導(dǎo)數(shù)與微分11課件

高等數(shù)學(xué)制作單位：成都醫(yī)學(xué)院高等數(shù)學(xué)制作單位：成都醫(yī)學(xué)院第2章導(dǎo)數(shù)與微分主要內(nèi)容一、導(dǎo)數(shù)的概念二、求導(dǎo)法則三、函數(shù)的微分四、中值定理、羅彼塔法則五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)第2章導(dǎo)數(shù)與微分主要內(nèi)容極限反映在一定變化條件下函數(shù)的變化情況；連續(xù)反映的是在這種變化下是否具備某種特定的變化；導(dǎo)數(shù)反映相對(duì)于自變量函數(shù)的變化快慢的程度；微分反映自變量有微小變化時(shí)函數(shù)變化的多少．極限反映在一定變化條件下函數(shù)的變化情況；連續(xù)反映的是在這種變一、導(dǎo)數(shù)的概念1、變化率問題舉例一、導(dǎo)數(shù)的概念1、變化率問題舉例解：1）先求平均速度變化到，路程的增量為：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)，平均速度為：

解：1）先求平均速度變化到，路程的增量為：質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)，平均2）再求瞬時(shí)速度2）再求瞬時(shí)速度通過上例，再研究式（1）（式1）通過上例，再研究式（1）（式1）下面通過三個(gè)步驟，抽象出函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限（當(dāng)自變量增量趨于0時(shí)）。步驟1

當(dāng)自變量在給定值處有一增量，函數(shù)平均變化率。下面通過三個(gè)步驟，抽象出函數(shù)的增量與自變步驟1當(dāng)自變量在第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件2、導(dǎo)數(shù)的定義2、導(dǎo)數(shù)的定義★說明★說明第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件解：解：第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件由以上兩例，類似地對(duì)冪函數(shù)（是實(shí)數(shù)），有：這是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。由以上兩例，這是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件同理：即：同理：即：特別地，時(shí)，有：特別地，時(shí)，有：3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義T3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義T4、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系反之，未必，即：連續(xù)不一定可導(dǎo)！★注意函數(shù)可導(dǎo)則函數(shù)必連續(xù)，即：4、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系反之，未必，即：連續(xù)不一定可導(dǎo)！★注二、求導(dǎo)法則1、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則處可導(dǎo)，定理2.1設(shè)函數(shù)都在即具有導(dǎo)數(shù)和，則有（C為常數(shù)）；二、求導(dǎo)法則1、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則處可導(dǎo)，定理2.1設(shè)定理2.1的1）、2）可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，如下：定理2.1的1）、2）可以推廣到有限多個(gè)例6

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：例7

，求★注意，解：例6求函數(shù)例8

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：例8求函數(shù)例9

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：同理：例9求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：例10

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：同理：例10求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則該法則說明復(fù)合函數(shù)之導(dǎo)數(shù)等于對(duì)各中間變量導(dǎo)數(shù)的乘積．2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則該法則說明復(fù)合函數(shù)之導(dǎo)數(shù)等于對(duì)各中間變第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件例11

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例11求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：3、反函數(shù)的求導(dǎo)法則即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。3、反函數(shù)的求導(dǎo)法則即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。反函數(shù)與直接函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)等式，只是自變量因變量不同而已。反函數(shù)與直接函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)等式，即：特別地：即：特別地：例13已知函數(shù)，求。解：已知函數(shù)是的反函數(shù)，單調(diào)、可導(dǎo)，且，故在內(nèi)有：在即：例13已知函數(shù)同理可得：同理可得：4、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

求這種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，常用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來解決。的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。形如4、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求這種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，常用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來解決。的例14設(shè)冪指函數(shù)求

