yv1/2)；(3)P(X+Yv1)；(4)P(Xv1/2)。2．(X、Y)的聯合密度函數為:Ikxyf(x2．(X、Y)的聯合密度函數為:Ikxyf(x,y)T。0<x<1,0<y<x其他求(1)常數k；(2)P(X+Y<1)；(3)P(Xv1/2)。§3.3邊緣密度函數1.設(X,Y)的聯合密度函數如下，分別求X與Y的邊緣密度函數。f(x,y)二1沢2(1+x2)(1+y2)—g<x<+8,—g<y<2.設(X,Y)的聯合密度函數如下，分別求X與Y的邊緣密度函數。0<y<x其他121231/61/91/18§3.4隨機變量的獨立性1.(X,Y)的聯合分布律如下，試根椐下列條件分別求a和b的值;

1/9⑴P(Y=1)=1/3；1/9⑵P(X>11Y=2)=0.5；(3)已知X與Y相互獨立。2.(X,Y)的聯合密度函數如下，求常數c并討論X與Y是否相互獨立?f(x,y)=cxy200<x2.(X,Y)的聯合密度函數如下，求常數c并討論X與Y是否相互獨立?f(x,y)=cxy200<x<1,0<y<1其他§3.11：XY1210.40.30.720.30.0.30.70.31第3章作業(yè)答案2：(1)a=0.1b=0.3(2)a=0.2b=0.2(3)a=0.3b=0.1§3.21：(1)k=1；(2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8；(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<1/2)=3/8。2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)P(X<1/2)=1/16?！?.31：f(x)二J+s1——-dy二一2-X卞兀2(1+x2)(1+y2)丿兀(1+x2)(y)—JY+sdx——s兀2(1+x2)(1+y2)兀(1+y2)—s<y<2s；§3.42：Ixe—xx>0X(x)=|0x<0y>0y<0；1：2：第4章1)a=1/6b=7/18；(2)a=4/9b=1/9；(3)c=6,X與Y相互獨立。隨機變量的數字特征a=1/3,b=2/9?！?.1數學期望1．盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取3個，用X表示取到的紅球的個數，則EX是(A)1；(B)1.2；(C)1.5；(D)2.3x23x22.設X有密度函數：f(x)=<802<x<4其他求E(X),E(2X—1),E(鳥),并求XX2大于數學期望E(X)的概率。3.設一維隨機變量（X,Y）的聯合分布律為：012已知E(XY)=0.65,00.10.2a則a和b的值是：10.1b0.2A)a=0.1,b=0.3；(B)a=0.3,b=0.1；(C)a=0.2,b=0.2；(D)a=0.15,b=0.25。4.設隨機變量（X,Y）的聯合密度函數如下：求EX,EY,E（XY+1）。（xy0<x<1,0<y<2

f（X，y）千0其他§4.2數學期望的性質1?設X有分布律：X0123則E（X2-2X+3）是:p0.10.20.30.42.A）1；B）2；（C）3；（D）4.52.A）1；B）2；（C）3；（D）4.5y40x2<y<1，試驗證其他E(XY)=E(X)E(Y)，但X與Y不相互獨立。§4.3方差1.丟一顆均勻的骰子，用X表示點數，求EX,DX.2．X有密度函數：(x2．X有密度函數：(x+1)/400<x<2其他，求D（X）.§4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差設X?兀⑵，Y?B(3,0.6),相互獨立，則E(X-2Y),D(X-2Y)的值分別是:(A)-1.6和4.88；(B)-1和4；(C)1.6和4.88；(D)1.6和-4.88.設X?U(a,b),Y?N(4,3)，X與Y有相同的期望和方差，求a,b的值。(A)0和8；(B)1和7；(C)2和6；(D)3和5.§4.6獨立性與不相關性矩下列結論不正確的是()X與Y相互獨立，則X與Y不相關；X與Y相關，則X與Y不相互獨立；E(XY)=E(X)E(Y)，則X與Y相互獨立;(D)f(x，y)-fX(x)fY(y)，則X與丫不相關;2.若COV(X,Y)=0，則不正確的是()(A)E(XY)=E(X)E(Y)；(B)E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(C)D(XY)=D(X)D(Y)；(D)D(X+Y)=D(X)+D(Y)；3.(X,Y)有聯合分布律如下，試分析X與Y的相關性和獨立性。X\y-101.-11/81/81/801/801/811/81/81/84.E(XY)=E(X)E(Y)是X與Y不相關的()(A)必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要，也不充分。5.E(XY)=E(X)E(Y)是X與Y相互獨立的()(A)必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要，也不充分。6.設隨機變量(X,Y)有聯合密度函數如下：試驗證X與Y不相關，但不獨立。f(xf(x,y)=21x2y/40x2<y<1

其他第4章作業(yè)答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：；§4.51：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：X與Y不相關，但X與Y不相互獨立；4：C；5：A第5章極限定理*§5.1大數定理§5.2中心極限定理1．一批元件的壽命(以小時計)服從參數為0.004的指數分布，現有元件30只，一只在用，其余29只備用，當使用的一只損壞時，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年(8760小時)的近似概率。2．某一隨機試驗，“成功”的概率為0.04，獨立重復100次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案§5.22：0.1788；3：0.889，0.841；第6章數理統計基礎§6.1數理統計中的幾個概念1．有n=10的樣本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，則樣本TOC\o"1-5"\h\z均值X=，樣本均方差S=，樣本方差s2=。2.設總體方差為b2有樣本X,X，…,X，樣本均值為X，則Cov(X1,X)=12n1§6.2數理統計中常用的三個分布查有關的附表，下列分位點的值：Z=，x2(5)=，t(10)=0.90.10.9設X,X，…,X是總體x2(m)的樣本，求E(X),D(X)。12n§6.3一個正態(tài)總體的三個統計量的分布1.設總體X~N(卩,c2)，樣本X,X，…,X，樣本均值X，樣本方差S2,則12nX—卩STJnTOC\o"1-5"\h\z丄工(X-X)2?，丄工(X—卩)2?,Q2iQ2ii=1i=1第6章作業(yè)答案§6.11.x=1.57,s=0.254,s2=0.0646；2.Cov(X,X)=b2/n；1§6.21.-1.29,9.236,-1.3722；2.E(X)=m,D(X)=2m/n；§6.31.N(0,1),t(n—1),%2(n—1),咒2(n)；第7章參數估計§7.1矩估計法和順序統計量法{1i'^xv0—10<x<1，有樣本X,X，…,X，求未TOC\o"1-5"\h\z0其他12n知參數0的矩估計。每分鐘通過某橋量的汽車輛數X?兀(九)，為估計九的值，在實地隨機地調查了20次，每次1分鐘，結果如下：次數：23456量數：95374試求九的一階矩估計和二階矩估計?！?.2極大似然估計1?設總體X的密度函數為：f(x)=[