第11章 不可再生資源經(jīng)濟學(xué) 環(huán)境經(jīng)濟學(xué)課件

不可再生資源經(jīng)濟學(xué)不可再生資源的最優(yōu)利用最優(yōu)利用模型影響最優(yōu)利用的若干因素

11/12/20221不可再生資源經(jīng)濟學(xué)不可再生資源的最優(yōu)利用11/11/2022不可再生資源的最優(yōu)利用在分析不可再生資源價格的決定時，環(huán)境與資源經(jīng)濟學(xué)的基本原則還是以前提到過的霍特林法則。

霍特林法則可以用多種方程式來表現(xiàn)。起初，經(jīng)濟學(xué)家采用的方程式是:P’/P=r(11.1)或者是Pt=P0ert(11.2)

11/12/20222不可再生資源的最優(yōu)利用在分析不可再生資源價格的決定時，環(huán)境與不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)）在11.1、11.2兩式中，r代表貼現(xiàn)率，t代表時期，0代表基期，P則被用來代表開采出來的資源的價格。但經(jīng)濟學(xué)家很快就發(fā)現(xiàn)，只有在假定開采成本（或生產(chǎn)成本）等于0的前提下，開采出來的資源產(chǎn)品的價格才等于埋在地下的資源的價格。否則，則有

11/12/20223不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)）在11.1、11.2兩式中，不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)二）P=C+λ(11.3)

其中，P代表開采出來的資源產(chǎn)品的價格，C代表邊際生產(chǎn)成本，λ則代表（埋在地下的）資源的價格。不同的術(shù)語被用來稱呼λ，包括：礦區(qū)使用費(royalty)、租金或資源租金(rent/rental)、資源耗用費(depletionpremium)、邊際使用者成本或使用者成本(usercost)。

11/12/20224不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)二）P=C+λ不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)三）在承認P和λ的差別，同時假定C不變，11.1式和11.2式就演變?yōu)椋害恕?λ=r(11.4)λt

=λ0ert(11.5)11/12/20225不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)三）在承認P和λ的差別，同時假定C不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)四）如果11.4式和11.5式的左邊大于右邊，即λ的增長率高于貼現(xiàn)率，那就意味著推遲不可再生資源的開采更有利可圖，因而應(yīng)該更多地保存不可再生資源；反之，如果這兩個方程式的左邊小于右邊，即λ的增長率低于貼現(xiàn)率，那就意味著提早開采不可再生資源，將所得收入用于投資更有利可圖，因而應(yīng)該更多地耗用不可再生資源。11/12/20226不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)四）如果11.4式和11.5式的左11/12/2022711/11/20227不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)五）假定按照現(xiàn)有的開采量累積下去，到T時期所有的資源存量都將被開采光，則有(11.6)在資源邊際使用者成本的時間途徑既定的前提下，不可再生資源的耗竭速度取決于其基期邊際使用者成本λ0或者是由基期邊際使用者成本決定的（假定開采成本C為常數(shù)）基期資源產(chǎn)品價格P0。

11/12/20228不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)五）假定按照現(xiàn)有的開采量累積下去，不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)六）假定基期資源產(chǎn)品價格定為P1(P1>P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲線將平行上移；第Ⅱ象限上各個時期的資源需求量Q1(t)都會減少；反映在第Ⅲ象限上，則是表示資源開采量與時間關(guān)系的曲線右移。曲線右移可能產(chǎn)生兩種后果。假如曲線移動幅度比較小，則有(11.7)(T≤T11)11/12/20229不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)六）假定基期資源產(chǎn)品價格定為P1(不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)七）假如曲線上移的幅度比較大，則有

(11.8)換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的上升，將使資源耗竭的時期推遲；如果價格上升超過一定幅度，以致在該資源存量尚未用完時，對該資源的市場需求量就下降為0，則資源耗竭成為不可能。

11/12/202210不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)七）假如曲線上移的幅度比較大，則有不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)八）反之，假定基期資源產(chǎn)品價格定為P2(P2<P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲線將平行下移；第Ⅱ象限上各個時期的資源需求量Q2(t)都會增加；反映在第Ⅲ象限上，則是表示資源開采量與時間關(guān)系的曲線左移。曲線左移的結(jié)果是(11.9)(0≤T2≤T)11/12/202211不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)八）反之，假定基期資源產(chǎn)品價格定為不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)九）換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的下降，將使資源耗竭的時期提早；極而論之，如果價格下降超過一定幅度，以致對該資源的市場需求量等于或大于該資源的存量，那么，該資源將立即消耗迤盡。

11/12/202212不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)九）換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的下最優(yōu)利用模型模型的設(shè)定

