數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)-生產(chǎn)函數(shù)專(zhuān)題

§5.2

生產(chǎn)函數(shù)模型(ProductionFunction

Models，P.F.)幾個(gè)重要概念以要

間替代性質(zhì)的描述為線索的生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展以技術(shù)要素的描述為線索的生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展幾個(gè)重要生產(chǎn)函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)方法生產(chǎn)函數(shù)模型在技術(shù)進(jìn)步分析中的應(yīng)用建立生產(chǎn)函數(shù)模型中的數(shù)據(jù)質(zhì)量問(wèn)題一、幾個(gè)重要概念⒈生產(chǎn)函數(shù)⑴定義描述生產(chǎn)過(guò)程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合同它可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。Y

f

(

A,

K,

L,)投入的生產(chǎn)要素最大產(chǎn)出量⑵

生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展從20年代末，數(shù)學(xué)家Charles

Cobb和Paul

Dauglas提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用1899-1922年的數(shù)據(jù)資料，導(dǎo)出了著名的Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)。1928年Cobb,

DauglasC-D生產(chǎn)函數(shù)1937年Dauglas,DurandC-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1957年SolowC-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1960年Solow含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)1967年Arrow等兩要素CES生產(chǎn)函數(shù)1967年Sato二級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)1968年Sato,Hoffman1968年Aigner,Chu1971年RevankerVES生產(chǎn)函數(shù)邊界生產(chǎn)函數(shù)VES生產(chǎn)函數(shù)1973年

Christensen,

Jorgenson

對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1980年

三級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)⑶生產(chǎn)函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)物生產(chǎn)函數(shù)是在西方國(guó)家發(fā)展起來(lái)的，作為西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一部分，與特定的生產(chǎn)理論與環(huán)境相聯(lián)系。西方國(guó)家發(fā)展的生產(chǎn)函數(shù)模型可以被我們所應(yīng)用：生產(chǎn)函數(shù)反應(yīng)的是生產(chǎn)中投入要素與產(chǎn)出量之間的技術(shù)關(guān)系；生產(chǎn)函數(shù)模型的形式是經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)物；不能照搬。⒉要素產(chǎn)出彈性（Elasticity

of

Output）⑴要素的產(chǎn)出彈性某投入要素的產(chǎn)出彈性被定義為，當(dāng)其它投入要素不變時(shí)，該要素增加1%所引起的產(chǎn)出量的變化率。EK

Y

K

f

KY

K

K

YY

L

f

LEL

Y

L

L

Y要素產(chǎn)出彈性的數(shù)值區(qū)間？為什么？⑵規(guī)模所有要素的產(chǎn)出彈性之和規(guī)模

不變規(guī)模

遞增規(guī)模

遞減為什么經(jīng)常將規(guī)模 不變作為生產(chǎn)函數(shù)必須滿(mǎn)足的條件？⒊要素替代彈性（Elasticity

of

Substitution）⑴要素的邊際產(chǎn)量(Marginal

Product)其它條件不變時(shí)，某一種投入要素增加一個(gè)單位時(shí)導(dǎo)致的產(chǎn)出量的增加量。用于描述投入要素對(duì)產(chǎn)出量的影響程度。MPK

f

/

KMPL

f

/

L邊際產(chǎn)量不為負(fù)。MPK

0,

MPL

0,

(

MPK

)

2

f

K

K

2

0

(

MPL

)

2

f

L

L2

0邊際產(chǎn)量遞減。⑵要素的邊際替代率(Marginal

Rate

of

Substitution)當(dāng)兩種要素可以互相替代時(shí)，就可以采用不同的要素組合生產(chǎn)相同數(shù)量的產(chǎn)出量。要素的邊際替代率指的是在產(chǎn)量一定的情況下，某一種要素的增加與另一種要素的減少之間的比例。MRSKL