解：兩邊取對(duì)數(shù)得：兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：即：冪指函數(shù)也可以改寫為：從而直接利用顯函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)。例14設(shè)冪指函數(shù)求解：兩邊取對(duì)數(shù)得：兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：解：兩邊取對(duì)數(shù)得：兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：即：解：兩邊取對(duì)數(shù)得：兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：即：解：設(shè)，則兩邊取對(duì)數(shù)得：對(duì)則，解：設(shè)，則兩邊取對(duì)數(shù)得：對(duì)則，續(xù)例16即：所以：續(xù)例16即：所以：5、隱函數(shù)求導(dǎo)法5、隱函數(shù)求導(dǎo)法1）先將隱函數(shù)顯化后用以前的方法求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)方法有兩種：1）先將隱函數(shù)顯化后用以前的方法求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)方法有兩種例17

求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端對(duì)自變量例17求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端例18設(shè)，求

求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端對(duì)自變量又當(dāng)時(shí)，從原方程得，代入上式得：例18設(shè)，求求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端對(duì)自變量又當(dāng)時(shí)，從原方程例19求橢圓在點(diǎn)處的切線方程。求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端對(duì)自變量又點(diǎn)位于橢圓上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：故所求切線方程為：即：所求切線的斜率為：例19求橢圓在點(diǎn)處的切線方程。求導(dǎo)數(shù)得：解：兩端對(duì)自變量6、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)方法有兩種：方法一：消去參數(shù)用前面的方法解。如：

6、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)

方法二：在中，若具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)則通過代入法消參得，它可以看作是由復(fù)合而成的函數(shù)，若則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：這即是參數(shù)方程的求導(dǎo)公式：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于因變量與自變量分別對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商。方法二：在中，若具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)則通過代入法消參得，例20求橢圓在處的切線方程。

解：因?yàn)樗裕视之?dāng)時(shí)，由點(diǎn)斜式得所求切線方程為：即：例20求橢圓在處的切線方程。解：因?yàn)樗?，故又?dāng)時(shí)，由點(diǎn)2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：特別地：時(shí)，4）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

：7、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：特別地：時(shí)，4）正弦函5）正切函數(shù)和余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

：，，6）正割函數(shù)和余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

：7）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

：特別地：5）正切函數(shù)和余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，，6）正割函數(shù)和余割函數(shù)的8）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

：8）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：8、高階導(dǎo)數(shù)8、高階導(dǎo)數(shù)把的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。記為：階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，記為；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)階稱為四階導(dǎo)數(shù)，記為；階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)數(shù)，記為。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)

把的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。記為：階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)例21，求

解：

例21，求解：例22設(shè)求證：

例22設(shè)求證：兩個(gè)函數(shù)的和差積求高階導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)函數(shù)的和差積求高階導(dǎo)數(shù)：例23設(shè)，求

解：設(shè)則：

例23設(shè)，求解：設(shè)則：三、函數(shù)的微分1、微分的定義導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢的程度（變化率的大小），即：當(dāng)時(shí)的極限。微分是討論自變量發(fā)生了很小變化的情況下函數(shù)改變量本身的。三、函數(shù)的微分1、微分的定義導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)相對(duì)于自變量的變引例面積的改變量大小如圖，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長由變化到，問此薄片的面積改變了多少？引例面積的改變量大小如圖，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的設(shè)此薄片的面積為，則是邊長的函數(shù)，薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量為：第一部分稱為的線性部分，它表示陰影面積，是主要部分；第二部分為的高階無窮?。ㄈ簦谴我糠?。其中：設(shè)此薄片的面積為，則是邊長的函數(shù)第二部分故可以用第一部分近似代替面積的增量，即：我們稱這個(gè)近似值為面積S的微分，記為

