對CAPM模型的詳細(xì)總結(jié)

關(guān)于CAPM模型的總結(jié)資產(chǎn)定價理論是關(guān)于金融資產(chǎn)的價格決定理論，這些金融資產(chǎn)包括股票、債券、期貨、期權(quán)等有價證券。價格決定理論在金融理論中占有重要的地位，定價理論也比較多，以股票定價為例，主要有：1.內(nèi)在價值決定理論。這一理論認(rèn)為，股票有其內(nèi)在價值，也就是具有投資價值。分析股票的內(nèi)在價值，可以采用靜態(tài)分析法，從某一時點(diǎn)上分析股票的內(nèi)在價值。一般可以用市盈率和凈資產(chǎn)兩個指標(biāo)來衡量；也可以采取動態(tài)分析法。常用的是貼現(xiàn)模型。貼現(xiàn)模型認(rèn)為股票的投資價值或者價格是股票在未來所產(chǎn)生的所有收益的現(xiàn)值的總和。2.證券組合理論?，F(xiàn)代證券組合理論最先由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)者M(jìn)arkowitz教授創(chuàng)立，他于1954年在美國的《金融》雜志上發(fā)表了一篇文章《投資組合選擇》，提出了分散投資的思想，并用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了論證，從而決定了現(xiàn)代投資理論的基礎(chǔ)。3.資本資產(chǎn)定價理論〔CapitalAssetsPricingModel，CAPM模型〕。證券組合理論雖然從理論上解決了如何構(gòu)造投資組合的問題，但是這一過程相當(dāng)繁雜，需要大量的計算，和一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件。這樣就使得這一理論在實(shí)際操作上具有一定的困難。投資者需要一種更為簡單的方式來進(jìn)行處理投資事宜。于是資本資產(chǎn)定價模型就產(chǎn)生了。1964年是由美國學(xué)者Sharpe提出的。這個模型仍然以證券組合理論為基礎(chǔ)，在分析風(fēng)險和收益的關(guān)系時，提出資產(chǎn)定價的方法和理論。目前已經(jīng)為投資者廣泛應(yīng)用。4.套利定價模型〔ArbitragePricingTheoryAPT〕。1976年由Ross提出，與CAPM模型類似，APT也討論了證券的期望收益與風(fēng)險之間的關(guān)系，但所用的假設(shè)與方法與CAPM不同。CAPM可看作是APT在某些更嚴(yán)格假設(shè)下的特例。APT在形式上是把CAPM的單因子模型變?yōu)橐粋€多因子模型。本文主要就CAPM理論進(jìn)行一些探討，從幾個方面對這個重要的資產(chǎn)定價模型進(jìn)行剖析。CAPM模型介紹Sharpe在一般經(jīng)濟(jì)均衡的框架下，假定所有投資者都以自變量為收益和風(fēng)險的效用函數(shù)來決策，導(dǎo)出全市場的證券組合的收益率是有效的以及資本資產(chǎn)定價模型〔CAPM〕。CAPM的基本假定：投資者根據(jù)與其收益和收益的方差來選擇投資組合；投資者為風(fēng)險回避者；投資期為單期；證券市場存在著均衡狀態(tài)；投資是無限可分的，投資規(guī)模不管多少都是可行的；存在著無風(fēng)險資產(chǎn)，投資者可以按無風(fēng)險利率借入或借出無風(fēng)險資產(chǎn)；沒有交易成本和交易稅；所有投資者對證券收益和風(fēng)險的預(yù)期都相同；市場組合包括全部證券種類。在上述假設(shè)條件下，可以推導(dǎo)出CAPM模型的具體形式：E(r)—r=p(E(r)—r)，。=Cov(r,r)/Var(r)=b/b2。ifimfiimmimm其中E(r)表示證券i的期望收益，E(rm)為市場組合的期望收益，‘為無風(fēng)險資產(chǎn)的收益，b=Cov(r,r)為證券i收益率和市場組合收益率的協(xié)方差，b2=Var(r)為市場imimmm組合收益率的方差。CAPM模型認(rèn)為，在均衡條件下，投資者所期望的收益和他所面臨的風(fēng)險的關(guān)系可以通過資本市場線〔CapitalMarketLine，CML〕、證券市場線〔SecurityMarketLineSML〕和證券特征線〔characteristicline〕等公式來說明。1、資本市場線〔CapitalMarketLine，CML〕:E(r)=r+b/b(E(r)一r)pfpmmf證券有效組合P的風(fēng)險b與該組合的預(yù)期收益率E(r)關(guān)系的表達(dá)式。pP雖然資本市場線表示的是風(fēng)險和收益之間的關(guān)系，但是這種關(guān)系也決定了證券的價格。因?yàn)橘Y本市場線是證券有效組合條件下的風(fēng)險與收益的均衡，如果脫離了這一均衡，則就會在資本市場線之外，形成另一種風(fēng)險與收益的對應(yīng)關(guān)系。這時，要么風(fēng)險的報酬偏高，這類證券就會成為市場上的搶手貨，造成該證券的價格上漲，投資于該證券的報酬最終會降低下來。