K

/

L要素的邊際替代率可以表示為要素的邊際產(chǎn)量之比。MRSK

L

MPL

/

MPK

MRSLK

MPK

/

MPL從生產(chǎn)函數(shù)可以求得要素的邊際產(chǎn)量和要素的邊際替代率。⑶

要素替代彈性要素替代彈性定義為兩種要素的比例的變化率與邊際替代率的變化率之比。

d

(K/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(K

/

L)

(

MPL

/

MPK

)要素替代彈性是描述生產(chǎn)行為的重要參數(shù)，求得要素替代彈性是生產(chǎn)函數(shù)的重要應(yīng)用。要素替代彈性不為負(fù)。特殊情況：要素替代彈性為0、要素替代彈性為∞。⒋技術(shù)進(jìn)步⑴

廣義技術(shù)進(jìn)步與狹義技術(shù)進(jìn)步所謂狹義技術(shù)進(jìn)步，僅指要素質(zhì)量的提高。狹義的技術(shù)進(jìn)步是體現(xiàn)在要素上的，它可以通過(guò)要素的“等價(jià)數(shù)量”來(lái)表示。求得“等價(jià)數(shù)量”，作為生產(chǎn)函數(shù)模型的樣本觀測(cè)值，以這樣的方法來(lái)引入技術(shù)進(jìn)步因素。所謂廣義技術(shù)進(jìn)步，除了要素質(zhì)量的提高外，還包括管理水平的提高等對(duì)產(chǎn)出量具有重要影響的因素，這些因素是獨(dú)立于要外的。在生產(chǎn)函數(shù)模型中需要特別處理廣義技術(shù)進(jìn)步。⑵

中性技術(shù)進(jìn)步假設(shè)在生產(chǎn)活動(dòng)中除了技術(shù)以外，只有資本與勞動(dòng)兩種要素，定義兩要素的產(chǎn)出彈性之比為相對(duì)資本密集度，用ω表示。即

EL

/

EK如果技術(shù)進(jìn)步使得ω越來(lái)越大，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性比資本的產(chǎn)出彈性增長(zhǎng)得快，則稱(chēng)之為節(jié)約勞動(dòng)型技術(shù)進(jìn)步；如果技術(shù)進(jìn)步使得ω越來(lái)越小，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性比資本的產(chǎn)出彈性增長(zhǎng)得慢，則稱(chēng)之為節(jié)約資本型技術(shù)進(jìn)步；如果技術(shù)進(jìn)步前后ω不變，即勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性與資本的產(chǎn)出彈性同步增長(zhǎng)，則稱(chēng)之為中性技術(shù)進(jìn)步。在中性技術(shù)進(jìn)步中，如果要

比不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)為

中性技術(shù)進(jìn)步；如果勞動(dòng)產(chǎn)出率不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)為

中性技術(shù)進(jìn)步；如果資本產(chǎn)出率不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)為哈羅德中性技術(shù)進(jìn)步。二、以要 間替代性質(zhì)的描述為線索的生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展⒈線性生產(chǎn)函數(shù)模型(Linear

P.F.)Y

0

1

K

2

L

d

(

K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)(

K

/

L)

為什么？如果選擇線性生產(chǎn)函數(shù)，就意味著承認(rèn)什么假設(shè)？⒉投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)模型(Input-Output

P.F.)Y

min(

K

,

L

)a

b

0為什么？如果選擇投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)，就意味著承認(rèn)什么假設(shè)？⒊C-D生產(chǎn)函數(shù)模型Y

AK

LE

Y

K

Y

KK

A

K

1

L

Y

KE

YL

1

Y

L

Y

AK

L

L

L

d

(

K

/

L)(

K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)

1LMPK

d

(ln(

K

))MPd

(ln(

L

))L

d

(ln(

K

))L

d

(ln(

K

))LKd

(ln(

))L

Kd

(ln(

)

ln(

))在C-D生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨研究對(duì)象變化？是否合理？為什么？在C-D生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨樣本區(qū)間變化？是否合理？為什么？在C-D生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨樣本點(diǎn)變化？是否合理？為什么？C-D生產(chǎn)函數(shù)中每個(gè)參數(shù)的數(shù)值范圍是什么？為什么？⒋CES生產(chǎn)函數(shù)模型(Constan0f

