機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)題庫

一、緒論.思考題.何為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題?什么是無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題?試各舉一例說明。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題多屬哪一類？.一般優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型包括哪些部分?寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程是怎樣的?它與常規(guī)的機(jī)械設(shè)計(jì)有什么不同？.怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？.試簡述優(yōu)化算法的迭代過程。.何為可行域？為什么說當(dāng)存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小？當(dāng)優(yōu)化問題中有一個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？當(dāng)優(yōu)化問題中有兩個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么?當(dāng)n維優(yōu)化問題中有n個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？.什么是內(nèi)點(diǎn)、什么是外點(diǎn)?在優(yōu)化設(shè)計(jì)中內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)都可以作為設(shè)計(jì)方案嗎?為什么？.試寫出第一節(jié)中第三個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型。.目標(biāo)函數(shù)及其等值線(等值面)的意義和特性是什么？.習(xí)題.設(shè)計(jì)一容積為丫的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。.當(dāng)一個(gè)矩形無蓋油箱的外部總面積限定為S時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)可使油箱的容量最大？試列出這個(gè)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并回答：①屬于幾維的優(yōu)化問題？②是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？.欲造容積為V的長方形無蓋水箱，問應(yīng)如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消耗最少？試寫出其數(shù)學(xué)模型。.試求直徑為D的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。.在曲面f1(xp%,%3)=0上找一點(diǎn)P1，在曲面f2(xpx2,x3)=0上找一點(diǎn)P2，使得P1與P2的距離為最短，試建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。.有一薄鐵皮，寬b=14cm，長L=24cm，制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長x和傾斜角a為多大時(shí)，槽的容積最大？試寫出此問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型并指出該問題屬于哪一類的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。.欲制一批如圖2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱的容積為2m3，問如何確定q、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。.一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。.某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動(dòng)日3個(gè)，獲利潤700元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動(dòng)日10個(gè)，獲利潤1200元。但計(jì)劃規(guī)定可用煤3600kN、電200度、勞動(dòng)日300個(gè)，試問A、B各生產(chǎn)多少桶時(shí)利潤最大？列出其教學(xué)模型，并說明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問題？.某廠生產(chǎn)兩種機(jī)器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺(tái)所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時(shí)數(shù)分別為4千小時(shí)和8千小時(shí)，而產(chǎn)值分別為4萬元和6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料為100噸，總工時(shí)數(shù)為120千小時(shí)?，F(xiàn)應(yīng)如何安排兩種機(jī)器的月產(chǎn)臺(tái)數(shù)，才能使月產(chǎn)值最高。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。.要將10米長的鋼管截成3米和4米長的各100根，要求設(shè)計(jì)出用料最省的下料方法。試寫出其數(shù)學(xué)模型。.設(shè)計(jì)一個(gè)二級(jí)展開式漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動(dòng)比i=20,高速級(jí)齒輪模數(shù)q2=2.5mm,低速級(jí)齒輪模數(shù)m34=3mm,要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。.設(shè)計(jì)一個(gè)展開式二級(jí)圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總傳動(dòng)比in；X卡4,齒輪齒數(shù)z1=z3,模數(shù)均為2.5mm,試建立其數(shù)學(xué)模型，并說明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。.