要么會造成風(fēng)險的報酬偏低，這類證券在市場上就會成為市場上投資者大量拋售的目標(biāo)，造成該證券的價格下跌，投資于該證券的報酬最終會提高。經(jīng)過一段時間后，所有證券的風(fēng)險和收益最終會落到資本市場線上來，到達(dá)均衡狀態(tài)。資本市場線是把有效組合作為一個整體來加以研究的。那么單個證券的風(fēng)險和收益水平是怎樣的？證券市場線對此做出了說明。2、證券市場線〔SecurityMarketLine，SML〕：E(r)=r+p(E(r)—r)ifimf證券i與市場組合m的協(xié)方差風(fēng)險P與該證券的預(yù)期收益率E(r)關(guān)系的表達(dá)式。im證券市場線也可以用另一種方式來說明。對證券市場線的公式進(jìn)行變換后，就會用一個指標(biāo)P來表示證券的風(fēng)險。實(shí)際上，這個系數(shù)是表示了某只證券相對于市場組合的風(fēng)險度量。對這個P特別作如下的說明：〔1〕由于無風(fēng)險資產(chǎn)與有效組合的協(xié)方差一定為零，則任何無風(fēng)險資產(chǎn)的3值也一定為零。同時任何P值為零的資產(chǎn)的期望回報率也一定為零?！?〕如果某種風(fēng)險證券的協(xié)方差與有效組合的方差相等，P值為1，則該資產(chǎn)的期望回報率一定等于市場有效組合的期望回報率，即這種風(fēng)險資產(chǎn)可以獲得有效組合的平均回報率?！?〕P值高時，投資于該證券所獲得的預(yù)期收益率就越高；P值低時，投資于該證券所獲得的預(yù)期收益率就越低。實(shí)際上，證券市場線說明了這樣一個事實(shí)，即投資者的回報與投資者面臨的風(fēng)險成正比關(guān)系。正說明了：世上沒有免費(fèi)的午餐。3、證券特征線〔characteristicline〕E(r)-,=&.(E(r)-f證券的超額預(yù)期收益率與市場超額預(yù)期收益率之間關(guān)系的表達(dá)式。CAPM模型給出了單個資產(chǎn)的價格與其總風(fēng)險各個組成部分之間的關(guān)系，單個資產(chǎn)的總風(fēng)險可以分為兩部分，一部分是因?yàn)槭袌鼋M合m收益變動而使資產(chǎn)i收益發(fā)生的變動，即0i值，這是系統(tǒng)風(fēng)險；另一部分，即剩余風(fēng)險被稱為非系統(tǒng)風(fēng)險。單個資產(chǎn)的價格只與該資產(chǎn)的系統(tǒng)風(fēng)險大小有關(guān)，而與其非系統(tǒng)風(fēng)險的大小無關(guān)。以上簡單介紹7CAPM模型，下面將從幾個方面詳細(xì)的推導(dǎo)CAPM模型，并且探討模型背后的含義，最后給出一些CAPM模型的檢驗(yàn)及實(shí)證結(jié)果。CAPM模型的推導(dǎo)CAPM模型的導(dǎo)出有多種方法，下面簡要的介紹幾種常見的推導(dǎo)方法：由Markowitz證券組合選擇理論推出CAPM模型：Markowitz證券組合選擇理論研究的是這樣一個問題：一個投資者同時在許多種證券上投資，如何選擇各種證券的投資比例，使得投資收益最大，風(fēng)險最小。在這個問題上，Markowitz的巨大奉獻(xiàn)在于他將收益和風(fēng)險這兩個模糊的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念明確的表示為具體的數(shù)學(xué)概念。將證券的收益率看做一個隨機(jī)變量，收益就定義為這個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，風(fēng)險定義為這個隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。那么證券組合選擇問題就歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題：選擇什么樣的證券投資比例使得隨機(jī)變量的期望最大，標(biāo)準(zhǔn)差最小。這樣，Markowitz的問題〔均值-方差證券組合選擇問題〕就表示為：minb2=wtVw=乎VwwP司iji，j=1s.tWTe=w+wHFw=1H=wth=wH+wH+.??+wH=pp1122nn這里，V=(V)...=(Cov(r,r))...，V表示r與r之間的協(xié)方差矩陣，V是iji,j=1,2,niji,j=1,2,nij正定的，即對任何w豐0，有wTVw>0，這就排除了這n種證券中存在無風(fēng)險證券的情況。Markowitz證券組合選擇理論的基本結(jié)論就是：在證券允許賣空的情況下，組合前沿是一條雙曲線的一支；在證券不允許賣空的情況下，組合前沿是假設(shè)干段雙曲線段的拼接。組合前沿的上半部稱為有效前沿，對于有效前沿來說，不存在收益和風(fēng)險兩方面都由于它的證券組合。假設(shè)證券組合中包含無風(fēng)險證券，那么，假設(shè)除上述n種證券外，另外還有第0種證券為無風(fēng)險證券，并且它的無風(fēng)險利率為常隨機(jī)變量,。