Substitution)asticitymY

A(

K

L)21

d

(K

/

L)(K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)KMPL

d

(ln(

L

))d

(ln(

MP

))K11

替代彈性的推導(dǎo)過(guò)程？（獨(dú)立推導(dǎo)一遍）在CES生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨研究對(duì)象變化？是否合理？為什么？在CES生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨樣本區(qū)間變化？是否合理？為什么？在CES生產(chǎn)函數(shù)中要素的替代彈性是否隨樣本點(diǎn)變化？是否合理？為什么？CES生產(chǎn)函數(shù)中每個(gè)參數(shù)的數(shù)值范圍是什么？為什么？⒌VES生產(chǎn)函數(shù)模型(Variable

Elasticity0f

Substitution)⑴1968年Sato和Hoffman假定得到

(t)

a

b

t

(t

)1

(t

)

(t

)

)

(t

)1

(t

)1Y

B(L

(t

)

(1

)

K與CES有什么聯(lián)系與區(qū)別？⑵1971年RevankarK假定

a

b

Lka

bkZ

A

exp

dk

k

c()1

a其中

Z

Y

L

,

k

K

L當(dāng)b=0時(shí)，LkY

A

exp

dk

k

c(

a

)1

a

A

exp(

a

ln1

a

)1akc1

a1

a

k1aaaa1

a

,

Ae

AYL

A(a1

a

ck

a1

a

k

)

1A(ak

c)1

a

1令Y

A(a

(KL)

c)

L1

a

1

A(a1

a

K

cL

)

1為CES模型。為什么？當(dāng)b=0，a=1時(shí)，Y

A

exp

dk

L

k

(1

c)ln

k1

A

exp(1

c)

Ak

1c1

1

1

cY

AK

1c

L

1c

L

AK

1c

L1c為C-D生產(chǎn)函數(shù)。為什么？當(dāng)a=1時(shí)，

1

bkb1

cY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1cbc(

)m1(

)mY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1c為實(shí)際應(yīng)用的VES生產(chǎn)函數(shù)。為

“變替代彈性”？⒍對(duì)數(shù)生產(chǎn)函數(shù)模型

(Translog

P.F.)如果，表現(xiàn)為何種時(shí)常函數(shù)？如果，表現(xiàn)為何種時(shí)常函數(shù)？

LL

(ln

L)

ln

K

ln

L2KL

K

ln

K

L

ln

L

KK

(ln

K

)2ln

Y

0KK

LL

KL

0KKLLKL

1

2⒎多要素生產(chǎn)函數(shù)模型⑴多要素線性生產(chǎn)函數(shù)模型Y

0

1

K

2

L

3

E⑵多要素投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)模型Y

min(

K

,

L

,

E

)a

b

c⑶多要素C-D生產(chǎn)函數(shù)模型Y

AK

L

E⑷多要素一級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)模型m1Y

A(

K

L

E

)1

2

3要

間的替代彈性是否相同？是多大？為什么？⑸多要素二級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)模型YKE

(a1

K

a

E

)m1

KE

2Y

A(b

Y

b

L

)21

1

1

1要

間的替代彈性是否相同？是多大？為什么？⑹多要素三級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)模型三、以技術(shù)進(jìn)步的描述為線索的生產(chǎn)函數(shù)模型的發(fā)展⒈將技術(shù)要素作為一個(gè)不變參數(shù)的生產(chǎn)函數(shù)模型Y

AK

L

mY

A(

K

L

)1

2ka

bkZ

A

exp

dk

k

c()1

a⒉改進(jìn)的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型0參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義是什么？關(guān)于技術(shù)進(jìn)步的假設(shè)是什么？為什么？Y

