旋度和散度課件

§1.1

矢量表示法和運(yùn)算§1.2

通量與散度,散度定理

§1.3

環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

§1.4

方向?qū)?shù)與梯度,格林定理

§1.5

曲面坐標(biāo)系

§1.6

亥姆霍茲定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis§1.1

矢量表示法和運(yùn)算第一章矢量分析Chap基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用?；疽笳莆帐噶吭谡蛔鴺?biāo)系中的表示方法了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。旋度和散度課件物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母

A

大寫斜體字母加表示矢量的符號(hào)標(biāo)量：小寫斜體字母

u單位矢量：小寫上加倒勾ex物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母Aex

若一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,這個(gè)矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax,Ay,Az,則矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其運(yùn)算1.1.1矢量表示法及其和差若一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知A的單位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction則

A的單位矢量Unitvector和或差:Vector圖1-2矢量的相加和相減

圖1-2矢量的相加和相減

矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。它符合交換律:

1.1.2標(biāo)量積和矢量積定義：標(biāo)量積A·B是一標(biāo)量,其大小等于兩個(gè)矢量模值相乘,再乘以它們夾角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、標(biāo)量積Dotproduction

特點(diǎn)：1、矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者說矢量B在A上的分量）等于A?B/|A|2、|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cos并有互相垂直的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為03、4、并有互相垂直的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為03、4、

定義：矢量積A×B是一個(gè)矢量,其大小等于兩個(gè)矢量的模值相乘,再乘以它們夾角αAB(≤π)的正弦,其方向與A,B成右手螺旋關(guān)系,為A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交換律。由定義知,二、矢量積Crossproduction

特點(diǎn)：定義：矢量積A×B是一個(gè)矢量,其大小等于兩2、2、A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項(xiàng)是y→z,其第二項(xiàng)下標(biāo)則次序?qū)φ{(diào):z→y,依次類推。并有A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項(xiàng)是y圖1-3矢量乘積的說明圖1-3矢量乘積的說明矢量的三連乘也有兩種。標(biāo)量三重積:Scalartripleproduction

矢量三重積:Vectortripleproduction

公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。

1.1.3三重積

ABC矢量的三連乘也有兩種。矢量三重積:Vectortripl解：AB在C上的分量為：例：，求

給定兩矢量

和上的分量。

在解：AB在C上的分量為：例：，求給定兩矢量和上的分量。如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，，p和P已知，試求X

解：由P=AX，有AP＝A(AX)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確作業(yè)P311-11-3作業(yè)P311-11-3§1.2通量與散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1

矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述

矢量場(chǎng)的通量

定義：若矢量場(chǎng)A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則為矢量A沿有向曲面S的通量。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

在電場(chǎng)中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量；在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。

§1.2通量與散度,散度定理

Flux,diver通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫成

a)若，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；

b)若，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷就是接受電力線的負(fù)源；

c)若，閉合面無源。通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫成1.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意義1)矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性；2)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；3)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；1、定義：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即1.2.2散度Divergenceofave3、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓表示為哈密頓拉普拉斯23、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓表示為哈密正源負(fù)源無源正源負(fù)源無源

散度的基本運(yùn)算公式

C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量散度的基本運(yùn)算公式C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度,因此直觀地可知,矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量,即從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意義：上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]例點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的旋度和散度課件可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q。可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解：例：球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解：例：

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

環(huán)量Curlofavectorfield矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強(qiáng)度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)處,上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。為此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定義和運(yùn)算1、定義：為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍2、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí),該面元矢量的方向。它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。若某區(qū)域中各點(diǎn)curlA=0,稱A為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。2、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積,即

計(jì)算▽×A時(shí),先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運(yùn)算,得

3、旋度的計(jì)算矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積,即計(jì)算▽×第一章矢量分析即

第一章矢量分析即4、旋度運(yùn)算規(guī)則:

在直角坐標(biāo)系中有

4、旋度運(yùn)算規(guī)則:在直角坐標(biāo)系中有任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。任一無散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度。任何旋度場(chǎng)一定是無散場(chǎng)任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零。任何旋度場(chǎng)一定是無一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，而一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；旋度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與通量源的關(guān)系；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的旋度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的散度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在通量源，因而稱之為無源場(chǎng)（或管形場(chǎng)）；在旋度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的旋度描述的是場(chǎng)分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

