函數(shù)的微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

函數(shù)微分微分定義微分幾何意義基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則微分在近似計(jì)算中應(yīng)用微分近似計(jì)算誤差預(yù)計(jì)基本初等函數(shù)微分公式和、差、積、商微分法則復(fù)合函數(shù)微分法則1第七節(jié)函數(shù)微分一.微分定義：1.實(shí)例——函數(shù)增量組成x0x0函數(shù)增量由兩部分組成：22、微分定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，區(qū)間內(nèi)，假如函數(shù)增量可表示為（1）其中是不依賴于常數(shù)，而是比高階無窮小，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微，而叫做函數(shù)對應(yīng)于自變量增量x微分，在點(diǎn)記作dy，即：及在這定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微,則有(1)成立，即等式兩端除以所以,假如函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)也一定可導(dǎo),且3、問題：函數(shù)可微條件是什么？于是,當(dāng)時(shí),由上式就得到依據(jù)極限與無窮小關(guān)系,上式可寫為反之,假如在存在,可導(dǎo),即4則故上式相當(dāng)于(1)式,在點(diǎn)可微。則4.函數(shù)可微充要條件：如函數(shù)微分為顯然，函數(shù)微分與和相關(guān)。函數(shù)在任意點(diǎn)微分,稱為函數(shù)微分,記作即55、微分幾何意義xyM0NPQx0TO當(dāng)很小時(shí)，

6例1

求函數(shù)解函數(shù)例2

求函數(shù)解先求函數(shù)在任意點(diǎn)微分7通常把自變量增量稱為自變量微分.記作即則函數(shù)微分又可記作：這表明,函數(shù)微分與自變量微分之商等于該函數(shù)導(dǎo)數(shù).所以,導(dǎo)數(shù)也叫“微商”.導(dǎo)數(shù)（微商）即微分之商。8二.基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)微分公式導(dǎo)數(shù)公式微分公式92.函數(shù)和、差、積、商微分法則10函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商微分法則3.復(fù)合函數(shù)微分法則——微分公式形式不變性。由此可見，不論是自變量還是中間變量可微函數(shù)，微分形式保持不變。這一性質(zhì)叫做微分形式不變性。114、利用微分公式形式不變性計(jì)算利用微分公式形式不變性，不但能夠求函數(shù)微分，而且能夠求導(dǎo)數(shù)，只要把微分運(yùn)算進(jìn)行到只剩自變量微分，就能夠得到函數(shù)導(dǎo)數(shù)。例3：122、分別按照dx、dy合并同類項(xiàng)。得到g1(x,y)dy=g2(x,y)dx利用微分公式形式不變性，求隱函數(shù)微分和導(dǎo)數(shù)步驟：1、不論自變量還是函數(shù)，對方程兩邊求微分。并將微分進(jìn)行到dy、dx

。3、13在求復(fù)合函數(shù)微分時(shí)，也能夠不寫出中間變量。解解把2x+1看成中間變量u

，則例4求例5求14例7

在以下等式左端括號(hào)中填入適當(dāng)函數(shù)，使等式成立。解:解應(yīng)用積微分法則得：(1)因?yàn)槔?求1516第八節(jié)微分在近似計(jì)算中應(yīng)用解：例1：17解：例2：18利用上式可導(dǎo)出工程上慣用幾個(gè)公式（）：假定很小在式中，取得19解解20絕對誤差：相對誤差：在實(shí)際工作中，因?yàn)槟硞€(gè)量準(zhǔn)確值往往是無法知道，所以絕對誤差和相對誤差無法求得。21絕對誤差限：相對誤差限：22解：通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤差與相對誤差。例5：23小結(jié)：4．近似計(jì)算公式5．工業(yè)上慣用幾個(gè)近似公式6.絕對誤差與相對誤差定義及計(jì)算1．微分定義、公式2．微分幾何意義3．基本初等函數(shù)微分公式