模型的建立

對模型的說明

最優(yōu)控制條件

11/12/202213最優(yōu)利用模型模型的設(shè)定11/11/202213模型的設(shè)定第一，廠商的成本是不可再生資源產(chǎn)量和存量的函數(shù)。用公式來表示，就是c=c(yt,Xt)(11.10)

式中，c是開采總成本，yt是某一不可再生資源t期的產(chǎn)量，Xt是該資源t期的存量。11/12/202214模型的設(shè)定第一，廠商的成本是不可再生資源產(chǎn)量和存量的函數(shù)。用模型的設(shè)定（續(xù)）如果開采總成本與資源存量無關(guān)，則有。但是，在一般情況下，有，即資源存量越少，單位資源的開采成本越高。這樣假定的理由是，在不可再生資源礦藏已經(jīng)被探明的條件下，人們總是首先開采單位成本比較低的富礦和易于開采的礦藏。

11/12/202215模型的設(shè)定（續(xù)）如果開采總成本與資源存量無關(guān)，則有模型的設(shè)定（續(xù)二）單位開采成本隨著不可再生資源存量的遞減而遞增的假定，具有十分重大的意義。它意味著不可再生資源不會完全耗竭。耗竭的只是單位開采成本比較低的那一部分資源存量。如果某一不可再生資源的單位開采成本高到令人無法承受的地步，而人類又沒有發(fā)現(xiàn)相對便宜的替代品，則經(jīng)濟增長的前景是暗淡的。11/12/202216模型的設(shè)定（續(xù)二）單位開采成本隨著不可再生資源存量的遞減而遞模型的設(shè)定（續(xù)三）第二，假定存在著n

個條件完全相同的采掘業(yè)廠商。這些廠商分別在不同的礦床進行開采，這些廠商自主經(jīng)營、互不依賴、互相競爭，并尋求各自利潤凈現(xiàn)值的最大化。11/12/202217模型的設(shè)定（續(xù)三）第二，假定存在著n個條件完全相同的采掘業(yè)模型的設(shè)定（續(xù)四）第三，假定上述廠商都處于一個計劃者的控制之下。通過了解每個廠商的資源最優(yōu)利用方案，計劃者可以知道每一時期各個廠商的產(chǎn)量。如果廠商相互競爭的結(jié)果，是某一資源耗竭的時間途徑與計劃者的安排相同，則表明這些廠商在競爭中形成的均衡是有效率的。11/12/202218模型的設(shè)定（續(xù)四）第三，假定上述廠商都處于一個計劃者的控制之模型的設(shè)定（續(xù)五）第四，t期不可再生資源的開采量為nyt，t期的需求價格pt=p(nyt)，用支付意愿衡量，t期的總效益函數(shù)為，凈效益函數(shù)（總效益減去總成本的差額）為。式中，ζ是積分變量。

11/12/202219模型的設(shè)定（續(xù)五）第四，t期不可再生資源的開采量為nyt，t模型的設(shè)定（續(xù)六）第五，假定每個廠商在0期和T期開始時可獲得的不可再生資源存量，分別為X0=和XT=（、為已知的既定數(shù)量）。11/12/202220模型的設(shè)定（續(xù)六）第五，假定每個廠商在0期和T期開始時可獲得模型的設(shè)定（續(xù)七）每個廠商每一時期的開采量，相當于這一時期開始時和結(jié)束時不可再生資源存量的差額。即y0=-X1，y1=X1-X2，...，yt=Xt-Xt+1，...，yT-1=XT-1-。所有時期的累積開采量為11/12/202221模型的設(shè)定（續(xù)七）每個廠商每一時期的開采量，相當于這一時期開模型的建立由于在某一時期開采和利用的那部分不可再生資源，不可能在另一時期再被開采和利用，因而在作出某一時期的開采決策時，計劃者必須考慮它對其它時期開采不可再生資源的效益和成本的影響。因此，計劃者所面臨的問題，是使得所有有關(guān)時期凈效益的現(xiàn)值之和最大化。用公式來表示，就是11/12/202222模型的建立由于在某一時期開采和利用的那部分不可再生資源，不可模型的建立（續(xù)）(11.11)對于每個廠商來說，其凈效益現(xiàn)值最大化的約束條件為

yT=Xt-Xt+1(11.12)11/12/202223模型的建立（續(xù)）11/11/202223模型的建立（續(xù)二）根據(jù)11.11和11.12式，可以給出拉格朗日函數(shù)

(11.13)式中，μt、α和β都是拉格朗日因子。11/12/202224模型的建立（續(xù)二）根據(jù)11.11和11.12式，可以給出拉格模型的建立（續(xù)三）不可再生資源最優(yōu)利用的必要條件是

