宏觀強理論基礎(chǔ)演示文稿

宏觀強度理論基礎(chǔ)演示文稿第一頁，共六十六頁。1.1.1彈性變形1、簡單加載下的彈性變形純拉伸時：純剪切時：泊松比：剪切彈性模量：正彈性模量：三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：彈性變形－施加外力即刻產(chǎn)生、去除外力即刻回復(fù)的變形。其特征為：變形量與作用力呈單值、唯一正比關(guān)系，與加載路徑無關(guān)；變形是瞬時達到的，與時間無關(guān)。第二頁，共六十六頁。2、復(fù)雜加載下的彈性變形－廣義虎克定律1）普遍表達式

在①連續(xù)、②均勻、③無初應(yīng)力、④變形微小的基本假設(shè)下，可推導(dǎo)出表示線彈性固體中任意一點的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的廣義虎克定律。由連續(xù)性假設(shè)第三頁，共六十六頁。1）普遍表達式（續(xù)1）

在變形微小的假設(shè)下，將上式在εij

=0處展開成Tailor級數(shù)，并略去二次方及以上的項：…………………………在無初應(yīng)力的假設(shè)下，當εij

=0時，σij

=0，于是有：f(0,0,…,0)=0，則有：式中，｛σ｝和｛ε｝均為6階列矢量，[Cij]為6×6階方陣，且有：第四頁，共六十六頁。1）普遍表達式（續(xù)2）

由均勻性假設(shè)可知，若各點應(yīng)力狀態(tài)相同，則必對應(yīng)相同的應(yīng)變狀態(tài)；反之亦然。這說明Cij為常數(shù)，稱為剛度系數(shù)，即上式為線性關(guān)系，此即廣義Hooke定律：廣義Hooke定律的應(yīng)變表達式：式中，Sij

稱為柔度系數(shù)，可由剛度系數(shù)求逆得到，即：第五頁，共六十六頁。2）剛度系數(shù)的對稱性以應(yīng)變能密度表示應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系：由廣義Hook定律的第一式，得：再將此式對εyy

求偏導(dǎo)，得：同樣對廣義Hook定律的第二式處理可得：因偏導(dǎo)數(shù)與微分順序無關(guān)，故：線彈性體單位體積應(yīng)變能：第六頁，共六十六頁。3）彈性對稱性

在彈性體內(nèi)，若過每一點的不同方向的彈性都不相同，則稱為各向異性，Cij

有21個；若過每一點的不同方向的彈性都相同，則稱為各向同性，獨立的Cij

有2個。而介于二者之間的則具有某類彈性對稱性。所謂彈性對稱面：是指過物體中的每一個點都有這樣一種平面，相對于該平面的對稱方向上，彈性相同。垂至于彈性對稱面的軸稱為彈性主軸。由彈性對稱面的定義可知，當把彈性主軸倒置時，應(yīng)具有相同的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，即Cij不會改變。然而，應(yīng)變能W是應(yīng)變的單值、標量函數(shù)，不會因坐標的改變（彈性軸倒置）而改變其量值，但是當坐標軸倒置后，某些應(yīng)變分量將變號，因此會限制某些剛度系數(shù)的取值。第七頁，共六十六頁。應(yīng)變能密度展開式第八頁，共六十六頁。（1）有一個彈性對稱面（xoy面）將z

軸倒置成

z′軸，有z′=-z，w=-w′，考察與z′有關(guān)的應(yīng)變分量：為保證應(yīng)變能W值不變，含εyz

和εzx

一次方的項前的彈性常數(shù)必須為0，即：

剛度系數(shù)減少了8個，僅剩下13個。u、ν、ω分別為x、y、z軸方向上的位移分量一個彈性對稱面，13個剛度系數(shù)第九頁，共六十六頁。（2）有三個相互垂直的對稱面－正交異性沿用上述方法，取x、y、z