4、旋度與散度的區(qū)別：4、旋度與散度的區(qū)別：因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉曲線l上的環(huán)量就自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

求任意點(diǎn)處(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。

例自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)解：解：可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故

這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無旋場(chǎng)。

因可見,向分量為零;同樣,向和證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。

[證]設(shè)C為一任意常矢，則從而有（1-37）例1.4證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。從根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)

方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)與梯度§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,梯度gradient是一個(gè)矢量的模就是在給定點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向,亦即的變化率最大的方向。梯度gradient是一個(gè)矢量梯度運(yùn)算規(guī)則:

梯度運(yùn)算規(guī)則:2、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。任一無旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度任何梯度場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)。梯度的重要性質(zhì)2、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應(yīng)用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向?qū)?shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位矢量。適用于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)φ和ψ(2)說明：把式中的φ與ψ交換位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),則有矢量格林定理(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場(chǎng)的求解問題變換為邊界S上場(chǎng)的求解問題。如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布特性,便可利用格林定理求解另一場(chǎng)的分布特性。矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場(chǎng)的求參看圖1,場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y,′z′)間的距離為|R|,試證這里▽′表示對(duì)帶撇坐標(biāo)(x′,y′,z′)作微分運(yùn)算(將P取為定點(diǎn),P′為動(dòng)點(diǎn)):例：參看圖1,場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y,［證］

［證］即同理可得

即同理可得例:求P點(diǎn)的電位梯度▽?duì)?。?/p>

：在點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)中,P(x,y,z)點(diǎn)的電位為例:求P點(diǎn)的電位梯度▽?duì)?。解：在點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)中,P圖1-8柱坐標(biāo)系

§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系Cylindricalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系圖1-8柱坐標(biāo)系§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.

矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：

以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P點(diǎn)的矢量r,稱為P點(diǎn)的位置矢量或矢徑。在柱坐標(biāo)系中P點(diǎn)的位置矢量是

對(duì)任意的增量dρ,dφ,dz,P點(diǎn)位置沿,,方向的長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)分別為三者總保持正交關(guān)系,并遵循右手螺旋法則:

位置矢量二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P點(diǎn)每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉梅(G.Lame)系數(shù),分別為與三個(gè)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元和體積元分別是度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：面積元和體積元：每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sphericalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sp遵循右旋法則:

矢量A在球坐標(biāo)系中的表示

：二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)度量系數(shù)：

遵循右旋法則:矢量A在球坐標(biāo)系中的表示：二、矢量表示及相面積元和體積元：

面積元和體積元：圖1-10三種坐標(biāo)間的變換

1.5.3三種坐標(biāo)的變換及場(chǎng)論表示式圖1-10三種坐標(biāo)間的變換1.5.3三種坐標(biāo)直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)

在柱坐標(biāo)中三個(gè)長(zhǎng)度元分別為dρ,ρdφ和dz,因而其算子相應(yīng)地?fù)Q為球坐標(biāo)長(zhǎng)度元為dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子為

算子

在柱坐標(biāo)中三個(gè)長(zhǎng)度元分別為dρ,ρdφ柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度

為了對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo),一個(gè)常用的公式是柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度為了對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo),一個(gè)常用的球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場(chǎng)中,距離r>>l處的電位為求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,φ)。解

：例1.7在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場(chǎng)中,距亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下:若矢量場(chǎng)F在無限空間中處處單值,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和,即§1.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下:若矢量場(chǎng)F在無限空間中處處單值二.矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1)調(diào)和場(chǎng)

若矢量場(chǎng)F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0

則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)F為調(diào)和場(chǎng)。

注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。調(diào)和場(chǎng)，有源無旋場(chǎng)，無源有旋場(chǎng)，有源有旋場(chǎng)二.矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：如果，則稱矢量場(chǎng)F為無旋場(chǎng)。無旋場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即函數(shù)u稱為無旋場(chǎng)F的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位。

無旋場(chǎng)F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一結(jié)論等價(jià)于無旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q有關(guān)。標(biāo)量位u的積分表達(dá)式：2)有源無旋場(chǎng)