(t=0,1,...,T-1)(11.14)(t=1,2,...,T-1)(11.15)11/12/202225模型的建立（續(xù)三）不可再生資源最優(yōu)利用的必要條件是11/1模型的建立（續(xù)四）11.14式表明，沿著最優(yōu)利用的時間途徑，不可再生資源的價格p(nyt)應(yīng)該相當于其邊際生產(chǎn)成本與邊際使用者成本μt(1+r)t之和。

在11.14、11.15式中，μt表示的是邊際使用者成本的貼現(xiàn)值。令λt為未折現(xiàn)的t期邊際使用者成本，則有μt=λt(1+r)-t。用λt取代μt，11.15式就變成11/12/202226模型的建立（續(xù)四）11.14式表明，沿著最優(yōu)利用的時間途徑，模型的建立（續(xù)五）(11.16)整理后得

(11.17)11/12/202227模型的建立（續(xù)五）11/11/202227模型的建立（續(xù)六）如果我們讓時間從離散的變成連續(xù)的，同時讓時期變得非常短，11.14式基本上不受影響，11.17式則會變成

(11.18)11/12/202228模型的建立（續(xù)六）如果我們讓時間從離散的變成連續(xù)的，同時讓時對模型的說明第一，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本不受資源存量變化的影響，即，則邊際使用者成本的變化率就等于利息率，11.18式（用11.17式表示更清楚）就是霍特林法則。

11/12/202229對模型的說明第一，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本不受資源對模型的說明（續(xù)）再假定不可再生資源的邊際生產(chǎn)成本小得可以忽略不計（例如，當時波斯灣石油的價格為20-30美元一桶，而其開采成本僅10-20美分一桶），則根據(jù)11.14式，不可再生資源的價格就相當于其邊際使用者成本。根據(jù)11.18式，不可再生資源價格的變化率就相當于利息率。

11/12/202230對模型的說明（續(xù)）再假定不可再生資源的邊際生產(chǎn)成本小得可以忽對模型的說明（續(xù)二）第二，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本受到資源存量變化的影響，且資源存量越少，單位資源開采成本越高。在這種情況下，由于有，因而如11.18式所示，邊際使用者成本的變化率將小于利息率。

11/12/202231對模型的說明（續(xù)二）第二，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本對模型的說明（續(xù)三）11.18式中，dλt/dt可以看作是投資于不可再生資源的資本得益，而則可以看作持有一單位不可再生資源存量所得到的額外紅利。11.18式可以重寫成。由于，因此。換句話說，就是資本得益加額外紅利等于投資于不可再生資源的利息成本。

11/12/202232對模型的說明（續(xù)三）11.18式中，dλt/dt可以看作是投對模型的說明（續(xù)四）第三，假定同一品位的礦藏開采成本相同，而不同品位的礦藏開采成本不同，品位越低，開采成本越高。則在開采某一品位富礦時，邊際使用者成本按照利率上升；而當富礦開完，貧礦作為富礦的后障投入開采時，礦藏的邊際使用者成本停止上升（甚至下降）。11/12/202233對模型的說明（續(xù)四）第三，假定同一品位的礦藏開采成本相同，而對模型的說明（續(xù)五）第四，重寫11.14式，用λt取代μt并對時間求導(dǎo)，有

(11.19)這表明，價格的變動取決于邊際開采成本和邊際使用者成本的變動。

11/12/202234對模型的說明（續(xù)五）第四，重寫11.14式，用λt取代μt并最優(yōu)控制條件在任何時候，不可再生資源消耗帶來的凈收益由兩部分構(gòu)成：當前的收益流量，以及由于低開采成本的資源存量減少而導(dǎo)致的未來收益流量變化。后者用ωtyt來表示。其中，ωt=nyt，表示每一廠商動用一單位資源存量的未折現(xiàn)價值。

11/12/202235最優(yōu)控制條件在任何時候，不可再生資源消耗帶來的凈收益由兩部分最優(yōu)控制條件（續(xù)）用公式來表示，就是

(11.20)

在11.20式中，H對yt求導(dǎo)，得。因此，最優(yōu)消耗的一階條件，即11.14式，可以簡寫成

(11.21)11/12/202236最優(yōu)控制條件（續(xù)）用公式來表示，就是11/11/20223最優(yōu)控制條件（續(xù)二）11.21式衡量的是開采的凈效應(yīng)，即用現(xiàn)在的收益減去未來的損失。凈效應(yīng)最大化意味著開采不可再生資源的邊際收益等于單位資源存量的損失。根據(jù)11.20式，，因而公式11.18可寫成11/12/202237最優(yōu)控制條件（續(xù)二）11.21式衡量的是開采的凈效應(yīng)，即用現(xiàn)最優(yōu)控制條件（續(xù)三）(11.22)或?qū)懗捎钟捎赿Xt/dt=-yt，因而有(11.23)11/12/202238最優(yōu)控制條件（續(xù)三）11/11/202238最優(yōu)控制條件（續(xù)四）11.21、11.22和11.23式是用漢密爾頓方程式表示的最優(yōu)控制條件。用控制論的術(shù)語來說，yt是控制變量，Xt是狀態(tài)變量，未折現(xiàn)的ωt是類似于拉格朗日乘數(shù)的共態(tài)或輔助變量。