自行提出一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，并建立其數(shù)學(xué)模型。.如圖2-13所示，已知跨距為l、截面為矩形的簡支架，其材料密度為"，許用彎曲應(yīng)力為匕w］,允許撓度為用，在梁的中點(diǎn)作用一集中載荷P，梁的截面寬度b不得小于bmin，現(xiàn)要求設(shè)計(jì)此梁，使其質(zhì)量最輕.試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。 mm圖2-13 圖"14.矩形截面簡支梁，在跨距l(xiāng)的全部長度內(nèi)受到均布載荷q，其材料密度為"，許用彎曲應(yīng)力為［%］。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于［6］。試寫出此梁重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。 1nm

.有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機(jī)架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M，其簡化模型如圖2-14所示。由于結(jié)構(gòu)的需要，軸的長度l不得小于l.。已知銷軸材料的許用彎曲應(yīng)力［。w］和許用扭剪應(yīng)力［t］，允許撓度為用；設(shè)計(jì)材料的密度為p和彈性模量為E?，F(xiàn)要求設(shè)計(jì)這根銷軸，在滿足使用要求下使其質(zhì)量為最輕，試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。.試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t，設(shè)計(jì)圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積不小于25.0m3，容器內(nèi)壓力p為3.5MPa，切向應(yīng)力。e不超過210Mpa，應(yīng)變量不超過0.001。p=7850^01\￡；=210GPa,y=0.3要求：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；(2)用圖解法求出最優(yōu)解。.三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖1-5)的材料已經(jīng)選定，其比重為p,彈性模量為E,許用拉應(yīng)力為［。］。此結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)載荷為2p。試寫出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。.平面桁架(圖l-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t，桁架的跨度為2瓦鋼管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應(yīng)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。.當(dāng)某試驗(yàn)參數(shù)a為1，2,3,4,5時(shí)，其對(duì)應(yīng)結(jié)果f(a)為3,5,4,2,1。試用一個(gè)二項(xiàng)式p(a)=a2x1+ax2+x3，去逼近f(a)，求x1，x2,x3為多大時(shí)，使得當(dāng)a=2,3,4,5時(shí)各點(diǎn)誤差平方和為最小，且要求a=1時(shí)，p(a)=f(a)。試寫出該問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。.己知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴關(guān)系為ay=a1+ ^o;1+aln(1+ 4)3a5

其中a1?a5為待定參數(shù)。為了確定這些參數(shù)的值，對(duì)％和y測得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：(%1,y1),(%2，y2)，…，(%m,ym)。試將確定參數(shù)的問題表示成最優(yōu)化問題。23.有一個(gè)初始的設(shè)計(jì)電路，內(nèi)有m個(gè)可調(diào)整的電阻。如圖1-4所示。要求的響應(yīng)是電路內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓為給定的一組數(shù)，即匕=力1,V2=力2，...，Vn=V°n，而實(shí)際的響應(yīng)里每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓都依賴于這m個(gè)可調(diào)的電阻，示為 ""V.=U,(R1,R2,...,Rm)，i=1~n試建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。24.某現(xiàn)象的理論公式為：F(t)=%1+%2e-%3。透過實(shí)驗(yàn)已測得m個(gè)F⑺對(duì)應(yīng)于t的值。要求確定%1、％2和%3三個(gè)參數(shù)，其中%3三0，使理論公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差平方和為最小。試寫出這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型。25.熱敏電阻R25.熱敏電阻R=%1exp(%)11+%3)今測得溫度t與R的15組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。要求確定參數(shù)%1、％2和%3使電阻R的計(jì)算值與實(shí)測值的均方差最小。試建立其數(shù)學(xué)模型。.已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M，要求懸伸長度L=a?b，截面直徑d=d0-d1。問在滿足強(qiáng)度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應(yīng)如何建立該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型？并示出。.試畫出下列約束條件下，x=[%1%2]t的可行域:1)g1(X)=%12+(%2-1)2-1W0 g2(x)=(%l-1)2+%22-1W0 g3(x)=%1+%2-1W02)g1(x)=2%1+%2-6W0 g2(x)=-%lW0g3(x)=-%2<0 g4(x)=%12+x22-16<0.