A(t)K

L0Y

A

(1

)t

K

LY

A

et

K

L⒊改進(jìn)的CES生產(chǎn)函數(shù)模型關(guān)于技術(shù)進(jìn)步的假設(shè)是什么？為什么？m12Y

A

(1

)t

(

K

L0

1)Y

A

em10 1 2t(

K

L

)⒋含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型⑴總量增長(zhǎng)方程Y

A

K

LY

A

K

L⑵分離資本質(zhì)量的含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型Y

AJ

Lt

t

t

ttmttJ

Km0(1

)mJ

K

aJ

KY

A

(

a

K

)

LY

A

K

L⑶分離勞動(dòng)質(zhì)量的含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)模型L

(

b

L

)K

(

a

K

)AY

AY⒌引入人力資本的生產(chǎn)函數(shù)模型Lucas（1988）為了解決技術(shù)內(nèi)生問(wèn)題，提出人力資本的概念，Romer等人（1992）提出包括人力資本的生產(chǎn)函數(shù)模型⒍邊界生產(chǎn)函數(shù)模型⑴確定性邊界生產(chǎn)函數(shù)Y

f

(K,

L,)eu⑵隨機(jī)邊界生產(chǎn)函數(shù)(u

0)Y

f

(K,

L,)evu

(

f

(K,

L,)ev

)eu四、幾個(gè)重要生產(chǎn)函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)方法⒈C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及其改進(jìn)型的估計(jì)⑴線性估計(jì)方法Y

AK

L

⑵非線性估計(jì)方法Y

AK

L

能否線性化，與假設(shè)有關(guān)。哪個(gè)方法更合理？⒉CES生產(chǎn)函數(shù)模型及其改進(jìn)型的估計(jì)m

Y

A(

K

L

)21lnY

ln

A

mln(

K

L

)

1

2))

KLlnY

ln

A

mln

K

mln

L

1

m

(ln(21

2

1

2Z

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

假設(shè)？誤差？2⒊VES生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)bc(

)m1(

)mY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1c

lnY

ln

A

m

ln

K

cm

ln(

L

K)

1

c

1

c

1

cbln(

L

K)

ln(

L

K)

Z()b1

cLZ

()

ln

L

K

0()lnY

ln

A

ln

K

cm

ln

L

1

c

1

c

(1

c)2mcmbLK

Z

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

⒋二級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)模型的估計(jì)二級(jí)CES生產(chǎn)函數(shù)為：YKE

(a1

K

a

Em1

KE

2Y

A(b

Y

b

L

))

12111由第2級(jí)函數(shù)展開(kāi)取近似，得到：mb

b

(ln(YLKElnY

ln

A

b

mlnYKE12121

2

b

mln

L

2))

由第1級(jí)函數(shù)展開(kāi)取近似，得到：(ln(

))KE2KE

1

2

1

1

2lnY

a

ln

K

a

ln

E

1

aa2代入前式，得到：ln

Y

ln

A

b1ma1

ln

K

b1ma2

ln

E

b2

m

ln

L2

212

2K

K

1

mb

1a1a2

(ln(

))

1

mb1b2

(ln(

))

E

LZ

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

4

X

4

5

X5

代入后的式中有多個(gè)二次項(xiàng)，應(yīng)該選擇多少項(xiàng)？為什么？是否造成估計(jì)結(jié)果的任意性？⒌含體現(xiàn)型技術(shù)進(jìn)步生產(chǎn)函數(shù)模型的估計(jì)估計(jì)的生產(chǎn)函數(shù)為：Y

A

(

a

K

)

L

Y

A

K

L直接作為線性模型估計(jì)：Zt

0

X1t

X

2t

t關(guān)鍵是如何得到X1t的樣本觀測(cè)值⒍確定性統(tǒng)計(jì)邊界生產(chǎn)函數(shù)模型的修正的普通最小二乘估計(jì)（Corrected

OLS,COLS）采用C-D生產(chǎn)函數(shù)形式：Y

f

(K,

L,)euY

AK

L

eulnY

ln

A

ln

K