固體物理基礎(chǔ)答案

精品文檔精品文檔1.試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=1.633.證明：如圖所示，六方密堆結(jié)構(gòu)的兩個(gè)晶格常數(shù)知和c。右邊為底面的俯視圖。而三個(gè)正三角形構(gòu)成的立體結(jié)構(gòu)，其高度為—?2.若晶胞基矢a,b,—互相垂直，試求晶面族(hki)的面間距。———— — —:a,b,c互相垂直，可令a=ai,b二bj,c二ck——晶胞體積V=a*(bXc)=abc倒格子基矢：TOC\o"1-5"\h\z― 2?！?2兀— — 2?！猙二一(bxc)二一(bjxck)=一iv abc a—2兀 2兀 ——2兀—b=——(cxa)= (ckxai)=——jv abc b—2兀——2兀一，一2兀—b=——(axb)=(aixbj)=——kv abc c— h— h—k—l—+lb=2兀(-i+-j+-k)3 abcG=hb+kb1 2而與(hkl)晶面族垂直的倒格矢— _i/h、 /k、 /1、??.G-2兀、1(a)2+(-)2+(-)2故(hkl)晶面族的面間距,2兀;同2兀

3．若在體心立方晶胞的每個(gè)面中心處加一個(gè)同類原子，試說明這種晶體的原胞應(yīng)如何選擇？每個(gè)原胞含有幾個(gè)原子？答：通過分析我們知道，原胞可選為簡單立方，每個(gè)原胞中含有5個(gè)原子。體心，八個(gè)頂點(diǎn)中取一個(gè)，對面面心各取一個(gè)原子（即三個(gè)）作為基元。布拉菲晶格是簡單立方格子。4．試求面心立方結(jié)構(gòu)的（111）和（110）面的原子面密度。解：（111）面11平均每個(gè)（111）面有3x+3x=2個(gè)原子。621（1111（111）面面積萬?2aa(,,'(<2a)2-(11a)2

2)二ea.亙a=豈a2

2v2 224所以原子面密度o =——=(111) v3 v3a2——a22(110)面11平均每個(gè)（110）面有4x+2x-=2個(gè)原子。422_<2<2a2a2(110)面面積a-2_<2<2a2a2所以(110)面原子面密度o(110)5.設(shè)二維矩形格子的基矢為a=ai,a=2aj，試畫出第一、二、三、布里淵區(qū)。12解：倒格子基矢：72?！浮?、 2兀 二 2兀二八b=——（axa）= 2aix=——i（a=xk）TOC\o"1-5"\h\z1v2 3a?2a?x a37 2兀 l.「、 2兀 ^ 2兀^ 12兀^ 1b=——（axa）= axj=——j= j=—2 v3 1 a?2a?x2a 2a 27所以倒格子也是二維矩形格子。b2方向短一半。77最近鄰b,-b；22TOC\o"1-5"\h\z7 77 7次近鄰b,-b,2b,-2b;112 27 77 77 7 7 7再次近鄰b-b,b+b,b-b，一b-b；1 72 17 2 2 1 2 1再再次近鄰3b,-3b;22做所有這些點(diǎn)與原點(diǎn)間連線的垂直平分線，圍成布里淵區(qū)。再按各布里淵區(qū)的判斷原則進(jìn)行判斷，得：第一布里淵區(qū)是一個(gè)扁長方形；第二布里淵區(qū)是2塊梯形和2塊三角形組成；第三布里淵區(qū)是2對對角三角和4個(gè)小三角以及2個(gè)等腰梯形組成。6．六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基矢為：a=1ai+至a—

2 2-1ai+亙a—

2 2—a=ck3試求倒格子基矢并畫出第一布里淵區(qū)。解：原胞為簡單六方結(jié)構(gòu)。原胞體積：v―a—?(a—xa—)123=1a(i+.；3—)?[1a(-i+j3—)xck—]=1a(i+.、f3j)?[1ac(—+-3—)]=1a2c(—+-v'3—)?(v3—+—)4V；32———a2c2倒格子基矢：(axa)=23<3——a2c2[—a(-i+3jj)xck]=-r—(i+工3j)2 3a2兀 —1 — ,——— 2兀 — ,--―(axa)=—= [ckxa(i+3jj)]———(-i+<3j)3 1 <3 2 a——a2c22兀，——、2兀―——(axa)——k