11/12/202239最優(yōu)控制條件（續(xù)四）11.21、11.22和11.23式是用影響最優(yōu)利用的若干因素替代與邊際使用者成本的決定勘探與邊際使用者成本不確定性與資源最優(yōu)利用

11/12/202240影響最優(yōu)利用的若干因素替代與邊際使用者成本的決定11/11/替代影響自然資源最優(yōu)利用的替代有多種類型。其中包括：自然資源對自然資源的替代；其它生產(chǎn)要素對自然資源的替代；節(jié)約資源的低質(zhì)產(chǎn)品對浪費資源的高質(zhì)產(chǎn)品的替代；不同產(chǎn)品之間的替代；以及技術(shù)對自然資源的替代。導(dǎo)致原料替代的最重要的因素有三個：相對價格，技術(shù)變革和政府的法規(guī)。11/12/202241替代影響自然資源最優(yōu)利用的替代有多種類型。其中包括：自然資源替代（續(xù)）替代性技術(shù)被稱為障礙性技術(shù)(backstoptechnology)

障礙性技術(shù)對邊際使用者成本的影響是Rt

=(PB,T-C)/(1+r)T-t(11.24)T是障礙性技術(shù)開始發(fā)揮作用的時期，此時資源產(chǎn)品價格PT已上升到與障礙性技術(shù)的價格PB,T相等的水平。11/12/202242替代（續(xù)）替代性技術(shù)被稱為障礙性技術(shù)(backstopte替代（續(xù)二）由于PT=C+RT，而生產(chǎn)成本C又是一個常數(shù)，所以，T期邊際邊際使用者成本RT取決于PB,T的大小，而T期之前的某一時期t的邊際邊際使用者成本Rt則相當于Rt/(1+r)T-t。這就是說，所有時期的邊際使用者成本及不可再生資源的開采量都會受到替代性技術(shù)的影響，并將隨著PB,T的升降而升降。

11/12/202243替代（續(xù)二）由于PT=C+RT，而生產(chǎn)成本C又是一個常數(shù)，所勘探在自然資源經(jīng)濟學(xué)中，勘探是指增加不可再生資源存量從而降低其開采成本的活動。它不僅包括發(fā)現(xiàn)新的礦藏儲量，而且還包括研究和開發(fā)使得開采貧礦有利可圖的新工藝，因為后者同樣能夠增加不可再生資源的存量。11/12/202244勘探在自然資源經(jīng)濟學(xué)中，勘探是指增加不可再生資源存量從而降勘探（續(xù)）勘探對邊際使用者成本的影響是：隨著新的不可再生資源存量的發(fā)現(xiàn)，人們將預(yù)期到新資源的開發(fā)會導(dǎo)致未來不可再生資源供給的增加，因而不可再生資源的未來預(yù)期邊際使用者成本及其產(chǎn)品的未來預(yù)期價格將下降；而這又進而導(dǎo)致不可再生資源的供給廠商擴大現(xiàn)在的生產(chǎn)規(guī)模，以避免未來價格下降可能帶來的損失；11/12/202245勘探（續(xù)）勘探對邊際使用者成本的影響是：隨著新的不可再生資勘探（續(xù)二）但現(xiàn)在生產(chǎn)規(guī)模的擴大又將破壞現(xiàn)有的均衡，使供給曲線右移，從而導(dǎo)致不可再生資源現(xiàn)期邊際使用者成本及其產(chǎn)品現(xiàn)期價格的下降。反映在圖上，就是不可再生資源的價格呈現(xiàn)出鋸齒形波動。在兩次因勘探帶來的不可再生資源的發(fā)現(xiàn)之間，資源邊際使用者成本仍按照霍特林法則，隨著時間的推移而穩(wěn)步上升；而每一次新資源的發(fā)現(xiàn)都將或多或少地引起不可再生資源邊際使用者成本的下降。11/12/202246勘探（續(xù)二）但現(xiàn)在生產(chǎn)規(guī)模的擴大又將破壞現(xiàn)有的均衡，使供給11/12/20224711/11/202247勘探（續(xù)三）勘探同樣是需要成本的。令φ=φ(zt)(11.25)11.25式中，zt代表新發(fā)現(xiàn)的礦藏量。