于是組合將定義為滿足：w+w+w+.??+w=1的w，w，w-?w，記H=wr+wH+wH+.??+wH，012n012np0f1122nn從而：H-r=w(H-r)+w(H-r)+.??+w(H-r)=wt(p-r)Pf11f22fnnff組合的方差顯然仍為b2=wtVw。那么，在含有無風(fēng)險證券的情況下的Markowitz問p題變?yōu)閙inb2=wtVw=^Vwwi,j=1stH-r=wt(H-r)=w(H-r)+w(H-r)+.??+w(H-r)Pff11f22fnnf形式上比不含有無風(fēng)險證券的Markowitz問題少了一個約束條件，這是個二次規(guī)劃問題，用Lagrange乘子法求得其解:L（w,人）=wtVw-X（wt（目一r）-（目-r））f一其解w=W滿足的充要條件為:pf況（w,人）=2Vw一人（日一r）dL（w,人）T.、-X=（日p—f-wT（日-f由此可解得：w=（（日一r）tV-1（日一r））V一1（日―rf）；ffQ2=WTVW=―（四「'f）2__（旦一r}tV-1（旦一r）這就是說，。與（.之間在9，四）平面上的雙曲線關(guān)系在這種情形下退化為兩條直線:l=±（巴-rf）p—（（日-\）tV-1（.-//2由于。必須為正，所以這兩條直線只有右邊的半條射線，相交于弓軸上的】點(diǎn)。上半條射線是有效前沿，下半條射線是無效前沿。并且，從經(jīng)濟(jì)意義上看，無風(fēng)險利率、與總體最小風(fēng)險組合的期望收益率相比應(yīng)該要小，否則投資者不會投資于風(fēng)險證券而只投資于無風(fēng)險證券。如上所述，含有無風(fēng)險證券的投資組合的有效前沿是一條射線，稱為資本市場線:目=,+（（目一r^）tV-1（目一'））1/2b,這意味著如下關(guān)系：土二2=（（旦一r）tV-1（旦—r））1/2。左端的比值稱為Sharpe比，用來衡量風(fēng)險效益，bffp即因承擔(dān)風(fēng)險而可能帶來的收益。含有無風(fēng)險證券的投資組合的有效前沿的特點(diǎn)就在于其上的Sharpe比是常數(shù)（（R—rf）tV—1（R—rf））1/2，它完全由各風(fēng)險證券的期望收益率R和它們之間的協(xié)方差矩陣V決定。同時，有效前沿射線與余下的風(fēng)險證券組合的有效前沿相切于一點(diǎn)（b皿,Rm）。因此，在這條射線上的每一點(diǎn)所對應(yīng)的期望收益有：（R—r）（R—r）——p—^―=（（R-r）tV—1（R-r））1/2=——m—^―整理可得:pm其中，pp=bp/bs這說明對應(yīng)各種有正P的證券組合總存在有同樣收益的有效前沿上的組合，上式也可以理解為Rp與Pp之間的關(guān)系，它的圖像也是一條直線，稱為證券市場線。這個等式具有CAPM的形式，但并不是CAPM,下面我們通過二基金別離定理來推導(dǎo)出CAPM模型。因?yàn)镸arkowitz問題的解是對于線性方程組的求解。所以解的集合滿足“疊加原理”，即極小風(fēng)險組合的仿射組合仍然是極小風(fēng)險組合，寫成數(shù)學(xué)形式就是下面的二基金別離定理：設(shè)組合"和"分別是均值-方差組合選擇問題的對于期望收益率分別為R和H的pqpq解，并且Pp。5。同時，上述推導(dǎo)的假設(shè)成立，那么訂是極小風(fēng)險組合的充分必要條件為存在實(shí)數(shù)人，使得W=(1-人)w+XW。如果w和w都是有效組合，而人在0和1之間，那么，w=(1-人)Wp+人Wq也是有效組合。上述定理的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義在于：如果投資者的證券投資決策就是要根據(jù)他本人的財力和風(fēng)險承受能力在均值-方差問題的最優(yōu)解中選取一點(diǎn)，那么他考慮全體證券組合與考慮證券的兩種組合的組合是一樣的。這兩種組合在現(xiàn)實(shí)證券市場中可能就是兩種業(yè)績良好的共同基金。因此，也就是說，投資者不必考慮全體證券如何組合，只需考慮如何搭配這兩種基金的組合即可。有了二基金別離定理，我們就可以由兩個極小風(fēng)險組合的組合生成n種證券的整個組合前沿，如果這兩種組合看成兩種證券，也可以推出同樣的組合前沿。定理：設(shè)p和q是兩種證券，并且它們的期望收益率^p豐',那么任何證券i不改變p和q所生成的組合前沿的充分必要條件為：存在實(shí)數(shù)agR，使得①=(1-a)Pp+a^q；②Cov(r,r)=(1-a)Var(r)+aCov(r,r)；③ipppqCov(r,r)=(1-a)Cov(r,r)+aVar(r)iqpqq有上述定理的推論就得到CAPM模型：推論：設(shè)證券p和q滿足上面定理的假設(shè)，并且Cov*r)豐0。