如果，則稱矢量場(chǎng)F為無旋場(chǎng)。由，有由，有函數(shù)A稱為無源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。無源場(chǎng)F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋場(chǎng)一般的情況下，如果在矢量場(chǎng)F的散度和旋度都不為零，即如果，則稱矢量場(chǎng)F為無源場(chǎng)。無源場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度，即3)無源有旋場(chǎng)函數(shù)A稱為無源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。4)有源有旋場(chǎng)可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無源場(chǎng)Fs和無旋場(chǎng)Fi

的疊加，即其中Fs和Fi分別滿足

于是

因而，可定義一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得

可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無源場(chǎng)Fs和無旋場(chǎng)Fi的疊加，即其中常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式旋度和散度課件矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容

矢量場(chǎng)的表示方法和代數(shù)運(yùn)算和乘積運(yùn)算矢量場(chǎng)的散度和旋度標(biāo)量場(chǎng)的梯度曲面坐標(biāo)系亥姆霍茲方程矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容矢量場(chǎng)的表示方法和代數(shù)運(yùn)算和乘積運(yùn)算基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用?；疽笳莆帐噶吭谡蛔鴺?biāo)系中的表示方法了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。旋度和散度課件本章重要公式本章重要公式旋度和散度課件旋度和散度課件例利用直角坐標(biāo)，證明

證明：例利用直角坐標(biāo)，證明證明：例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：A與B之間的夾角為

A在B上的分量為

例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey例：在的方向?qū)?shù)為求標(biāo)量函數(shù)＝x2yz的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量

定出；求點(diǎn)(2,3,1)的方向?qū)?shù)值解：例：在的方向?qū)?shù)為求標(biāo)量函數(shù)＝x2yz的梯度及在一個(gè)指定例：利用散度定理及斯托克斯定理證明：1）2）證明:對(duì)于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理由于曲面S是任意的，故有例：利用散度定理及斯托克斯定理證明：1）2）證明:對(duì)于任意閉2)對(duì)于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有

其中S1和S2如圖1所示。由斯托克斯定理，有由題圖1可知C1和C2是方向相反的同一回路，則有2)對(duì)于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有其中圖1S1S2C2C1n1n2所以得到

由于體積V是任意的，故有圖1S1S2C2C1n1n2所以得到由于體積V是任意的，故習(xí)題及答案

已知,求：(b)(c)(d)（a）1-5解：(a)(b)(c)(d)習(xí)題及答案已知,1-8設(shè)為使，，且，的模B=1，試確定a、b的值。解：，則得，又因即得或1-8設(shè)為使，，且，的模B=1，試確定a、b的值。解：，則得應(yīng)用散度定理計(jì)算下述積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面解：1-13應(yīng)用散度定理計(jì)算下述積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面解：1-14，在r=1和r=2兩個(gè)球面之間的區(qū)域存在矢量場(chǎng)計(jì)算：（a）（b）解：（a）1-14，在r=1和r=2兩個(gè)球面之間的區(qū)域存在矢量場(chǎng)計(jì)算：（b）可見散度定理成立。（b）可見散度定理成立。1-16，證明：證：設(shè)所以，1-16，證明：證：設(shè)所以，又所以，又所以，1-18，y的積分限為）。并驗(yàn)證斯托克設(shè)，試計(jì)算下述面積分：S為x-y平面第一象限內(nèi)半徑為3的四分之一圓（即x的積分限為斯定理。解：303xyz1-18，y的積分限為）。并驗(yàn)證斯托克設(shè)，試計(jì)算下述面積分：所以所以又，所以，斯托克斯定理成立。又，所以，斯托克斯定理成立。1-21在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度。試求點(diǎn)（2，2，0）處的，設(shè)（a）；（b）解：（a）所以；1-21在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度。試求點(diǎn)（2，2，0）處的，設(shè)（（b）所以，（b）所以，1-23求在點(diǎn)（2，3，1）處的梯度及沿方向的方向?qū)?shù)。解：所以，1-23求在點(diǎn)（2，3，1）處的梯度及沿方向的方向?qū)?shù)。解：習(xí)題及答案1.1