三軸為彈性主軸，則：首先將z

軸倒置后有：其次將y

軸倒置，因εyz

變號有：（已有）

因εxy

變號有：（新增）最后將x

軸倒置，但不會得到新的為0的系數(shù)。故在正交各向異性狀態(tài)下，彈性常數(shù)減少了12個，只剩下9個：拉壓－剪切耦合（交叉效應(yīng)）出面剪切耦合兩個或者三個互相垂直的彈性對稱面，都是9個剛度系數(shù)第十頁，共六十六頁。（3）橫觀各向同性定義：若過物體每一個點都有這樣一種平面，在此面內(nèi)的各個方向上彈性相同，則此面稱為橫觀各向同性面。另外，x、y

軸不論轉(zhuǎn)過任何角度，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系都保持相同，可得：因此，獨立的彈性常數(shù)僅剩下5個：設(shè)xoy

面為橫觀各向同性面，當εxx

和εyy

互換，以及εyz

和εzx

互換時，應(yīng)有：第十一頁，共六十六頁。（4）完全各向同性任意方向都是彈性主方向，既有：此時，獨立的彈性常數(shù)僅剩下2個：C11

和C12：第十二頁，共六十六頁。4）廣義Hook定律的工程表示法在各向同性條件下，令：則廣義Hooke定律可寫成工程上廣泛應(yīng)用的形式：第十三頁，共六十六頁。1.1.2粘彈性變形1、粘性流動σεdε/dtttσt1t1概念：在很小外力下便會發(fā)生，且在外力去除后不會恢復(fù)的流動。特點：屈服值為0；變形不僅取決于應(yīng)力，同時依賴于應(yīng)力作用的時間；1）Newton流動第十四頁，共六十六頁。2）非Newton流動賓漢流動假塑性流動（切變變?。┣凶冊龀砹鲃釉诜荖ewton流動區(qū)，可用指數(shù)方程來描述流動規(guī)律：式中，n為非Newton指數(shù)，其值愈低，愈呈假塑性；n=1時，即為Newton流體。第十五頁，共六十六頁。2、粘彈性變形1）Maxwell模型

粘彈性變形是粘性變形和彈性變形的混合變形，因此，常用代表彈性變形的彈簧元件和代表粘性變形的活塞元件組合起來構(gòu)筑描述粘彈性體的本構(gòu)方程。

屬兩元件串連模型，其特點為：兩元件中應(yīng)力相等，且等于總應(yīng)力；兩元件應(yīng)變不等，且非同時產(chǎn)生，總應(yīng)變?yōu)榈谑?，共六十六頁。Maxwell模型本構(gòu)關(guān)系

在恒應(yīng)力σ0作用t1時間后，總變形為：

式中，J(t)稱為蠕變?nèi)崃?，是時間的線性函數(shù)。總應(yīng)變速率為：

在恒應(yīng)變時，應(yīng)力將松弛：，則有：積分得：式中，稱為松弛常數(shù)。經(jīng)無限長時間后，應(yīng)力將僅由彈簧變形決定。第十七頁，共六十六頁。2）Voigt-Kelvin模型

屬兩元件并聯(lián)模型：兩元件等應(yīng)變，且等于總應(yīng)變；總應(yīng)力等于兩元件應(yīng)力之和?；颍旱谑隧摚擦?。3）三元件模型1彈簧＋2活塞

2彈簧＋1活塞1彈簧＋Maxwell組合件（并聯(lián)）；1彈簧＋V-K組合件（串連）

在該模型中，總應(yīng)變ε為彈簧應(yīng)變ε1及V-K組件應(yīng)變ε2

之和，而總應(yīng)力為V-K組件中兩元件應(yīng)力之和。則有：而：代入前式得：第十九頁，共六十六頁。4）Zener模型－標準線性固體組成：Maxwell組件和Voigt組件串聯(lián)而成。思路：高聚物的變形是由三部分組成的：瞬時完成的普彈性變形，可用彈簧來E1模擬；鏈段伸展的高彈性變形，可以用彈簧E2和活塞η2并聯(lián)起來去模擬；高分子相互滑移引起的粘性變形，這種變形隨時間線性發(fā)展，可以用一個活塞η3模擬。