那么任何證券i不改變p和q所生成的組合前沿的充分必要條件為其收益率ri滿足以下“一般資本資產(chǎn)定價模型”：E(r)—E(r)=&p(E(r)—E(r))，pp=Cov(r,r)/Var(r)；特別是當(dāng)證券p為ipiqpiiqq“市場組合”m時，并把q記做x，上式就變?yōu)榱鉖資本資產(chǎn)定價模型E(r)—E(r)=&(E(r)—E(r)),0=Cov(r,r)/Var(r)；當(dāng)證券“市場組合”m時，并把q記做x，上式就變?yōu)榱鉖資本資產(chǎn)定價模型iximxiimm就變?yōu)橥ǔ５馁Y本資產(chǎn)定價模型E(r)—r=0(E(r)—r)，P=Cov(r,r)/Var(r)。ifimfiimm現(xiàn)在還有最后一個問題就是：市場組合是否時有效的？如果市場組合有效，那么上述定理推論中的m就適用于這一市場組合。對此，Sharpe認(rèn)為：如果假設(shè)所有投資者都是“理性投資者”，并且他們的投資決策都是按照“均值-方差”的原則來進(jìn)行的，那么每個投資者的證券選擇都形成一個有效組合。而兩個有效組合的證券合在一起，一定也形成一個有效組合。這是因?yàn)樗鼊偤眯纬蛇@兩個有效組合的凸組合。由此也可以導(dǎo)得有限個投資者的所有證券合在一起形成的證券組合也是有效的；尤其當(dāng)市場組合式有效的時候。綜上所述，我們就由Markowitz證券組合選擇理論推出二級別離定理并最終得到了CAPM模型的結(jié)果。Sharpe證明的CAPM模型：Sharpe的證明基于這樣的思想：對于任何市場中的證券〔或證券組合〕i，它與市場組合m的組合所形成的風(fēng)險-收益雙曲線必定與資本市場線相切于市場組合所對應(yīng)的點(diǎn)(b皿,七)上?？紤]一個證券組合P，假設(shè)某種風(fēng)險資產(chǎn)i被選擇，投資于i上的比例為土，投資于其他資產(chǎn)也就是市場組合的比例為1-x,?，這樣的證券組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差為：r=xr+(1—x)rpiiimb=(x2b2+(1—x)2b2+2x(1—x)b)1/2piiimiiim所有這樣的投資組合P都位于連接i和m的直線上：dr--p=r-ridb_xb2—b2+xb2+b—2xbdx(x2b‘2+(1—x)2b2"+2x”(1-x)b"")1/2；iiiimiiim得到連接im的直線的斜率就是：｛X="土；dbdb/dx

dr所以有：丁*dbp(r—r)(x2b2+(1-X)2b2+2x(1-x)b)1/2

imiiidr所以有：丁*dbpXb2-b2+Xb2+b-2Xbiimimimiim(廠r)bm；b-b2imm在im直線的端點(diǎn)處，X.=(廠r)bm；b-b2imm又因?yàn)閙點(diǎn)在CML直線上的斜率與im的直線的斜率應(yīng)相等，于是有:(i—'m)bm=^^f?bim-bmbm整理可得：r=r+=:bifb2im=r+p(=r+p(r-r)，P=fimfbim；ib2m線性定價法則推出的的CAPM模型：線性定價法則是無套利假設(shè)的一個層次，而在一定的假設(shè)下，線性定價法則就意味著隨機(jī)折現(xiàn)因子的存在，隨機(jī)折現(xiàn)因子理論假設(shè)所有的資產(chǎn)定價都表現(xiàn)為一個隨機(jī)折現(xiàn)因子，即任何未來價值不確定的金融資產(chǎn)的當(dāng)前價值等于其〔隨機(jī)）未來價值與隨機(jī)折現(xiàn)因子乘積的期望值。由隨機(jī)折現(xiàn)因子可導(dǎo)出線性定價法則與CAPM模型是等價的。資產(chǎn)定價問題要解決的是這樣一個問題：已經(jīng)知道一種金融資產(chǎn)在未來各種可能的價值，要問它當(dāng)前的價值是多少，就是說未來的不確定的錢在當(dāng)前究竟值多少錢。這個問題的一個解決方法就是以某種定價函數(shù)的方法來表示資產(chǎn)的價格，而這樣的定價過程又必須符合一定的標(biāo)準(zhǔn)一一那就是無套利假設(shè)〔可以設(shè)想，在一個有效的市場上，如果有套利時機(jī)，理性的投資者都會看到并利用它，從而使套利時機(jī)消失〕，而線性定價法則是無套利的一個層次。下面，就從無套利假設(shè)定價法則入手，得到隨機(jī)折現(xiàn)因子存在定理的結(jié)果，并進(jìn)一步得到一些資產(chǎn)定價的基本性質(zhì)，從而導(dǎo)出CAPM模型。1）無套利假設(shè)定價法則確定性情況下無套利假設(shè)定價法則的五個層次：未來價值一樣的組合，當(dāng)前應(yīng)該有一樣的定價；組合的假設(shè)干倍的當(dāng)前價值應(yīng)該等于該組合的當(dāng)前價值的同樣倍數(shù)；組合的買價于賣價應(yīng)該一致；組合的當(dāng)前價值應(yīng)該等于其組成成分的當(dāng)前價值之和；未來值錢〔價值為正〕的組合，當(dāng)前也值錢。數(shù)學(xué)形式表示就是:〔可定價法則〕存在定價函數(shù)；P:RTR〔正齊次定價法則〕p是正齊次函數(shù)，即對于任何正實(shí)數(shù)人>0和實(shí)數(shù)y，有P。