廠商的目標是使利潤的現(xiàn)值最大化。在既考慮生產(chǎn)成本又考慮勘探成本的條件下，這一目標可以用11.26式來表示

11/12/202248勘探（續(xù)三）勘探同樣是需要成本的。令11/11/202248勘探（續(xù)四）(11.26)上述目標的約束條件是

dXt/dt=zt-yt

（11.27）11.26、11.27式表明，勘探發(fā)現(xiàn)一方面會增加資源存量，從而降低開采成本c，另一方面又需要一定的勘探成本φ，因而廠商必須對這兩種成本的升降幅度加以權(quán)衡。

11/12/202249勘探（續(xù)四）勘探（續(xù)五）勘探成本與邊際使用者成本之間也有關(guān)系，即有-dφ/dzt

+ρt=0(11.28)

11.28式中，ρt是t期的邊際邊際使用者成本。11.28式的含義是：在競爭性均衡中，資源的邊際邊際使用者成本應(yīng)該與用來取代它的新發(fā)現(xiàn)礦藏的邊際勘探成本相等。

11/12/202250勘探（續(xù)五）勘探成本與邊際使用者成本之間也有關(guān)系，即有11/勘探（續(xù)六）11.28式有著極其重要的實際應(yīng)用價值。眾所周知，邊際邊際使用者成本是衡量自然資源稀缺性的主要指標，但它往往無法直接觀察和計算。有了11.28式，經(jīng)濟學(xué)家就可以直接運用競爭性均衡條件下的邊際勘探成本來衡量邊際邊際使用者成本的大小。11/12/202251勘探（續(xù)六）11.28式有著極其重要的實際應(yīng)用價值。眾所周不確定性不可再生資源利用中的不確定性可以分成三種情況：

資源產(chǎn)品需求的不確定性。

資源存量的不確定性。

資源價值的不確定性。

上述三種情況表明，不確定性對資源最優(yōu)利用的影響是十分復(fù)雜的，它可能加快也可能減慢不可再生資源耗竭的速度。

11/12/202252不確定性不可再生資源利用中的不確定性可以分成三種情況：11不確定性（續(xù)）預(yù)期彈性是指預(yù)期的未來價格變動的百分比除以其現(xiàn)價變動的百分比，它反映現(xiàn)價變動對其預(yù)期價格變動的影響。預(yù)期彈性等于一，意味著兩種價格的變動幅度相等；預(yù)期彈性大于一，則意味著預(yù)期價格的變動幅度大于其現(xiàn)價的變動幅度。

11/12/202253不確定性（續(xù)）預(yù)期彈性是指預(yù)期的未來價格變動的百分比除以其現(xiàn)不可再生資源經(jīng)濟學(xué)不可再生資源的最優(yōu)利用最優(yōu)利用模型影響最優(yōu)利用的若干因素

11/12/202254不可再生資源經(jīng)濟學(xué)不可再生資源的最優(yōu)利用11/11/2022不可再生資源的最優(yōu)利用在分析不可再生資源價格的決定時，環(huán)境與資源經(jīng)濟學(xué)的基本原則還是以前提到過的霍特林法則。

霍特林法則可以用多種方程式來表現(xiàn)。起初，經(jīng)濟學(xué)家采用的方程式是:P’/P=r(11.1)或者是Pt=P0ert(11.2)

11/12/202255不可再生資源的最優(yōu)利用在分析不可再生資源價格的決定時，環(huán)境與不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)）在11.1、11.2兩式中，r代表貼現(xiàn)率，t代表時期，0代表基期，P則被用來代表開采出來的資源的價格。但經(jīng)濟學(xué)家很快就發(fā)現(xiàn)，只有在假定開采成本（或生產(chǎn)成本）等于0的前提下，開采出來的資源產(chǎn)品的價格才等于埋在地下的資源的價格。否則，則有

11/12/202256不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)）在11.1、11.2兩式中，不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)二）P=C+λ(11.3)

其中，P代表開采出來的資源產(chǎn)品的價格，C代表邊際生產(chǎn)成本，λ則代表（埋在地下的）資源的價格。不同的術(shù)語被用來稱呼λ，包括：礦區(qū)使用費(royalty)、租金或資源租金(rent/rental)、資源耗用費(depletionpremium)、邊際使用者成本或使用者成本(usercost)。

11/12/202257不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)二）P=C+λ不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)三）在承認P和λ的差別，同時假定C不變，11.1式和11.2式就演變?yōu)椋害恕?λ=r(11.4)λt