給定三個(gè)矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(3)A·B；(4)AB;(5)(AB)C，(AC)B;(6)(AB)·C，(AB)·C;解(1)A|＝B|＝|C|＝

習(xí)題及答案1.1給定三個(gè)矢量、和如下：解(1)A|＝(3)A·B=

=-1(2)(4)(3)A·B==-1(2)(4)(6)-(AC)·B=(AB)·C=(7ex-11ey-5ez)(2ex-1ez)=19(5)(AB)C=

(AC)B=(AB)C-(BC)A=-(2ex-1ez)-4(1ex+2ey-3ez)=-6ex-8ey+13ez

(6)-(AC)·B=(AB)·C=(7ex-11解

（1）三個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量分別為三角形三邊的對(duì)應(yīng)矢量為其中可見，該三角形為一直角三角形三角形的面積為：1-3角形的三個(gè)頂點(diǎn)為和。

（1）判斷是否為一直角三角形；

（2）求三角形的面積。解（1）三個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量分別為三角形三邊的對(duì)應(yīng)矢量為其中(1-4)給定矢量函數(shù)A=exy+eyx，試計(jì)算

(1)沿拋物線x＝2y2；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線從點(diǎn)P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的線積分的值解：(2)連接點(diǎn)P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的直線方程為

即(1)14(1-4)給定矢量函數(shù)A=exy+eyx，試計(jì)算解：(2)1.8若標(biāo)量函數(shù)為，試求在P(1,-2,1)點(diǎn)處的梯度。

解：

在P(1,-2,1)點(diǎn)處

1.8若標(biāo)量函數(shù)為1-14試證明：證明：

1-14試證明：證明：旋度和散度課件1.18已知矢量場(chǎng)F的散度

Fq(r)，旋度F=0，試求該矢量場(chǎng)。解：由F=0，可將F表示為F=，代入Fq(r)中，得到

＝q(r)，即

2＝q(r)F=

二階偏微分方程的解為：1.18已知矢量場(chǎng)F的散度Fq(r)，旋度§1.1

矢量表示法和運(yùn)算§1.2

通量與散度,散度定理

§1.3

環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

§1.4

方向?qū)?shù)與梯度,格林定理

§1.5

曲面坐標(biāo)系

§1.6

亥姆霍茲定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis§1.1

矢量表示法和運(yùn)算第一章矢量分析Chap基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用?；疽笳莆帐噶吭谡蛔鴺?biāo)系中的表示方法了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。旋度和散度課件物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母

A

大寫斜體字母加表示矢量的符號(hào)標(biāo)量：小寫斜體字母

u單位矢量：小寫上加倒勾ex物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母Aex

若一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,這個(gè)矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax,Ay,Az,則矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其運(yùn)算1.1.1矢量表示法及其和差若一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知A的單位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction則

A的單位矢量Unitvector和或差:Vector圖1-2矢量的相加和相減

圖1-2矢量的相加和相減

矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。它符合交換律:

1.1.2標(biāo)量積和矢量積定義：標(biāo)量積A·B是一標(biāo)量,其大小等于兩個(gè)矢量模值相乘,再乘以它們夾角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、標(biāo)量積Dotproduction

特點(diǎn)：1、矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者說矢量B在A上的分量）等于A?B/|A|2、|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cos并有互相垂直的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為03、4、并有互相垂直的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為03、4、

定義：矢量積A×B是一個(gè)矢量,其大小等于兩個(gè)矢量的模值相乘,再乘以它們夾角αAB(≤π)的正弦,其方向與A,B成右手螺旋關(guān)系,為A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交換律。由定義知,二、矢量積Crossproduction

特點(diǎn)：定義：矢量積A×B是一個(gè)矢量,其大小等于兩2、2、A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項(xiàng)是y→z,其第二項(xiàng)下標(biāo)則次序?qū)φ{(diào):z→y,依次類推。并有A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項(xiàng)是y圖1-3矢量乘積的說明圖1-3矢量乘積的說明矢量的三連乘也有兩種。標(biāo)量三重積:Scalartripleproduction