y)=Xp(y)；〔齊次定價法則〕p是齊次函數(shù)，即對于任何實(shí)數(shù)人和實(shí)數(shù)y，有pny)=XP(y)；〔線性定價法則〕p是線性函數(shù)，即對于任何實(shí)數(shù)人，r和任何實(shí)數(shù)y，z有p(人y+rz)=人p(y)+rp(z)，這樣的定價函數(shù)一定有這樣的形式：p(y)=ay，其中a是實(shí)數(shù)；〔正線性定價法則〕p是正線性函數(shù)，即p是線性函數(shù)，并且當(dāng)y>0時，p(y)>0。這樣的定價函數(shù)一定有這樣的形式：p(y)=ay，其中a>0。不確定情況下，證券未來價格不確定，用隨機(jī)向量來表示這時一個組合e的未來價值0-x=ex+ex+...+ex也是隨機(jī)變量，市場m中的組合的未來隨機(jī)價值所形成的隨1122KK機(jī)變量全體M，稱為可交易的未定權(quán)益，定義為M={y|3egM,y=e-x}。未定權(quán)益是指其未來價值不確定，可交易指這一未定權(quán)益可以與市場M中的某個組合相對應(yīng)。如果所涉及的未定權(quán)益都是可交易的，這種市場就是完全市場。在不確定情況下，無套利假設(shè)定價法則的五個層次與確定性條件只有一處不同，即：①〔可定價法則〕存在定價函數(shù)；p:MTR。定價函數(shù)p的定義域從實(shí)數(shù)域R變?yōu)榭山灰椎奈炊?quán)益全體M。M具有向量空間的結(jié)構(gòu)。隨機(jī)折現(xiàn)因子存在定理：基本假設(shè)：①未定權(quán)益空間M是一些方差有限的隨機(jī)變量形成的向量空間；②如果對于任何y,zgM，定義E(yz)為它們的內(nèi)積，那么M是Hilbert空間；③定價函數(shù)；p:MTR為線性連續(xù)函數(shù)。在這樣的假定下，可以得到隨機(jī)折現(xiàn)因子存在定理：在上述基本假設(shè)下，存在唯一的mgM，有p(y)=E(my)。這條定理意味著：在一個合理的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的資產(chǎn)定價理論的框架中，任何定價法則，只要它是線性定價法則，那么它就一定對應(yīng)著一個隨機(jī)折現(xiàn)因子。由隨機(jī)折現(xiàn)因子得到的資產(chǎn)定價的基本性質(zhì)：有了隨機(jī)折現(xiàn)因子后，我們能得到以下關(guān)于資產(chǎn)定價的一些基本性質(zhì)：由協(xié)方差定義：Cov(y,m)=E(my)-E(m)E(y)可得：P(y)=E(my)=E(m)E(y)+Cov(y,m)假設(shè)有無風(fēng)險證券，則：\=擊)=Em，于是：P(y)=E~^+Cov(y,m)，fE(y)這個表達(dá)式就把一個證券或一個未定權(quán)益的當(dāng)前價值分解為兩部分，前一部分式rf它的時間價值，即它的未來期望價值對無風(fēng)險利率的折現(xiàn)；后一部分Cov(y,m)則是它的風(fēng)險價值，它是由于未來價值可能有的隨機(jī)波動引起的，可以用來解釋為什么股票的當(dāng)前價值會與債券的當(dāng)前價值有所不同，這一價值是未來價值y與隨機(jī)折現(xiàn)因子m的協(xié)方差。假設(shè)沒有無風(fēng)險證券，則由Riesz表示定理可知：存在唯一的元素1必eM，使得對于任何yeM，有E(y)=E(1/)，這個七稱為無風(fēng)險證券的模仿組合，它的含義是當(dāng)市場由假設(shè)干基本證券生成時，這是個模仿無風(fēng)險證券功能的證券組合。當(dāng)無風(fēng)險證券1WM時，這個無風(fēng)險證券的模仿組合1在許多地方都可以起無風(fēng)險證券的作用。M導(dǎo)出CAPM模型：設(shè)未定權(quán)益空間M為方差有限的隨機(jī)變量所構(gòu)成的Hilbert空間，p:MTR為M上的連續(xù)正齊次線性函數(shù)，即對于任何xeM和任何人〉0，有p(kx)=Xp(x)。同時假定p(±1M)。0，這里1MeM是無風(fēng)險證券1〔如果1eM〕或無風(fēng)險證券的模仿組合〔如果1WM〕，定義R1={reM|p(r)=1}，那么以下兩個命題等價：存在唯一的非零meM，且E(r)=E(m)/E(m2)。E(r1)=E(')/E(m)，使得對于任何xeM，有p(x)=E(mx)；〔零P-資本資產(chǎn)定價模型，zero-P-CAPM〕存在reR1，E(r)。0，使得對于任