用此模型描述線性高聚物的蠕變過程特別合適。蠕變過程中，因而高聚物的總變形為

第二十頁，共六十六頁。Zener模型模擬的蠕變曲線及驗證第二十一頁，共六十六頁。5）廣義Maxwell模型

取任意多個Maxwell

組件并聯(lián)而成，讓每個單元由不同模量的彈簧和不同粘度的活塞組成，因而具有不同的松弛時間，當模型在恒定應(yīng)變時，其應(yīng)力應(yīng)為諸單元應(yīng)力之和，即

而應(yīng)力松弛模量為

當n→∞時，上式可寫成積分形式

式中，f(τ)稱為松弛時間譜。

第二十二頁，共六十六頁。廣義Maxwell模型驗證2個Maxwell單元并聯(lián)組合模型應(yīng)力松弛行為聚異丁烯（25℃）應(yīng)力松弛疊合曲線第二十三頁，共六十六頁。6）廣義Voigt-Kelvin模型

廣義Voigt模型是取任意多個Voigt單元串聯(lián)而成，如右圖。假設(shè)其第i個單元的彈簧模量為Ei，松弛時間為τi，則在拉伸蠕變時，其總變形應(yīng)為全部Voigt單元形變的加和，即

蠕變?nèi)崃繛?/p>

第二十四頁，共六十六頁。3、三維粘彈性變形

若設(shè)想彈簧和活塞可沿三軸方向變形，便可以推廣建立Maxwell固體的三維本構(gòu)關(guān)系。彈簧的應(yīng)變率可由廣義Hooke定律對時間微分得到，粘性變形與塑性變形一樣，可假設(shè)體積不變，即泊松比為0.5，則將彈簧與活塞應(yīng)變率相加可得：第二十五頁，共六十六頁。1.1.3塑性變形

當受力物體中的某一點的應(yīng)力滿足屈服條件時，該點進入塑性變形階段。對于大多數(shù)材料，總是先經(jīng)過彈性變形，再過渡到塑性變形，所以合稱為彈塑性變形。塑性變形最顯著的兩個特點是：應(yīng)力－應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系；應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的不唯一性。應(yīng)變不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與達到該應(yīng)力狀態(tài)的途經(jīng)（即變形歷史）有關(guān)，應(yīng)變不能單值地由應(yīng)力唯一確定。第二十六頁，共六十六頁。1、單向應(yīng)力下的幾種理想模型1）理想剛塑性

僅適合于材料塑性變形量很大，且強化程度很低的狀況。剛性（無變形）無強化塑性流動2）理想彈塑性ε≤εs

時ε＞εs

時無強化塑性流動理想（線）彈性第二十七頁，共六十六頁。3）剛塑性線性強化式中，E1－塑性模量。剛性（無變形）線性強化塑性4）彈塑性線性強化ε≤εs

時ε＞εs

時線性強化塑性線彈性第二十八頁，共六十六頁。5）彈性非線形強化

常以冪硬化律來表達。代表性的冪硬化率有Ramberg-Osgood法則：式中，A－硬化系數(shù)；n

－硬化指數(shù)。重要假設(shè)：塑性變形體積不可壓縮。σsσε如果x方向受拉或壓后產(chǎn)生的塑性應(yīng)變?yōu)閯t其它兩個方向的塑性應(yīng)變?yōu)榈诙彭?，共六十六頁?、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性本構(gòu)方程Reuss（1930年）假定：（1）式中，i,j=x,y,z；dλ－非負標量比例系數(shù)；應(yīng)力偏量定義為：i=j