故可以用第一部分近似代替面積的我們稱這個(gè)近似值為面積S的微分可表示為：那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的。可表示為：那么稱函數(shù)在點(diǎn)續(xù)定義2.3續(xù)定義2.32、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件結(jié)論：于是，又可以寫成：因此，當(dāng)很小時(shí)，可以用作為的近似值，即：結(jié)論：于是，且且令，則：上式表明：自變量的微分等于自變量的改變量。于是函數(shù)的微分又可以記為：由可見，函數(shù)的微分與及有關(guān)。令，則：上式表明：自變量的微分等于自變量的改變量。于是函數(shù)上式表明函數(shù)的微分等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。上式兩邊除以，得：上式表明函數(shù)的微分等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上式兩邊除以，得★注意由微分定義可知，只要求出導(dǎo)數(shù)，微分也就求出來了，因此，求微分的問題，可歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問題，故求導(dǎo)法又叫微分法?！镒⒁庥晌⒎侄x可知，只要求出導(dǎo)數(shù)，微分也就求3、微分的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的微分等于曲線在該點(diǎn)切線的縱坐標(biāo)的增量。3、微分的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的微分等于曲線在4、微分的基本公式和運(yùn)算法則同樣，可以根據(jù)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，得到函數(shù)的和、差、積、商的求微分法則。4、微分的基本公式和運(yùn)算法則同樣，可以根據(jù)函數(shù)的和、差、積、1）基本函數(shù)的微分公式

1）基本函數(shù)的微分公式第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件2）和、差、積、商運(yùn)算法則2）和、差、積、商運(yùn)算法則3）復(fù)合函數(shù)微分法則但：因?yàn)椋河谑牵核裕喝魹樽宰兞康膹?fù)合函數(shù)：3）復(fù)合函數(shù)微分法則但：因?yàn)椋河谑牵核裕喝粲纱耍?jì)算微分也可如下：由此，計(jì)算微分也可如下：例24設(shè)

解：例24設(shè)解：例25設(shè)解法一：解法二：先求導(dǎo)，再寫出微分表達(dá)式例25設(shè)解法一：解法二：先求導(dǎo)，再寫出微分表達(dá)式即：4）微分在近似求值中的應(yīng)用即：4）微分在近似求值中的應(yīng)用解：例26解：例26解：例27解：例271.羅爾定理四、中值定理、羅彼塔法則（一）中值定理1.羅爾定理四、中值定理、羅彼塔法則（一）中值定理證明：（待續(xù)）證明：（待續(xù)）（續(xù)）（續(xù)）幾何解釋幾何解釋例28解例28解2.拉格朗日中值定理2.拉格朗日中值定理幾何解釋(如圖)從上圖可知:羅爾定理是該定理特例。

幾何解釋(如圖)從上圖可知:羅爾定理是該定理特例。推論1推論2若，有則推論1推論2若，有則例29證明分析例29證明分析引入：3、柯西中值定理引入：3、柯西中值定理定理2.6(柯西中值定理)其實(shí)：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.定理2.6(柯西中值定理)其實(shí)：拉格朗日定理也是柯西中值定綜上所述：三個(gè)中值定理有從特殊到一般的關(guān)系。羅爾定理可視為拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可視為柯西中值定理的特例，但同時(shí)柯西中值定理也可視為拉格朗日中值定理的參數(shù)方程形式。因此，在應(yīng)用中拉格朗日中值定理更為廣泛．綜上所述：三個(gè)中值定理有從特殊到一般的關(guān)系。羅爾定（二）羅彼塔法則如：（二）羅彼塔法則如：1、定理2.7稱此求函數(shù)極限的法則為羅彼塔法則．