v12c由此看到，倒格子同原胞一樣，只是長度不同，因此倒格子仍是簡單六方結(jié)構(gòu)（。注意：倒格子是簡單六方，而不是六方密堆）選六邊形面心處格點(diǎn)為原點(diǎn)，則最近鄰為六個(gè)角頂點(diǎn)，各自倒格矢的垂直平分面構(gòu)成一個(gè)六面柱體。次近鄰為上下底面中心，其垂直平分面為上下平行平面。再次近鄰是上下面六個(gè)頂角，其垂直平分面不截上面由最近鄰和次近鄰垂直平分面構(gòu)成的六角柱體。所以第一布里淵區(qū)是一個(gè)六角柱體。比倒格子六方要小。7．略8、證明一維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)為a=21n2證明：任選一參考離子1,則左右兩側(cè)對稱分布，令r=aa；這里a為晶格常數(shù)（正負(fù)離子最近距離）jj那么，有：a=Zj其中，1±—aj異號為十;同號為-.X2x3x4利用展開式：ln(1+x)=x———+—————+ 2 3 4令$—1,得：ln2=1——+———+ 2 3 4二.a―2ln29、若離子間的排斥勢用入e/P來表示，只考慮最近鄰離子間的排斥作用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)合能的表達(dá)式，并討論參數(shù)人和P應(yīng)如何決定。解：設(shè)最近鄰離子間距離為大e—rij/pr,則r.e2,「（以1離子為原點(diǎn)）u(r)=<ij4Mr0ije2（最近鄰，rij=r）4Mr0：（最近鄰以外）總相互作用能為:?U-N2e24兀sr?U-N2e24兀sr0j(wi)ae24ksr0Sie-r/P最近鄰+ZXe—r/p；(1)其中Z為最近鄰離子數(shù)由平衡條件:］。）=0；得:pae2=Zle—r0/p4兀？r200得：UNae2得：U24兀sr00結(jié)合能EC—-U（r0）

對于NaCl等離子晶體:(4)1(a2U(4)9NrIar218r0r=r0-2ae21將⑵代入⑸得:418r0r=r0-2ae21將⑵代入⑸得:4兀￡0r30Z九十一e-r0/pP2.⑸...p2ae2ae2 118r04兀sr300ae2r04ksr2 p006)2ae2+72加r4K(7)由⑵得:九由⑵得:九=00pae2

er0/p4屆r2Z0010、如果NaCl結(jié)構(gòu)晶體中離子的電荷增加一倍，假定排斥勢不變，試估計(jì)晶體的結(jié)合能及離子間的平衡距離將產(chǎn)生多大變化。解：總相互作用育U(…

ae21)r10、如果NaCl結(jié)構(gòu)晶體中離子的電荷增加一倍，假定排斥勢不變，試估計(jì)晶體的結(jié)合能及離子間的平衡距離將產(chǎn)生多大變化。解：總相互作用育U(…

ae21)rnJ利arae2r=r02I4兀sr200rn+10 /得：r0’4ksnB)n：1(2′)由⑵得:ae由⑵得:ae2B=rn-1

4兀sn00(3)⑶代入⑴得：U(r)⑶代入⑴得：U(r)0Nae2(4)當(dāng)電荷由e變?yōu)?e時(shí)，由(2)和(4)可知:14141-nn4n-1r(2e)0r(e)0U(2e)E11、在一維單原子晶格中，若考慮每一院子于其余所有原子都有作用，在簡諧近似下求格波的色散關(guān)系。

1V1V+_乙廿U24ijiji豐jU=1Zo(X0—u)=U2ijij0i豐j第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：d2U SU 1。/m,n=_=—(VBU2)dt2 du 4Suijijn ni豐j右邊=—12(VbU2+VbU2)4du inin njnj1d4dunni(wn) 1d4dun(Vp(u—U)2+Vp(u—U)2)

inni njjni(豐n) j(豐n)二一1(VB(u—u)—VB(u—u))2 inni njjni(wn) j(wn)=VB(u—u)inini(中n)=VB(u +u —2u)TOC\o"1-5"\h\zpn+p n—p np設(shè)u=Ae-i(cot-「,。代入上式得：n—HW2Ae—i(①t—nac)=Vj3(Ae—i(①t—(n+p)aq)+Ae—i(①t—(n-p)aq)—2U)p np整理，得：(1—cos(1—cospaq)①2=_Vmp12、設(shè)有一維雙原子晶格，兩種院子的質(zhì)量相等，最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地等于B和B，試1 2求格波的色散關(guān)系。解：md2Un=p(u—u)+p(u—u)dt2 1n—1n2nn=pu+pu—(p+p)uTOC\o"1-5"\h\zn—1 2n1 2nmd2Un=p(u—u)+p(u—u)dt2 2nn 1n+1 n=pu+pu—(p+p)u2n 1n+1 12n試探解： unAe—i(naq—31);UnBe—i(naq—31)代入方程，得—m32A=PBei1aq+PB—(P+P)A—m32B=PAe—iaq1(P+P)—m32+pA—(p+p)B12P+Pe-iaq—(Peiaq+「)2經(jīng)計(jì)算，1得：m①2—(p+p)+P22+P2+2PPcosaq13、已知一維單原子晶格的格波色散關(guān)系為2P公、32(q)= (1—cosqa)M試求：(1)格波的模密度g(3)；(2)低溫下晶格熱容與溫度的比例關(guān)系。解：一維時(shí)，模密度g(3)=由色散關(guān)系，得：cosaq—Jdqb(3—3(q))2兀,M1— 32;2P23d3吧sinaqdqMM2即g(3)l-?23n3(q)d3(q)2兀)1/234J5(3—3(q))笆fM32(q)—M[PM2 344P2M2 344P2、1/2晶格熱容：CU略去34項(xiàng)，(因?yàn)榈蜏?能]HJU，3<<1)，3mg(3)d3610exp(力3/kT)—1B,C二"」3 d313口開0兀Ba'T皿 3 ekT1MT鐘 eB 1lM~dg 力3 i二_? J d3兀a TT~ 力/