2018高考全國卷2理科數(shù)學真題

--可編輯修改-2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷共23題，共150分，共5頁。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1-211.l-2iTOC\o"1-5"\h\z43.43.34.34,■■-]B.IC.1D.■—55555555已知集合A={(x,y)|x2+y2<3,x€Z,y€Z},則A中元素的個數(shù)為A.9B.8C.5D.4函數(shù)f(x)=e2-e-x/x2的圖像大致為A.B.C.1212D.4.已知向量a,b滿足Ia1=1,ab=-1,則a?(2a-b)=A.4B.3C.2D.O雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為存F，則其漸進線方程為TOC\o"1-5"\h\zA.y=±'像xB.y=±、険xC.y=±D.y=±、、22CJ在-?中，cos.=，BC=1，AC=5，貝UAB=25A.4B..小C.」D.2；1L1117.為計算s=1-—+-—+-??+—-設計了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應填入2^499.'4：，A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的素數(shù)中,A.隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的得了世界領(lǐng)先的成果。和”,如30=7+23,概率是哥德巴赫猜在不超過30的9.9.在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=1,AA仁'、則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為--可編輯修改---可編輯修改-的直線上,6B.111C.-D.-的直線上,6B.111C.-D.-23⑷A..-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線y=2ln（x+1）在點（0,0）處的切線方程為x+2y-5補0,\|；「，則z=x+y的最大值為x-5<0,14.若x,y滿足約束條件15.已知sina+cos3=1,cosa+sin3=0，貝Usin（a+3）=一716?已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為一，SA與圓錐底面所成角為45。，若ZSAB的面積為「I則該圓錐的側(cè)面積為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17?21題為必考題，每個試題考生（12分）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，已知ai=-7,Si=-15。（1）求｛an｝的通項公式；（2）求Sn,并求Sn的最小值。（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖A.1B.3—5S210.若f(X)=cosx-sinx在[-a,a］是減函數(shù)，則a的最大值疋XnA.4B.C.D.n厶411.已知fCx）是定義域為（-oo,+o）的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2，貝yf(1)+f(2)(3)+…+f(50)=A.-50B.0C.2D.5012.已知Fi,F2是橢圓C:匚一，二=1（a>b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點12.已知Fi,川b2PF1F2為等腰三角形，/FiF2P=120。，則C的離心率為

2000年年至2016為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型。根據(jù)至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：■■=-30.4+13.5t；根據(jù)2010年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，72000年年至2016分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由。|AB|=8。(12分)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線I與C交于A,B兩點,(1)求|AB|=8。(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程。20.(12分)如圖，在三棱錐20.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2,O為AC的中點。(1)證明：PO丄平面ABC;(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值。21、(12分)已經(jīng)函數(shù)f(x)=ex-ax2。(1)若a=1,證明：當x>0時，f(x)>1;(2)若f(乂)在(0,+R)只有一個零點，求a。（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22、［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］22、［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標系中xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<x=1+tcosa八出會舷、.■（t為參數(shù)）。（1）求C和I的直角坐標方程；y=4sin6（0為參數(shù)），直線I的參數(shù)方程為,（2）若曲線C截直線I所得線段的中點坐標為（1,2），求I的斜率。23:［選修4-5:不等式選講］（10分）設函數(shù)f（x）=5-|x+a|-|x-2|。（1）當a=1時，求不等式f（x）>0的解集;（2）若f（x）w1時，求a的取值范圍。參考答案：一、選擇題1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D、填空題13.y2x14.9115.—16.40-一2n2三、解答題17.（12分）解：（1）設｛an｝的公差為d，由題意得3a13d15由a17得d=2.所以｛an｝的通項公式為an2n9.(2)由2(1)得Snn8n(n4)216所以當n=4時,Sn取得最小值，最小值為-16.18.（12分）解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為?30.413.519226.1（億元）.利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為?9917.59256.5（億元）.（2）利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下：（i）從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t上下?這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線-可編輯修改-x-x-可編輯修改-性模型y9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠?學?科網(wǎng)(i)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理?說明利用模型②得到的預測值更可靠?以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分19.(12分)解：(1)由題意得F(1,0)設A%,yj,B(X2,y2),yk(x1)，22由2得k2x2y24x,l的方程為(2k24)xyk(x1)(k0).k20.16k2160,故X22k2|BF|(Xi1)(X21)4k244k24由題設知戶k因此I的方程為y(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(X0，y。)，則y°X05，2(y0X01)2(X01)8，解得k1(舍去)，k1.2因此所求圓的方程為解得16.X0y。3，X011,或2y°6.(x223)(y2)2216或(x11)2(y6)2144.20.(12分)解：(1)因為APCP連結(jié)OB.因為ABBCAC4,O為AC的中點，所以OPAC，且OP2.3上2AC，所以△ABC為等腰直角三角形，2且OB由OP2由OP1AC2.2OB2PB2知POOB.OB，OPAC知PO平面ABC.uunAC,OB(2)如圖，以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.--可編輯修改-22.122.1.-可編輯修改-uun由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2,3),AP(0,2,23),取平面PAC的法向量uuuOB(2,0,0).uuur設M(a,2a,0)(0a2)，則AM(a,4a,0).設平面PAM的法向量為n(x,y,z).uuuuuu由APn0,AM2y2、3z0(4a)y所以..umcos:OB,nn0得ax2、.3(a4)，可取0n6.3(a4),、一3a,a),所以2\3(a4)23a24|二遼?解得222?由已知得|cosOB,n：|-3所以2>/3|a2、3(a4)23a2a28「3434uuu—,3).又PC(0,2,33所以PC與平面4(舍去)，2,3)，所以PAM所成角的正弦值為子umcosPC,n(x21)ex(x21)ex12x2(x2x1)e(x1)e)單調(diào)遞減.f(x)1.1時，f(x)1等價于1)ex1，則g'(x)0，所以g(x)在(0,【解析】(1)當設函數(shù)g(x)(當x1時，g'(x)而g(0)0,故當x0時，g(x)0,即2x(2)設函數(shù)h(x)1axe.f(x)在(0,)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,)只有一個零點.當a0時，h(x)0,h(x)沒有零點；x當a0時，h'(x)ax(x2)e.當x(0,2)時,h'(x)0;當x(2,)時，h'(x)0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增.故h(2)14a2e-是h(x)在［0,)的最小值.學&科網(wǎng)①若h(2)0,即ae2-,h(x)在(0,4)沒有零點；②若h(2)0,即a2e-,h(x)在(0,4)只有一個零點；③若h(2)0,即a2e-，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一個零點,4由(1)知，當x0時，exx2，所以h(4a)故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,2

e4綜上，f(x)在(0,)只有一個零點時，a彳16a'16a31~1/2a、2e(e))有兩個零點.16a3(2a)422

y_16［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］(10分)2

x【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為—4當cos0時，I的直角坐標方程為ytanx2tan,當cos0時，I的直角坐標方程為x1.(2)將I的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.①因為曲線C截直線I所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設為