1、定理2.7稱此求函數(shù)極限的法則為羅彼塔法則．證明證明例30更進(jìn)一步地:解例30更進(jìn)一步地:解例31解例32解例31解例32解如:如:2、未定式的極限2、未定式的極限例33解例33解例34解例34解例35解注意：在利用羅彼塔法則的同時(shí),也利用一些別的方法,如等價(jià)無窮小或重要極限等……，可使運(yùn)算變得更簡捷.例35解注意：在利用羅彼塔法則的同時(shí),也利用一些別的方法,如例36解例36解3)當(dāng)某一點(diǎn)不存在（不包含）或循環(huán)時(shí)，此法則失效．在使用羅彼塔法則求未定式的極限時(shí)，需要注意：1)每次使用都需檢驗(yàn)是否滿足羅彼塔法則的條件；2)隨時(shí)化簡，并注意同其它求極限方法并用；3)當(dāng)某一點(diǎn)不存在（不包含）或循環(huán)時(shí)，此法則失效．五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（一）函數(shù)的單調(diào)性如圖：五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（一）函數(shù)的單調(diào)性如圖：反之，則有如下定理：反之，則有如下定理：定理2.8▲理解定理2.8▲理解如：如：例36

解例36解例37解例37解小結(jié)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：A.求函數(shù)的定義域,找出無定義的點(diǎn);

B.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),找出駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn);C.以無定義點(diǎn)、駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)為分界點(diǎn)分割定義域或所給區(qū)間;

D.按分割的不同分段逐一討論.(對(duì)多項(xiàng)式情形可用穿針法)小結(jié)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：A.求函數(shù)的定義域,找出無定義的點(diǎn)解練習(xí):解練習(xí):例38分析：例38分析：例38證明這是一種非常典型的題目，須掌握其方法.例38證明這是一種非常典型的題目，須掌握其方法.(二）函數(shù)極值、最值1、極值(二）函數(shù)極值、最值1、極值定義2.4定義2.4這樣這樣★理解依定義A.極值是一個(gè)局部概念，是函數(shù)局部范圍內(nèi)的最值，而不是區(qū)間或定義域內(nèi)的最值；B.極值不一定唯一；C.對(duì)于極值點(diǎn)，僅有定義即可，不必連續(xù)或可導(dǎo)．故極值點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)，或?qū)?shù)為零的點(diǎn)，但不可能為端點(diǎn)．（如圖）★理解依定義A.極值是一個(gè)局部概念，是函數(shù)局部范圍內(nèi)的最值其中，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).

此外，從圖中還可以看出：在函數(shù)取得極值的點(diǎn)處，若有切線（可導(dǎo)）的話，該切線是水平的；但是，有水平切線的點(diǎn)未必是極值點(diǎn)，這就有：其中，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).此外，從圖中還可以定理2.9證明定理2.9證明那么如何判斷某點(diǎn)是否取得極值呢？那么如何判斷某點(diǎn)是否取得極值呢？第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件★注意若二階導(dǎo)不存在，或?yàn)榱?，或?jì)算太復(fù)雜時(shí)，則用第一充分條件或定義判定。

★注意若二階導(dǎo)不存在，或?yàn)榱?，或?jì)算太復(fù)雜時(shí)，則用第一充分條根據(jù)上述介紹，求函數(shù)極值的步驟為：根據(jù)上述介紹，求函數(shù)極值的步驟為：例41

求函數(shù)的極值。待續(xù)例41求函數(shù)不是極值點(diǎn)，所以取極小值，所以不是極值點(diǎn)，所以續(xù)例41不是極值點(diǎn)，所以取極小值，所以不是極值點(diǎn)，所以續(xù)例41方法：

2、最值方法：2、最值解：解：在實(shí)際應(yīng)用中，若函數(shù)在區(qū)間（開，閉，半開半閉）上可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，并且在該點(diǎn)處函數(shù)取得極值，則該極值便是最值；若是極大值則為最大值，若是極小值，則為最小值。在實(shí)際應(yīng)用中，若函數(shù)在區(qū)間（開，第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分11-課件可見：（三）曲線的凹凸性可見：（三）曲線的凹凸性定義2.5：定義2.5：凹的凸的凹的凸的凹的凸的凹的凸的定理2.12

曲線的凹凸性的判定方法：定理2.12曲線的凹凸性的判定方法：解：例43解：例43一般地，判定函數(shù)凹凸性的步驟：（1）求定義域；（2）求二階導(dǎo)并令其為