何reR，有E(r)-E(r)二祟耳2(E(r)-E(r)),其中reR，滿足E(r)主0,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ivVar(r)uvv1vuCov(r,r)=0,E(r)豐E(r)。特別是，如果市場中存在無風(fēng)險證券，即1eM，那么也uvuv有〔資本資產(chǎn)定價模型，CAPM)E(r)-'Cov(r,r)1有〔資本資產(chǎn)定價模型，CAPM)E(r)-'Var(ru一')，八中'廠云1)E(m)u為無風(fēng)險利率。此外，當(dāng)①或②成立時，可取u=am+b1，其中a豐0和b為任意實(shí)數(shù)，并且任何由M上述形式的u的收益率reR］都滿足②，其中尤其是r=r”=m/p(m)時，②成立。資產(chǎn)定價基本定理導(dǎo)出的CAPM模型：Ross〔1976〕提出了套利定價的一般原理，被稱為“資產(chǎn)定價基本定理”。它指出完整的無套利假設(shè)等價于正線性定價法則。這條定理可以表述為：無套利假設(shè)等價于存在對未來不確定狀態(tài)的某種等價概率測度，使得每一種金融資產(chǎn)對該等價測度的期望收益率都等于無風(fēng)險證券的收益率。下面簡要的介紹如何由資產(chǎn)定價基本定理推出CAPM模型的結(jié)論：設(shè)向量peRs，p》0，并且對于任何xeRs有E(x)=px+px+?.?+px。對TOC\o"1-5"\h\z1122ss于任意x,丸eRs，用x：表示(x兀，x兀，…,x兀)。D為支付矩陣，D=(x,x，…x)t，1122ss12Kx=(x1,x2,...,xs)eRs，xs表示第i種證券在第s種狀態(tài)時的證券價格，q是1xS階矩陣iiiii〔行向量〕，代表證券價格。引理：設(shè)F:Rs-R是線性的，那么存在唯一的兀eRs，使得對于所有的xeRs，有F(x)=E(丸x)，并且，當(dāng)且僅當(dāng)兀》0時，F(xiàn)是嚴(yán)格增函數(shù)。推論：支付矩陣-價格對(D,q)滿足無套利要求，當(dāng)且僅當(dāng)存在：eRs，兀》0，使得q=E(D)。對于任何的x,yeRs，協(xié)方差Cov(x,y)三E(xy)—E(x)E(y)，方差Var(y)=Cov(y,y)主0。我們可以用x=a+py+￡的線性形式來表示x，

&=Cov(x,y)/Var(y)，并且Cov(y,e)=E(e)=0。這個y對x的線性回歸是唯一確定的，系數(shù)P稱為聯(lián)合回歸系數(shù)。假設(shè)(D,q)滿足無套利，對于任何證券組合。有q-0。0，0的收益是Rs上的向量R，表示為RQ=(Dt0)^/q-0。固定丸，對于任意這樣的0，我們有E(兀R0)=1，假設(shè)存在無風(fēng)險證券。這意味著存在0具有確定收益R0，稱為無風(fēng)險收益。Cov(R。,兀)我們有：E(R0)-R0=-一E(兀)/、cov(x,y)x和y的相關(guān)系數(shù)定義為co仃(x,y)=:，、,、var(x)var(y)于是一定存在一個證券組合0*滿足：supcorr(Dt0,兀)0如果這樣0*的收益R*具有非零方差，那么它可以被表示為：E(R0)-R0=七LE(R*)-R0Cov(R*,E(R0)-R0=七LE(R*)-R0如果市場是完全的，R*當(dāng)然也可以和丸完全相關(guān)。上式就是狀態(tài)價格P模型，表示證券收益率是最大化了和兀相關(guān)系數(shù)的證券組合的收益率的一部分。進(jìn)一步的，假設(shè)投資者是期望均勻性的〔homogeneityofinvestorexpectations),那么市場組合m就是有效組合，滿足supcorr(Dt0,兀)的要求。令R0=r,R0=r,R*=r,P=Pifmi0則有CAPM模型：E(r)-\=P[E(r)-r,于是得到7CAPM模型的結(jié)果。一般均衡推出的CAPM模型:一般經(jīng)濟(jì)均衡是指將經(jīng)濟(jì)體中的個體分為消費(fèi)者和生產(chǎn)者兩個部分，消費(fèi)者追求消費(fèi)的最大效用，生產(chǎn)者追求生產(chǎn)的最大利潤。他們的經(jīng)濟(jì)活動分別形成市場的需求和供應(yīng)，市場的價格體系會對需求和供應(yīng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，最終使市場到達(dá)一個理想的一般均衡價格體系。在這個體系下，需求與供應(yīng)到達(dá)均衡，而每個消費(fèi)者和每個生產(chǎn)者也在各自的約束條件下到達(dá)了他們的最大化要求。Arrow-Debreu已經(jīng)證明了在一些假設(shè)條件下一般均衡的存在性。到達(dá)一般經(jīng)濟(jì)均衡的金融市場一定滿足無套利假設(shè)，也即是不存在套利時機(jī)。在完全的金融市場中，金融市場均衡與純交換經(jīng)濟(jì)的一般均衡在原理上是一樣的，存在一般均衡。對于不完全市場的情況，Radner〔1972〕證明了在賣空有上界〔不能無限制的賣空〕的條件下均衡是存在的。而一般的情況下均衡是有可能不存在的。Duffie和Schafer〔1985〕證明了極大多數(shù)不完全市場的均衡是存在的。下面，我們就在均衡存在的前提下討論資產(chǎn)定價問題。考慮一個二期問題，投資者，?選擇合適的投資組合最大化自身效用而，效用函數(shù)與0期消費(fèi)和1期消費(fèi)的均值和方差，假定線性定價法則成立，那么要滿足戲=^oi+Zn(0oi-01))p(氣)，0期消費(fèi)應(yīng)等于原有資金^oi加上原有證券組合。0與1期手中的證券組合。1的差值，消費(fèi)的均值和方差則由其定義以期望效用函數(shù)的形式給出。