時；i≠j

時；（2）其中，。（3）將（2）式代入（1）式，可得Reuss增量方程：1）增量理論第三十頁，共六十六頁。1）增量理論（續(xù)）仿照等效應(yīng)變的概念，可定義“等效塑性應(yīng)變增量”為：（4）而等效應(yīng)力為：（5）將（4）和（5）式代入（3）式得：（6）則Reuss本構(gòu)方程的普遍形式為：（7）第三十一頁，共六十六頁。2）全量理論基本假設(shè)：比例變形：（1）由（1）式和（3）式聯(lián)立得：（4）（3）（2）塑性變形體積不變：小變形：第三十二頁，共六十六頁。2）全量理論（續(xù)）Ci可通過等效應(yīng)力和等效應(yīng)變來確定：（5）（6）實驗表明，當時，材料屈服，在單軸應(yīng)力下，根據(jù)ΔV=0，也可證明：，則在單軸應(yīng)力下，由（4）、（5）、（6）式解得：（7）則全量理論表達式為：（8）第三十三頁，共六十六頁。1.2經(jīng)典強度理論定義：三個主應(yīng)力中任意一個達到單向強度σ0時，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過量彈性變形失效；無裂紋脆性材料受拉應(yīng)力斷裂。原因：對金屬材料，塑性變形是由剪應(yīng)力控制的，而該理論忽略了其作用。1.2.1最大正應(yīng)力理論第三十四頁，共六十六頁。1.2.2最大正應(yīng)變理論定義：三個主應(yīng)變中任意一個達到單向拉伸失效正應(yīng)變極限值ε0時，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過量彈性變形失效；無裂紋脆性材料受拉應(yīng)力斷裂。利用Hooke定律，還可將最大正應(yīng)變理論寫成應(yīng)力表達式：第三十五頁，共六十六頁。最大正應(yīng)力理論和最大正應(yīng)變理論的實驗驗證灰鑄鐵薄壁圓管試件內(nèi)壓與軸向載荷試驗第三十六頁，共六十六頁。1.2.3最大剪應(yīng)力理論定義：在三向應(yīng)力狀態(tài)下，最大剪應(yīng)力達到純剪切失效的剪應(yīng)力時，材料便失效。形式：由于在單向拉伸（或壓縮）時，，則該理論的正應(yīng)力表達式為：

該理論形式簡單，在預(yù)測延性材料屈服或斷裂時有相當高的準確度，因而得到廣泛應(yīng)用。或第三十七頁，共六十六頁。平面應(yīng)力狀態(tài)下最大剪應(yīng)力理論的幾何表示σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0

在平面應(yīng)力狀態(tài)時，設(shè)三個主應(yīng)力分別是

σ1、σ2

、σ3=0

（主應(yīng)力大小沒有順序關(guān)系）。這樣，前式可分解為：

當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：

在應(yīng)力主軸坐標系

（σ1,σ2

）中，以上六種情況的判據(jù)成為由六條直線圍成的六邊形。在六邊形內(nèi)：安全；在六邊形線上：臨界狀態(tài)；在六邊形外：失效。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）第三十八頁，共六十六頁。1.2.4畸變能理論定義：在多向應(yīng)力狀態(tài)下，單位體積畸變能（Ud）達到單向拉伸失效時的畸變能（Ud0）時，材料便失效，即：單位體積畸變能為：U－單位體積應(yīng)變能；UV－單位體積形狀改變能（歪形能）（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)彈性力學(xué)原理：聯(lián)立（1）～（5）式，可得：第三十九頁，共六十六頁。平面應(yīng)力狀態(tài)下畸變能理論的幾何表示