=λ0ert(11.5)11/12/202258不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)三）在承認P和λ的差別，同時假定C不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)四）如果11.4式和11.5式的左邊大于右邊，即λ的增長率高于貼現(xiàn)率，那就意味著推遲不可再生資源的開采更有利可圖，因而應(yīng)該更多地保存不可再生資源；反之，如果這兩個方程式的左邊小于右邊，即λ的增長率低于貼現(xiàn)率，那就意味著提早開采不可再生資源，將所得收入用于投資更有利可圖，因而應(yīng)該更多地耗用不可再生資源。11/12/202259不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)四）如果11.4式和11.5式的左11/12/20226011/11/20227不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)五）假定按照現(xiàn)有的開采量累積下去，到T時期所有的資源存量都將被開采光，則有(11.6)在資源邊際使用者成本的時間途徑既定的前提下，不可再生資源的耗竭速度取決于其基期邊際使用者成本λ0或者是由基期邊際使用者成本決定的（假定開采成本C為常數(shù)）基期資源產(chǎn)品價格P0。

11/12/202261不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)五）假定按照現(xiàn)有的開采量累積下去，不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)六）假定基期資源產(chǎn)品價格定為P1(P1>P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲線將平行上移；第Ⅱ象限上各個時期的資源需求量Q1(t)都會減少；反映在第Ⅲ象限上，則是表示資源開采量與時間關(guān)系的曲線右移。曲線右移可能產(chǎn)生兩種后果。假如曲線移動幅度比較小，則有(11.7)(T≤T11)11/12/202262不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)六）假定基期資源產(chǎn)品價格定為P1(不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)七）假如曲線上移的幅度比較大，則有

(11.8)換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的上升，將使資源耗竭的時期推遲；如果價格上升超過一定幅度，以致在該資源存量尚未用完時，對該資源的市場需求量就下降為0，則資源耗竭成為不可能。

11/12/202263不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)七）假如曲線上移的幅度比較大，則有不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)八）反之，假定基期資源產(chǎn)品價格定為P2(P2<P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲線將平行下移；第Ⅱ象限上各個時期的資源需求量Q2(t)都會增加；反映在第Ⅲ象限上，則是表示資源開采量與時間關(guān)系的曲線左移。曲線左移的結(jié)果是(11.9)(0≤T2≤T)11/12/202264不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)八）反之，假定基期資源產(chǎn)品價格定為不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)九）換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的下降，將使資源耗竭的時期提早；極而論之，如果價格下降超過一定幅度，以致對該資源的市場需求量等于或大于該資源的存量，那么，該資源將立即消耗迤盡。

11/12/202265不可再生資源的最優(yōu)利用（續(xù)九）換句話說，基期資源產(chǎn)品價格的下最優(yōu)利用模型模型的設(shè)定

模型的建立

對模型的說明

最優(yōu)控制條件

11/12/202266最優(yōu)利用模型模型的設(shè)定11/11/202213模型的設(shè)定第一，廠商的成本是不可再生資源產(chǎn)量和存量的函數(shù)。用公式來表示，就是c=c(yt,Xt)(11.10)

式中，c是開采總成本，yt是某一不可再生資源t期的產(chǎn)量，Xt是該資源t期的存量。11/12/202267模型的設(shè)定第一，廠商的成本是不可再生資源產(chǎn)量和存量的函數(shù)。用模型的設(shè)定（續(xù)）如果開采總成本與資源存量無關(guān)，則有。但是，在一般情況下，有，即資源存量越少，單位資源的開采成本越高。這樣假定的理由是，在不可再生資源礦藏已經(jīng)被探明的條件下，人們總是首先開采單位成本比較低的富礦和易于開采的礦藏。

11/12/202268模型的設(shè)定（續(xù)）如果開采總成本與資源存量無關(guān)，則有模型的設(shè)定（續(xù)二）單位開采成本隨著不可再生資源存量的遞減而遞增的假定，具有十分重大的意義。它意味著不可再生資源不會完全耗竭。耗竭的只是單位開采成本比較低的那一部分資源存量。如果某一不可再生資源的單位開采成本高到令人無法承受的地步，而人類又沒有發(fā)現(xiàn)相對便宜的替代品，則經(jīng)濟增長的前景是暗淡的。11/12/202269模型的設(shè)定（續(xù)二）單位開采成本隨著不可再生資源存量的遞減而遞模型的設(shè)定（續(xù)三）第二，假定存在著n