矢量三重積:Vectortripleproduction

公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。

1.1.3三重積

ABC矢量的三連乘也有兩種。矢量三重積:Vectortripl解：AB在C上的分量為：例：，求

給定兩矢量

和上的分量。

在解：AB在C上的分量為：例：，求給定兩矢量和上的分量。如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，，p和P已知，試求X

解：由P=AX，有AP＝A(AX)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確作業(yè)P311-11-3作業(yè)P311-11-3§1.2通量與散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1

矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述

矢量場(chǎng)的通量

定義：若矢量場(chǎng)A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則為矢量A沿有向曲面S的通量。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

在電場(chǎng)中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量；在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。

§1.2通量與散度,散度定理

Flux,diver通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫成

a)若，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；

b)若，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷就是接受電力線的負(fù)源；

c)若，閉合面無源。通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫成1.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意義1)矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性；2)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；3)矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；1、定義：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即1.2.2散度Divergenceofave3、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓表示為哈密頓拉普拉斯23、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓表示為哈密正源負(fù)源無源正源負(fù)源無源

散度的基本運(yùn)算公式

C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量散度的基本運(yùn)算公式C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度,因此直觀地可知,矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量,即從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域

V中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意義：上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]例點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點(diǎn)處電通量密度的旋度和散度課件可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點(diǎn)電荷q?？梢姡c(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解：例：球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解：例：

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

環(huán)量Curlofavectorfield矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強(qiáng)度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)處,上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。為此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定義和運(yùn)算1、定義：為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍2、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí),該面元矢量的方向。它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。若某區(qū)域中各點(diǎn)curlA=0,稱A為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。2、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積,即

計(jì)算▽×A時(shí),先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運(yùn)算,得

3、旋度的計(jì)算矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積,即計(jì)算▽×第一章矢量分析即

第一章矢量分析即4、旋度運(yùn)算規(guī)則:

在直角坐標(biāo)系中有

4、旋度運(yùn)算規(guī)則:在直角坐標(biāo)系中有任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。任一無散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度。任何旋度場(chǎng)一定是無散場(chǎng)任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零。任何旋度場(chǎng)一定是無一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，而一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；旋度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與通量源的關(guān)系；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的旋度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的散度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在通量源，因而稱之為無源場(chǎng)（或管形場(chǎng)）；在旋度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的旋度描述的是場(chǎng)分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

4、旋度與散度的區(qū)別：4、旋度與散度的區(qū)別：因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉曲線l上的環(huán)量就自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

求任意點(diǎn)處(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。

例自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)解：解：可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故

這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無旋場(chǎng)。

因可見,向分量為零;同樣,向和證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。

[證]設(shè)C為一任意常矢，則從而有（1-37）例1.4證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。從根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)

方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)與梯度§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,梯度gradient是一個(gè)矢量的模就是在給定點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向,亦即的變化率最大的方向。梯度gradient是一個(gè)矢量梯度運(yùn)算規(guī)則:

梯度運(yùn)算規(guī)則:2、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。任一無旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度任何梯度場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)。梯度的重要性質(zhì)2、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應(yīng)用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向?qū)?shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位矢量。適用于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)φ和ψ(2)說明：把式中的φ與ψ交換位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),則有矢量格林定理(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場(chǎng)的求解問題變換為邊界S上場(chǎng)的求解問題。如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布特性,便可利用格林定理求解另一場(chǎng)的分布特性。矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場(chǎng)的求參看圖1,場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y,′z′)間的距離為|R|,試證這里▽′表示對(duì)帶撇坐標(biāo)(x′,y′,z′)作微分運(yùn)算(將P取為定點(diǎn),P′為動(dòng)點(diǎn)):例：參看圖1,場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)與源點(diǎn)P′(x′,y,［證］

［證］即同理可得

即同理可得例:求P點(diǎn)的電位梯度▽?duì)?。?/p>

：在點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)中,P(x,y,z)點(diǎn)的電位為例:求P點(diǎn)的電位梯度▽?duì)?。解：在點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)中,P圖1-8柱坐標(biāo)系

§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系Cylindricalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系圖1-8柱坐標(biāo)系§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.

矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：

以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P點(diǎn)的矢量r,稱為P點(diǎn)的位置矢量或矢徑。在柱坐標(biāo)系中P點(diǎn)的位置矢量是

對(duì)任意的增量dρ,dφ,dz,P點(diǎn)位置沿,,方向的長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)分別為三者總保持正交關(guān)系,并遵循右手螺旋法則:

位置矢量二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P點(diǎn)每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉梅(G.Lame)系數(shù),分別為與三個(gè)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元和體積元分別是度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：面積元和體積元：每個(gè)坐標(biāo)長(zhǎng)度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sphericalcoordinatesystem三個(gè)單位矢量：矢量P三個(gè)坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sp遵循右旋法則:

矢量A在球坐標(biāo)系中的表示

：二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)度量系數(shù)：

遵循右旋法則:矢量A在球坐標(biāo)系中的表示：二、矢量表示及相面積元和體積元：

面積元和體積元：圖1-10三種坐標(biāo)間的變換

1.5.3三種坐標(biāo)的變換及場(chǎng)論表示式圖1-10三種坐標(biāo)間的變換1.5.3三種坐標(biāo)直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)

在柱坐標(biāo)中三個(gè)長(zhǎng)度元分別為dρ,ρdφ和dz,因而其算子相應(yīng)地?fù)Q為球坐標(biāo)長(zhǎng)度元為dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子為

算子

在柱坐標(biāo)中三個(gè)長(zhǎng)度元分別為dρ,ρdφ柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度

為了對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo),一個(gè)常用的公式是柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度為了對(duì)矢量函數(shù)求導(dǎo),一個(gè)常用的球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場(chǎng)中,距離r>>l處的電位為求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,φ)。解

：例1.7在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場(chǎng)中,距亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下:若矢量場(chǎng)F在無限空間中處處單值,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和,即§1.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)化表述如下:若矢量場(chǎng)F在無限空間中處處單值二.矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1)調(diào)和場(chǎng)

若矢量場(chǎng)F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0

則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)F為調(diào)和場(chǎng)。

注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。調(diào)和場(chǎng)，有源無旋場(chǎng)，無源有旋場(chǎng)，有源有旋場(chǎng)二.矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：如果，則稱矢量場(chǎng)F為無旋場(chǎng)。無旋場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即函數(shù)u稱為無旋場(chǎng)F的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位。

無旋場(chǎng)F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一結(jié)論等價(jià)于無旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q有關(guān)。標(biāo)量位u的積分表達(dá)式：2)有源無旋場(chǎng)

如果，則稱矢量場(chǎng)F為無旋場(chǎng)。由，有由，有函數(shù)A稱為無源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。無源場(chǎng)F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋場(chǎng)一般的情況下，如果在矢量場(chǎng)F的散度和旋度都不為零，即如果，則稱矢量場(chǎng)F為無源場(chǎng)。無源場(chǎng)F可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度，即3)無源有旋場(chǎng)函數(shù)A稱為無源場(chǎng)F的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。4)有源有旋場(chǎng)可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無源場(chǎng)Fs和無旋場(chǎng)Fi

的疊加，即其中Fs和Fi分別滿足

于是

因而，可定義一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得

可將矢量場(chǎng)F表示為一個(gè)無源場(chǎng)Fs和無旋場(chǎng)Fi的疊加，即其中常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式旋度和散度課件矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容

矢量場(chǎng)的表示方法和代數(shù)運(yùn)算和乘積運(yùn)算矢量場(chǎng)的散度和旋度標(biāo)量場(chǎng)的梯度曲面坐標(biāo)系亥姆霍茲方程矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容矢量場(chǎng)的表示方法和代數(shù)運(yùn)算和乘積運(yùn)算基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算了解矢量場(chǎng)散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。了解矢量場(chǎng)旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用?；疽笳莆帐噶吭谡蛔鴺?biāo)系中的表示方法了解標(biāo)量場(chǎng)的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會(huì)應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。旋度和散度課件本章重要公式本章重要公式旋度和散度課件旋度和散度課件例利用直角坐標(biāo)，證明

證明：例利用直角坐標(biāo)，證明證明：例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：A與B之間的夾角為

A在B上的分量為

例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey例：在的方向?qū)?shù)為求標(biāo)量函數(shù)＝x2yz的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量