在平面應(yīng)力狀態(tài)（σ3=0）下：

在應(yīng)力主軸坐標系（σ1,σ2

）中，上式表示一橢圓（見右圖）。橢圓的長軸過一、三象限，短軸過二、四象限。其端點坐標分別為：σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0ABDD’C’C純切應(yīng)力狀態(tài)0.5σ00.577σ0A:（σ0，σ0）B:（-σ0，-σ0）C:（-0.577σ0，0.577σ0）D:（0.577σ0，-0.577σ0）第四十頁，共六十六頁。最大剪應(yīng)力理論和畸變能理論的實驗驗證第四十一頁，共六十六頁。四種強度理論的綜合表達式綜合以上四個強度理論的強度條件，可以把它們寫成如下的統(tǒng)一形式：

式中，σr稱為相當應(yīng)力。四個強度理論的相當應(yīng)力分別為：第四十二頁，共六十六頁。四種強度理論的選用原則塑性材料：第三強度理論可進行偏保守（安全）設(shè)計；第四強度理論可用于更精確設(shè)計，要求對材料強度指標，載荷計算較有把握。脆性材料：第一強度理論用于拉伸型和拉應(yīng)力占優(yōu)的混合型應(yīng)力狀態(tài)；第二強度理論僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。對于某些特殊應(yīng)力狀態(tài)的情況，不能只看材料，還必須考慮應(yīng)力狀態(tài)對材料彈性失效狀態(tài)的影響，根據(jù)所處失效狀態(tài)選取強度理論：塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下呈脆斷破壞,應(yīng)選用第一強度理論，但此時的失效應(yīng)力應(yīng)通過能造成材料脆斷的試驗獲得。脆性材料（如大理石）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應(yīng)選用第三、第四強度理論，但此時的失效應(yīng)力應(yīng)通過能造成材料屈服的試驗獲得。第四十三頁，共六十六頁。1.2.5Mohr強度理論σ3σ2σ1στNMσCBAO3O1O2Mohr理論實質(zhì)上是最大切應(yīng)力理論的修正，是從Mohr應(yīng)力圓出發(fā)提出來的一種判斷破壞和強度的作圖方法。Mohr圓圓心：單由外圓就足以決定臨界應(yīng)力狀態(tài)。Mohr圓半徑：最大剪應(yīng)力面通過一點各截面上應(yīng)力狀態(tài)第四十四頁，共六十六頁。1.2.5Mohr強度理論（續(xù)）Mohr強度理論認為，在物體內(nèi)一點的某個截面上，當其正應(yīng)力和剪應(yīng)力達到某種最不利的組合時就導(dǎo)致破壞。破壞臨界條件可寫為：

在σ-τ平面上，該方程表示一條極限曲線，由試驗確定。對不同的達到破壞條件的應(yīng)力狀態(tài)作Mohr圓，極限曲線就是這些圓的包絡(luò)線。則Mohr理論的安全條件為：

為簡化，只以單向拉伸和單向壓縮極限應(yīng)力圓的公切線作為包絡(luò)線（右上圖），將它除以安全系數(shù)后，得到右下圖所示的許用情況。，其中O3圓為其他應(yīng)力狀態(tài)下的極限情況。根據(jù)簡單的幾何推導(dǎo)可得：第四十五頁，共六十六頁。Mohr強度理論的討論當[σL]=[σY]時：Mohr強度條件轉(zhuǎn)化為最大切應(yīng)力理論強度條件。若拉伸許用應(yīng)力很?。ù嘈圆牧希?，可近似為[σL]=0：Mohr強度條件轉(zhuǎn)化為最大正應(yīng)力理論強度條件。在平面應(yīng)力條件下，當σ2=0，及[σL]/[σY]=μ時：Mohr強度條件轉(zhuǎn)化為最大正應(yīng)變理論強度條件?？梢?，Mohr理論在一定程度上概括和推廣了前三種強度理論，它很好地代表了對拉和壓具有不同抗力的材料的塑性變形和以剪斷形式破壞的現(xiàn)象。Mohr理論仍然不是普遍適用的，與最大剪應(yīng)力理論一樣，它沒有考慮第二主應(yīng)力的影響。第四十六頁，共六十六頁。1.3強度的統(tǒng)計學(xué)特性即使對同一型號、同批生產(chǎn)的材料，由于成分、組織、缺陷的不均勻性，其力學(xué)性能也會有一定分散度。將材料制成構(gòu)件后，使用環(huán)境、溫度、承受載荷都有隨機性。這自然引出了下列問題：用小試樣或少數(shù)試樣測定的性能數(shù)據(jù)究竟能否代表材料的強度？依據(jù)實驗室數(shù)據(jù)進行強度設(shè)計，可靠性有多大？壽命預(yù)測準確度如何？從數(shù)理統(tǒng)計觀點看，材料強度和構(gòu)件承載都是隨機變量。為表征一個隨機變量，不僅需給出其取值大小，還要給出其取該值的頻率（即概率）。分布函數(shù)描述隨機變量取值的統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，定義為隨機變量ξ小于某一實數(shù)x