k所以單個投資者面臨的是下面的證券選擇問題：maxvi(zo,日，b2)3^^z1i=1,2,???/s.tz0=W0i+乙〃(0oi-01)p(x),qn01E(x),z1f^k=okkb2=乙n0101Cov(X,X).i=1,2,???/z1j,k=1jkjk同時，要滿足市場均衡條件，就是說在個人到達(dá)最優(yōu)選擇01i時，市場上的I個投資者滿足：鬲,=￡同>0,k=0,1，…n,i=1i=1假設(shè)均衡存在，則有如下結(jié)論：定理：在上述模型中，如果對于定價P(X),P(X),..?P(X)來說，011,612,...011形成01n市場均衡，那么有以下結(jié)果：E、^^0=E、^^0〔即所有投資者的最優(yōu)當(dāng)前消費(fèi)之和等于他們手頭有的資金之和，即，總體來說，當(dāng)前消費(fèi)并未動用證券市場中的資金?！常?「/>0;k=1,2,...,n;i=1,2,...,I;〔每個投資者的最優(yōu)證券投資不需要賣空，并且k每種證券都要買；以下甚至還證明了每個投資者的對收益率來說的風(fēng)險投資組合都是一樣的〕；③設(shè)&為第Z?個投資者的最優(yōu)組合。1，=(0,即，叩,...,々)的收益率，那么：TOC\o"1-5"\h\zE(r)-r=V，I''(E(r_)一r),j=1,2,?“,n.；j0Var(r_)e10ei'◎〔CAPM〕設(shè)r為風(fēng)險證券的市場組合m=(0,2，e0',Ie,"Z/e。',)的收益mi=11i=12i=1n率，那么：E(r)一r=：V(；'\)(E(r)一r),j=1,2,...,n.；j0Var(r)m0m⑤設(shè)Z1=Z/Z1i為未來的總消費(fèi)，r為其相應(yīng)的收益率，那么：i=1掣E(r)-r=￥七，？(E(r)-r),j=1,2，…，n.；j0Var(r)z10z1〔以上是三種資本資產(chǎn)定價模型的表示，其形式完全一樣。〕⑥〔共同基金定理〕Ze^Xix—(w0i+Zeoip(x)-z0i)r,i=1,2,…,/.k=1k=1〔最優(yōu)風(fēng)險證券組合可通過市場組合來實(shí)現(xiàn)，即市場組合可看做一種共同基金?！尘C上所述，我們就由一般均衡得到了CAPM模型。Black給出的更一般的CAPM模型：CAPM模型的標(biāo)準(zhǔn)形式要求市場中必須有無風(fēng)險證券‘，如果市場中沒有‘，情況又會怎樣呢？Black〔1972〕在沒有風(fēng)險資產(chǎn)的條件下給出了更一般形式的CAPM模型，稱為零P資本資產(chǎn)定價模型。在這一模型中，任意資產(chǎn)i的期望超額收益可以通過它的B系數(shù)表示為市場組合收益和關(guān)于市場組合的零P資產(chǎn)組合〔與市場組合不相關(guān)的資產(chǎn)組合〕收益的線性函數(shù)，即：E(R)=E(R)+P(E(R)-E(R))iomimmom其中Rm為關(guān)于市場組合的零P資產(chǎn)組合的收益，這個組合通常定義為與市場組合不相關(guān)的所有組合中方差最小的組合。其實(shí)，在前面的各種推導(dǎo)CAPM模型的方法中，有的也附帶推出了零6資本資產(chǎn)定價模型的結(jié)果。在這里把它作為CAPM模型的推廣單獨(dú)提出?？偨Y(jié)：上面給出了5種推導(dǎo)CAPM模型的方法，分別從Markowitz證券組合選擇理論、單個證券被選擇的最優(yōu)條件〔Sharpe的證明〕、線性定價法則、資產(chǎn)定價基本定理、一般均衡的角度得到CAPM模型的結(jié)果。上述方法從不同層面，不同角度得到了同樣的結(jié)果。Markowitz證券組合選擇理論從個人優(yōu)化的角度出發(fā)，個人追求效用最大化，選擇投資組合；Sharpe從證券被選擇要滿足的條件出發(fā)；線性定價法則則是從無套利這個基本的假設(shè)來推導(dǎo)；資產(chǎn)定價基本定理從一個更一般的角度看待資產(chǎn)定價問題，一般均衡則直接從均衡市場出發(fā)討論均衡市場上的資產(chǎn)定價的特性。不同的角度和方法，卻得到了相同的結(jié)論，下面我們就探討這些理論間的異同點(diǎn)，考察理論背后更深層次的聯(lián)系，并總結(jié)幾種主要的定價理論的等價性。CAPM模型的背后：三種基本定價理論：隨機(jī)折現(xiàn)因子理論：VxgM,p(x)=E(mx)=E(m)E(x)+Cov(m,x)資本資產(chǎn)定價模型：VrgR={rgM|p(r)=1},E(r)-E(r)=Co(匚1)(E(r)-E(r))TOC\o"1-5"\h\z1vVar(r)uvuMarkowitz證券組合選擇理論：VrgR={rgM\p(r)=1},r=(1-w)r+wr+s,Cov(r,s)=Cov(r,s)=E(s)=01pqpq三種理論的相互等價：①隨機(jī)折現(xiàn)因子理論和資本資產(chǎn)定價模型的等價性：隨機(jī)折現(xiàn)因子理論—資本資產(chǎn)定價模型：M=M十M1，其中M為m和1張成的二維空間。