試畫出下列約束條件下X=[%1,%2]t的可行域，并說明哪個(gè)是不起作用的約束。g1(x)=-%12+%2三0g1(x)=%1+%2/2-3^029.已知約束條件為gg1(x)=-%12+%2三0g1(x)=%1+%2/2-3^029.已知約束條件為g2(x)=%聲0g3(x)=%2三。h(x)=-%12-%22+16三0g1(x)=-%l+%2-3三0 g2(x)=-%12-%22+9三0試問X1=[2,-2]t，X2=[3,3]t，X3=[-3,0]T，X4=[-1,1]T等四點(diǎn)中有幾個(gè)可行點(diǎn)？并寫出可行點(diǎn)。.畫出滿足下列約束的可行域。g1(x)=48-3%1-2%2三0 g2(x)=18-%1-%2三0g3(x)=%1三0g4(x)=%2三0.試將優(yōu)化問題minF(x)=x2+x2-4x+4xeDuR2D:g(x)=x一x2一1>0g(x)=3一x>0g3(x)=x2>0的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來，并回答下列問題：(a)X=[1,1]t是不是可行點(diǎn)？(b)X=[5/2,1/2]T是不是可行點(diǎn)？(c)可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32.已知某約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為minF(x)=(x-3)2+(x-4)2xeDuR2D:g(x)=5一x-x>0g(x)=x一x一2.5>0g3(x)=x1>0g4(x)=x2>0(1)該問題是線性規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題？(2)按一定比例畫出目標(biāo)函數(shù)F(X)的值分別等于1，2,3時(shí)的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3)在圖上確定無約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。(4)若在該問題中又加入等式約束h(X)=x1-x2=0，其約束最優(yōu)解X*、F(X*)又為多少？.畫出下列目標(biāo)函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負(fù)的區(qū)域；它有沒有極小值點(diǎn)？1)F(xpx2)=x1x2；2)F(xpx2)=x12-x22；3)F(x了x2)=x12+3x1x2+4x22+6.用圖解法求解下列優(yōu)化問題的最優(yōu)點(diǎn)。minF(x)=(x-3)2+(x-3)2s.t 2x-x<0;x,x>0minF(x)=(x-2)2+(x-2)21 2s.t x+2x=4;x,x>0minF(x)=(x-3)2+(x一3)21 2s.t x/2+x<4;3x+x<15x+x<1x,x>035.如圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長度/=600cm,寬度b=60cm,側(cè)板厚度t=0.5cm,s翼板厚度為tf（cm）,高度為h（cm）,承受最大的單位載荷q=10000N/cm,蓋板的許用彎曲應(yīng)力匕]=70MPa,許用剪切應(yīng)力[t]=45MPa,單位長度允許撓度f0]=0.0025mm,彈性模量E=7X104MPa,泊松比“=0.3.要求在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)質(zhì)量最小的結(jié)構(gòu)方案。5-17搪瓷廠要生產(chǎn)一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設(shè)計(jì)茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1.設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)（見圖7-16）,已知：桿1的長度l1=1,桿4的長度l4=5（均為相對(duì)長度）。要求曲柄由4。轉(zhuǎn)到4。十90。時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)關(guān)免V—y,十方（4—40）,式中4。和貝。分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角.運(yùn)動(dòng)過程中的最小傳動(dòng)角不小于45。，即7m,.＞『7]=45。試建立上述問題的數(shù)學(xué)模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可2：=4.1286,z：=2.3325）。.設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)（見圖7-16）,已知：桿1的長度入=1,桿4的長度北=5（均為相對(duì)長度）.要求曲柄由3轉(zhuǎn)到九十9Q*時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)關(guān)系：卯=夢(mèng),+喜⑷一九）'式中九和夢(mèng)，分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角.并要求在該區(qū)間的運(yùn)動(dòng)過程中的最小傳動(dòng)角不小于45°,即試建立上述問題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算（答案為=4.1286,Z,=2.3325）a.如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器，其結(jié)構(gòu)方案和有關(guān)尺寸已定。內(nèi)部氣壓為

p=12.75MPa,容器內(nèi)徑A=120mm,安裝螺栓的中心圓直徑D=200mm,壁厚E=H=20mm,用襯墊密封，為保證拆裝時(shí)具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應(yīng)小于5d（d為螺栓直徑），同時(shí)為保證螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應(yīng)大于10d。螺栓樹料選用35號(hào)鋼，長度為50mm,型式為六角頭半精制螺栓，其單價(jià)見下表：直徑d(mm)101214IBIS20單價(jià)匕（元）0,052O.Ofll0.1^20.17J0.223€.251要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數(shù)量n，使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。（答案為d=25，n=3）。.設(shè)有一重量P=10000