的概率，即：

隨機變量在一個區(qū)間內(nèi)取值的概率可以由分布函數(shù)求出：第四十七頁，共六十六頁。1.3.1強度統(tǒng)計學(xué)分析常用的統(tǒng)計分布1、Weibull分布Weibull分布的提出源于最弱連接理論。最弱連接理論基于以下假設(shè)：將材料看成許多鏈節(jié)連接而成的鏈，只要鏈中有一個鏈節(jié)失效，整個鏈就失效。在應(yīng)力從0增加到σ，鏈節(jié)的失效概率用F(σ)表示，則該鏈節(jié)的存活概率為：

假設(shè)F(σ)反映了鏈節(jié)的強度分布并且各個鏈節(jié)的強度分布相互獨立，則材料的存活概率為：于是材料(鏈)在σ作用下的失效概率為

F(σ)函數(shù)更一般的形式為：

1）最弱連接理論第四十八頁，共六十六頁。2）Weibull分布形式

Weibull提出了的一個分布，它即是至今仍然被廣泛使用的Weibull分布：

于是，失效概率可以表示成：

式中：F－失效概率；σ－隨機變量，可以為強度，斷裂韌性等；σ0－尺度參數(shù)；σu－位置參數(shù)；m

－形狀參數(shù)，通常又稱為Weibull模量。上式為三參數(shù)Weibull分布。若取σu=0,則上式簡化為二參數(shù)Weibull分布

將上式做雙對數(shù)變換可得：

第四十九頁，共六十六頁。3）Weibull分布參數(shù)的影響（1）位置參數(shù)σuσu＝0時，F(xiàn)

的一階導(dǎo)數(shù)也就是Weibull分布的概率密度函數(shù)為：

只要σ0和m值不變，概率密度函數(shù)曲線形狀不會改變，曲線只會隨著σu的變化沿著軸平移到相應(yīng)的位置。若隨機變量為強度，則

σu為開始失效時的應(yīng)力，即該材料的最低強度。故我們有時為了簡便令σu

＝0，一般認為這是保守的處理。第五十頁，共六十六頁。（2）尺度參數(shù)σ0（特征強度）令：即σ0為從σu開始材料失效概率為0.6321時的強度值。

第五十一頁，共六十六頁。（3）形狀參數(shù)m

形狀參數(shù)m決定了曲線的形狀特征。Weibull分布的概率密度函數(shù)是偏態(tài)的，在m為3.25時，曲線的對稱性較好；m越大，σ分布就越集中，即分散性越小。由由圖可看出，越大，分布就越集中，即分散性越小。