取r,rgMcR，并要求222Muv21Cov(r,r)=0，則：VrgR,r=(1-w)r+wr+s,E(s)=E(rs)=E(rs)=0；uv1pquv資本資產(chǎn)定價模型—隨機(jī)折現(xiàn)因子理論:由r和r所張成的二維空間中，可求得m滿足：VreR,E(mr)=1TOC\o"1-5"\h\zuv1組合選擇理論和資本資產(chǎn)定價模型的等價性：組合選擇理論T資本資產(chǎn)定價模型：r=(1-w)r+wr的充要條件為：E(r)=(1-w)E(r)+wE(r)pqpqCov(r,r)=(1-w)Var(r)+wCov(r,r)Cov(r,r)=(1-w)Cov(r,r)+wVar(r)，qpqq而在r和r張成的平面上，總能找到滿足Cov(r,r)=0的r〔可取r=r〕和r。pquvuupv資本資產(chǎn)定價模型T組合選擇理論：取r=r，r=r即可。puqv對于上述等價性的證明，在推導(dǎo)CAPM模型時已有涉及，這里就不再詳細(xì)證明了?？偨Y(jié)：這些理論背后的經(jīng)濟(jì)含義和聯(lián)系是很深刻的，它表達(dá)了經(jīng)濟(jì)學(xué)基本思想在一個完美的經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)框架中時一個具體問題的深入細(xì)致全面的剖析。經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)的框架建立在兩個簡單的基本假設(shè)上：①理性人假設(shè)；②均衡假設(shè)〔也就是無套理假設(shè)〕。在一定的條件下，均衡的結(jié)果可以從理性人假設(shè)的前提推出來。從某種意義上來講，它們是一致的，個人最優(yōu)化就能導(dǎo)致均衡存在，而均衡存在也意味著個人已經(jīng)到達(dá)了最優(yōu)。經(jīng)濟(jì)學(xué)就是研究理性的經(jīng)濟(jì)人如何在即定的外在約束下到達(dá)自身的最優(yōu)化，并且如何從個人最優(yōu)結(jié)果推廣，到達(dá)局部均衡最終實(shí)現(xiàn)一般均衡。也就是說均衡是我們期望看到的結(jié)果，是最完美的結(jié)果。均衡這個基本觀點(diǎn)表達(dá)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個方面，當(dāng)讓也包括金融學(xué)中資產(chǎn)定價這個具體問題。Markowitz證券組合理論和資本資產(chǎn)定價模型都是與線性定價法則等價的，即在一個金融資產(chǎn)市場上，如果有一條為金融資產(chǎn)定價的線性定價法則，那么它等價于市場上存在某條組合前沿，或者存在對某個無風(fēng)險證券和某個“市場組合”資本資產(chǎn)定價模型成立，反過來也一樣，組合前沿的存在或者資本資產(chǎn)定價模型成立，也等價于某條線性定價法則成立。Markowitz證券組合選擇理論從個人最優(yōu)化角度出發(fā)得到了最優(yōu)的投資組合，進(jìn)而得到CAPM模型，為具體的資產(chǎn)定價；線性定價法則是直接從無套利假設(shè)出發(fā)得到7CAPM模型；一般均衡理論直接從市場均衡出發(fā)。這幾種理論出發(fā)點(diǎn)不同，但是得到了相同的結(jié)果，表達(dá)了它們背后經(jīng)濟(jì)學(xué)理論框架的一致性。因?yàn)閭€人最優(yōu)和均衡以及無套利在某種情況下是等價的，那么由它們導(dǎo)出的具體結(jié)果一定是一樣的，否則就會產(chǎn)生悖論。以上是從理論角度對CAPM模型進(jìn)行了研究。理論需要在實(shí)踐中檢驗(yàn)，下面就從實(shí)踐角度對CAPM模型的檢驗(yàn)及實(shí)證結(jié)果進(jìn)行分析。CAPM模型的檢驗(yàn)與應(yīng)用：CAPM模型的檢驗(yàn)CAPM模型有許多用途：可以用來對證券的預(yù)期收益進(jìn)行度量，對資金成本進(jìn)行估計，進(jìn)行組合管理的業(yè)績評價，風(fēng)險分析和在事件研究中用來作為正常收益的度量。但是CAPM模型的驗(yàn)證涉及對市場組合是否有效的驗(yàn)證，這在實(shí)證上是不可行的。于是，很多人從別的角度去驗(yàn)證CAPM模型，一般對Sharpe和Lintner的CAPM模型進(jìn)行檢驗(yàn)可以從三個不同方面進(jìn)行：.檢驗(yàn)組合的截距是否為零，即組合是否有異常收益存在；.檢驗(yàn)資產(chǎn)預(yù)期超額收益在橫截面上的變化是否完全可以用其P系數(shù)來刻劃；.檢驗(yàn)市場的風(fēng)險回報是否為正。CAPM模型檢驗(yàn)的實(shí)證結(jié)果：自從1964年提出CAPM模型起，就不斷有研究者對這一模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。早期的研究結(jié)果大部分都是支持CAPM模型，只有少數(shù)結(jié)果給出的零P組合的期望收益估計超出了無風(fēng)險收益，因而與Sharpe