個條件完全相同的采掘業(yè)廠商。這些廠商分別在不同的礦床進行開采，這些廠商自主經(jīng)營、互不依賴、互相競爭，并尋求各自利潤凈現(xiàn)值的最大化。11/12/202270模型的設(shè)定（續(xù)三）第二，假定存在著n個條件完全相同的采掘業(yè)模型的設(shè)定（續(xù)四）第三，假定上述廠商都處于一個計劃者的控制之下。通過了解每個廠商的資源最優(yōu)利用方案，計劃者可以知道每一時期各個廠商的產(chǎn)量。如果廠商相互競爭的結(jié)果，是某一資源耗竭的時間途徑與計劃者的安排相同，則表明這些廠商在競爭中形成的均衡是有效率的。11/12/202271模型的設(shè)定（續(xù)四）第三，假定上述廠商都處于一個計劃者的控制之模型的設(shè)定（續(xù)五）第四，t期不可再生資源的開采量為nyt，t期的需求價格pt=p(nyt)，用支付意愿衡量，t期的總效益函數(shù)為，凈效益函數(shù)（總效益減去總成本的差額）為。式中，ζ是積分變量。

11/12/202272模型的設(shè)定（續(xù)五）第四，t期不可再生資源的開采量為nyt，t模型的設(shè)定（續(xù)六）第五，假定每個廠商在0期和T期開始時可獲得的不可再生資源存量，分別為X0=和XT=（、為已知的既定數(shù)量）。11/12/202273模型的設(shè)定（續(xù)六）第五，假定每個廠商在0期和T期開始時可獲得模型的設(shè)定（續(xù)七）每個廠商每一時期的開采量，相當于這一時期開始時和結(jié)束時不可再生資源存量的差額。即y0=-X1，y1=X1-X2，...，yt=Xt-Xt+1，...，yT-1=XT-1-。所有時期的累積開采量為11/12/202274模型的設(shè)定（續(xù)七）每個廠商每一時期的開采量，相當于這一時期開模型的建立由于在某一時期開采和利用的那部分不可再生資源，不可能在另一時期再被開采和利用，因而在作出某一時期的開采決策時，計劃者必須考慮它對其它時期開采不可再生資源的效益和成本的影響。因此，計劃者所面臨的問題，是使得所有有關(guān)時期凈效益的現(xiàn)值之和最大化。用公式來表示，就是11/12/202275模型的建立由于在某一時期開采和利用的那部分不可再生資源，不可模型的建立（續(xù)）(11.11)對于每個廠商來說，其凈效益現(xiàn)值最大化的約束條件為

yT=Xt-Xt+1(11.12)11/12/202276模型的建立（續(xù)）11/11/202223模型的建立（續(xù)二）根據(jù)11.11和11.12式，可以給出拉格朗日函數(shù)

(11.13)式中，μt、α和β都是拉格朗日因子。11/12/202277模型的建立（續(xù)二）根據(jù)11.11和11.12式，可以給出拉格模型的建立（續(xù)三）不可再生資源最優(yōu)利用的必要條件是

(t=0,1,...,T-1)(11.14)(t=1,2,...,T-1)(11.15)11/12/202278模型的建立（續(xù)三）不可再生資源最優(yōu)利用的必要條件是11/1模型的建立（續(xù)四）11.14式表明，沿著最優(yōu)利用的時間途徑，不可再生資源的價格p(nyt)應(yīng)該相當于其邊際生產(chǎn)成本與邊際使用者成本μt(1+r)t之和。

在11.14、11.15式中，μt表示的是邊際使用者成本的貼現(xiàn)值。令λt為未折現(xiàn)的t期邊際使用者成本，則有μt=λt(1+r)-t。用λt取代μt，11.15式就變成11/12/202279模型的建立（續(xù)四）11.14式表明，沿著最優(yōu)利用的時間途徑，模型的建立（續(xù)五）(11.16)整理后得

(11.17)11/12/202280模型的建立（續(xù)五）11/11/202227模型的建立（續(xù)六）如果我們讓時間從離散的變成連續(xù)的，同時讓時期變得非常短，11.14式基本上不受影響，11.17式則會變成

(11.18)11/12/202281模型的建立（續(xù)六）如果我們讓時間從離散的變成連續(xù)的，同時讓時對模型的說明第一，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本不受資源存量變化的影響，即，則邊際使用者成本的變化率就等于利息率，11.18式（用11.17式表示更清楚）就是霍特林法則。

11/12/202282對模型的說明第一，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本不受資源對模型的說明（續(xù)）再假定不可再生資源的邊際生產(chǎn)成本小得可以忽略不計（例如，當時波斯灣石油的價格為20-30美元一桶，而其開采成本僅10-20美分一桶），則根據(jù)11.14式，不可再生資源的價格就相當于其邊際使用者成本。根據(jù)11.18式，不可再生資源價格的變化率就相當于利息率。

11/12/202283對模型的說明（續(xù)）再假定不可再生資源的邊際生產(chǎn)成本小得可以忽對模型的說明（續(xù)二）第二，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本受到資源存量變化的影響，且資源存量越少，單位資源開采成本越高。在這種情況下，由于有，因而如11.18式所示，邊際使用者成本的變化率將小于利息率。