不同形狀參數(shù)m

下的概率密度函數(shù)材料

鋼

熱壓Si3N4

SiCw/Si3N4

SiC高鋁瓷器

鋁基復(fù)材

玻璃纖維

Weibull模量

50～609～252410810～301

在材料科學(xué)中，m又稱Weibull模量，表征了材料的均勻性和可靠性，m值越大，材料的均勻性越好，可靠性越高。第五十二頁，共六十六頁。4）數(shù)學(xué)期望及方差式中，Γ(x)為誤差函數(shù)，可查表。兩參數(shù)Weibull分布的期望值和方差可由下式給出：第五十三頁，共六十六頁。5）Weibull分布舉例－單纖維強度分布

單纖維強度的Weibull分布密度函數(shù)(雙參數(shù))為式中：L－纖維長度；α－尺度參數(shù)；β－形狀參數(shù)；f(σ)

－機率密度函數(shù)，即在σ～σ＋dσ之間破壞應(yīng)力的或然率。第五十四頁，共六十六頁。尺度參數(shù)及形狀參數(shù)對f(σ)的影響隨β增大：分散性減??；峰值應(yīng)力（σ*

）增大。隨α增大：分散性減??；峰值應(yīng)力（σ*）

減小。第五十五頁，共六十六頁。幾個關(guān)鍵參數(shù)（1）平均強度（數(shù)學(xué)期望）：（2）標準偏差（方差）：（3）變異系數(shù)（相對偏差）：可見，μ僅與β有關(guān)，在0.05≤μ≤0.5時，可簡化為：（4）最可幾應(yīng)力（σ*）：當β較大時：（5）纖維強度分布函數(shù)：令，則上式變?yōu)椋旱谖迨?，共六十六頁?、正態(tài)分布

正態(tài)分布是在機械產(chǎn)品和結(jié)構(gòu)工程中，研究應(yīng)力分布和強度分布時，最常用的一種分布形式。正態(tài)分布的密度函數(shù)為：

式中σ0為平均值，表示隨機變量（如強度、斷裂韌性等）的數(shù)學(xué)期望；λ為標準偏差，表示隨機變量偏離均值的散布程度，λ越小，σ落在σ0附近的概率越大。正態(tài)分布是對稱分布，其概率密度函數(shù)f(x)對于直線

x=σ0是對稱函數(shù)。正態(tài)分布概率密度曲線y=f(x)的位置完全由均值σ0確定，故σ0為位置參數(shù)。為了計算上的方便，并令λ=1,并x=(σ-σ0)/λ則可將一般的正態(tài)分布化為標準分布，其密度函數(shù)為：第五十七頁，共六十六頁。2、正態(tài)分布（續(xù)）

化成標準分布后，可根據(jù)x查正態(tài)分布表，這也是正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的一個重要原因。由于腐蝕、磨損，老化而引起的失效，是許多微小的獨立因素造成的，沒有單獨起壓倒作用的因素，是長期累積效應(yīng)引起的，到某一段時間后，材料（或構(gòu)件）失效比較集中地發(fā)生。在這種情況下，其強度分布可用正態(tài)分布來表示。對于正態(tài)隨機變量有：

即正態(tài)隨機變量的值落在（σ0±3λ）區(qū)間內(nèi)幾乎是肯定的事件，而它落在區(qū)間之外的事件是小概率事件。這就是所謂的“3λ規(guī)則”，通常作為異常數(shù)據(jù)的取舍標準。第五十八頁，共六十六頁。正態(tài)分布舉例－纖維束強度分布纖維束強度分布密度函數(shù)：式中，ψB－纖維束強度標準偏差；－纖維束強度平均值（數(shù)學(xué)期望）。Daniels首先發(fā)現(xiàn)單纖維強度與纖維束強度存在下列關(guān)系：式中，F(xiàn)(σ)－單纖維強度分布函數(shù)；σfmax－最大斷裂載荷那一束纖維中的纖維平均應(yīng)力。令：，可解得：將此式代入上式可得：可見：第五十九頁，共六十六頁。3、對數(shù)正態(tài)分布

如果隨機變量的對數(shù)符合正態(tài)分布，則稱其符合對數(shù)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：

其均值和方差分別為