11/12/202284對模型的說明（續(xù)二）第二，假定不可再生資源的生產(chǎn)（開采）成本對模型的說明（續(xù)三）11.18式中，dλt/dt可以看作是投資于不可再生資源的資本得益，而則可以看作持有一單位不可再生資源存量所得到的額外紅利。11.18式可以重寫成。由于，因此。換句話說，就是資本得益加額外紅利等于投資于不可再生資源的利息成本。

11/12/202285對模型的說明（續(xù)三）11.18式中，dλt/dt可以看作是投對模型的說明（續(xù)四）第三，假定同一品位的礦藏開采成本相同，而不同品位的礦藏開采成本不同，品位越低，開采成本越高。則在開采某一品位富礦時，邊際使用者成本按照利率上升；而當富礦開完，貧礦作為富礦的后障投入開采時，礦藏的邊際使用者成本停止上升（甚至下降）。11/12/202286對模型的說明（續(xù)四）第三，假定同一品位的礦藏開采成本相同，而對模型的說明（續(xù)五）第四，重寫11.14式，用λt取代μt并對時間求導(dǎo)，有

(11.19)這表明，價格的變動取決于邊際開采成本和邊際使用者成本的變動。

11/12/202287對模型的說明（續(xù)五）第四，重寫11.14式，用λt取代μt并最優(yōu)控制條件在任何時候，不可再生資源消耗帶來的凈收益由兩部分構(gòu)成：當前的收益流量，以及由于低開采成本的資源存量減少而導(dǎo)致的未來收益流量變化。后者用ωtyt來表示。其中，ωt=nyt，表示每一廠商動用一單位資源存量的未折現(xiàn)價值。

11/12/202288最優(yōu)控制條件在任何時候，不可再生資源消耗帶來的凈收益由兩部分最優(yōu)控制條件（續(xù)）用公式來表示，就是

(11.20)

在11.20式中，H對yt求導(dǎo)，得。因此，最優(yōu)消耗的一階條件，即11.14式，可以簡寫成

(11.21)11/12/202289最優(yōu)控制條件（續(xù)）用公式來表示，就是11/11/20223最優(yōu)控制條件（續(xù)二）11.21式衡量的是開采的凈效應(yīng)，即用現(xiàn)在的收益減去未來的損失。凈效應(yīng)最大化意味著開采不可再生資源的邊際收益等于單位資源存量的損失。根據(jù)11.20式，，因而公式11.18可寫成11/12/202290最優(yōu)控制條件（續(xù)二）11.21式衡量的是開采的凈效應(yīng)，即用現(xiàn)最優(yōu)控制條件（續(xù)三）(11.22)或?qū)懗捎钟捎赿Xt/dt=-yt，因而有(11.23)11/12/202291最優(yōu)控制條件（續(xù)三）11/11/202238最優(yōu)控制條件（續(xù)四）11.21、11.22和11.23式是用漢密爾頓方程式表示的最優(yōu)控制條件。用控制論的術(shù)語來說，yt是控制變量，Xt是狀態(tài)變量，未折現(xiàn)的ωt是類似于拉格朗日乘數(shù)的共態(tài)或輔助變量。

11/12/202292最優(yōu)控制條件（續(xù)四）11.21、11.22和11.23式是用影響最優(yōu)利用的若干因素替代與邊際使用者成本的決定勘探與邊際使用者成本不確定性與資源最優(yōu)利用

11/12/202293影響最優(yōu)利用的若干因素替代與邊際使用者成本的決定11/11/替代影響自然資源最優(yōu)利用的替代有多種類型。其中包括：自然資源對自然資源的替代；其它生產(chǎn)要素對自然資源的替代；節(jié)約資源的低質(zhì)產(chǎn)品對浪費資源的高質(zhì)產(chǎn)品的替代；不同產(chǎn)品之間的替代；以及技術(shù)對自然資源的替代。導(dǎo)致原料替代的最重要的因素有三個：相對價格，技術(shù)變革和政府的法規(guī)。11/12/202294替代影響自然資源最優(yōu)利用的替代有多種類型。其中包括：自然資源替代（續(xù)）替代性技術(shù)被稱為障礙性技術(shù)(backstoptechnology)

障礙性技術(shù)對邊際使用者成本的影響是Rt

=(PB,T-C)/(1+r)T-t(11.24)T是障礙性技術(shù)開始發(fā)揮作用的時期，此時資源產(chǎn)品價格PT已上升到與障礙性技術(shù)的價格PB,T相等的水平。11/12/202295替代（續(xù)）替代性技術(shù)被稱為障礙性技術(shù)(backstopte替代（續(xù)二）由于PT