習(xí)題1：隨機(jī)變量及其分布全章綜合測(cè)試題

章末質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X123Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)則E(X＋2)的值為()．\f(11,3)B．9\f(13,3)\f(7,3)解析∵E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(14,6)＝eq\f(7,3).∴E(X＋2)＝E(X)＋2＝eq\f(7,3)＋2＝eq\f(13,3).答案C2．某一供電網(wǎng)絡(luò)，有n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中使用電的機(jī)會(huì)是p，供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是()．A．np(1－p)B．npC．nD．p(1－p)解析供電網(wǎng)絡(luò)中一天用電的單位個(gè)數(shù)服從B(n，p)，故所求為np.答案B3．口袋中有5只白色乒乓球，5只黃色乒乓球，從中任取5次，每次取1只后又放回，則5次中恰有3次取到白球的概率是()．\f(1,2)\f(3,5)\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(5,10))D．Ceq\o\al(3,5)·解析任意取球5次，取得白球3次的概率為Ceq\o\al(3,5)··(1－2＝Ceq\o\al(3,5).答案D4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,7)(k＝0，1，2，…，7)，則E(X)為()．\f(1,7)\f(5,7)C．1D．4解析依分布列特點(diǎn)知E(X)＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.答案D5．對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是()．\f(3,5)\f(2,5)\f(1,10)\f(5,9)解析記“第一次摸出正品”為事件A，“第二次摸到正品”為事件B，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,9),Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(5,9).答案D6．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，則P(－1＜ξ＜0)等于()．\f(1,2)pB．1－pC．1－2p\f(1,2)－p解析本題主要考查了正態(tài)分布及隨機(jī)變量的概率問題．由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，1)，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖可得P(－1＜ξ＜0)＝eq\f(1,2)－P(ξ＜－1)＝eq\f(1,2)－P(ξ＞1)＝eq\f(1,2)－p.答案D7．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為，則本次比賽甲獲勝的概率是()．A．B．C．D．解析甲獲勝有兩種情況，一是甲以2∶0獲勝，此時(shí)p1＝＝；二是甲以2∶1獲勝，此時(shí)p2＝Ceq\o\al(1,2)·××＝，故甲獲勝的概率為p1＋p2＝.答案D8．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生成績(jī)X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為()．A．(90，100]B．(95，125]C．(100，120]D．(105，115]解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq\f(57,60)＝≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．答案C9．將三顆骰子各擲一次，記事件A表示“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，事件B表示“至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于()．\f(91,216)\f(5,18)\f(60,91)\f(1,2)解析三顆骰子各擲一次，點(diǎn)數(shù)共有6×6×6＝216種，事件eq\o(B,\s\up6(－))表示“三次都沒有出現(xiàn)3點(diǎn)”，共有5×5×5＝125種，則P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(125,216)＝eq\f(91,216)，P(AB)＝eq\f(5×4×Ceq\o\al(1,3),216)＝eq\f(5,18)，所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(60,91).答案C10．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))，已知他投籃一次得分的均值為2(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為()．\f(1,48)\f(1,24)\f(1,12)\f(1,6)解析由已知，得3a＋2b＋0×c＝2，得3a＋2b＝2，所以ab＝eq\f(1,6)×3a×2b≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6).答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?，若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為eq\f(1,3)，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝________．解析考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，即有P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(k)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5－k)，k＝0，1，2，3，4，5.∴P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(10,243).答案eq\f(10,243)12．兩個(gè)人射擊，甲，乙各射擊一次中靶的概率分別是p1，p2，且eq\f(1,p1)，eq\f(1,p2)是關(guān)于x的方程x2－5x＋m＝0(m∈R)的兩個(gè)根，若兩人各射擊5次，甲射擊5次中靶的期望是.則p1＝________．p2＝________．解析由題意知甲服從X～B(5，p1)，∴E(X)＝5p1＝∴p1＝eq\f(1,2)，又∵eq\f(1,p1)＋eq\f(1,p2)＝5.∴p2＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,2)eq\f(1,3)13．若100件零件中包含10件廢品，現(xiàn)從中任取兩件，已知取出的兩件中有廢品，則兩件都是廢品的概率為________．解析設(shè)事件A為“取出的兩件中有廢品”，事件B為“取出的兩件都是廢品”，由題意，顯然，A∩B＝B，而P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,90)＋Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,100))，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,100))，故P(B|A)＝eq\f(P（B）,P（A）)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,90))＝eq\f(1,21).答案eq\f(1,21)14．設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0，1)的直線，l的斜率等可能的?。?eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2).用ξ表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________．解析設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.則原點(diǎn)到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(k2＋1)).當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1；當(dāng)k＝±eq\f(\r(5),2)時(shí)，d＝eq\f(2,3)；當(dāng)k＝±eq\r(3)時(shí)，d＝eq\f(1,2)；當(dāng)k＝±2eq\r(2)時(shí)，d＝eq\f(1,3).所以ξ的分布列為ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)E(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7).答案eq\f(4,7)三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽需回答3個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第1、2、3個(gè)問題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第1、2、3個(gè)問題的概率分別為、、.且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．解記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問題”為事件Ai(i＝1，2，3)，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.(1)這名同學(xué)得300分的概率為：P1＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)P(A3)＝××＋××＝.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝＋××＝.16．(10分)一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè)．某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率．解設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i＝1，2)，則A＝A1∪(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)表示不超過2次就按對(duì)密碼．因?yàn)槭录嗀1與事件eq\o(A,\s\up6(－))1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5).(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5).17．(10分)(2022·江南十校聯(lián)考)某儀表廠從供應(yīng)商處購置元器件20件，雙方協(xié)商的驗(yàn)貨規(guī)則是：從中任取3件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若3件中無不合格品，則這批元器件被接受，否則就要重新對(duì)這批元器件逐個(gè)檢查．(1)若該批元器件的不合格率為10%，求需對(duì)這批元器件逐個(gè)檢查的概率；(2)若該批元器件的不合格率為20%，求3件中不合格元器件個(gè)數(shù)的分布列與期望．解記3件元器件中有X件為不合格品．(1)P＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,18),Ceq\o\al(3,20))＝eq\f(27,95)；(2)X的可能取值為：0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,16),Ceq\o\al(3,20))＝eq\f(28,57)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,16),Ceq\o\al(3,20))＝eq\f(8,19)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,16),Ceq\o\al(3,20))＝eq\f(8,95)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,20))＝eq\f(1,285)，∴X的分布列如下：X0123Peq\f(28,57)eq\f(8,19)eq\f(8,95)eq\f(1,285)E(X)＝0×eq\f(28,57)＋1×eq\f(8,19)＋2×eq\f(8,95)＋3×eq\f(1,285)＝eq\f(171,285)＝eq\f(3,5).18．(12分)在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N(70，100)．已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12人．(1)試問此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？(2)若成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)為優(yōu)，試問此次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？解(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄，因?yàn)閄～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.則P(X≥90)＝P(X≤50)＝eq\f(1,2)[1－P(50＜X＜90)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)×(1－4)＝8，12÷8≈526(人)．因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝eq\f(1,2)[1－P(60＜X＜80)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(1－6)＝7，得526×7≈83.因此，此次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為83人．19．(12分)(2022·承德高二檢測(cè))市環(huán)保局舉辦2022年“六·五”世界環(huán)境日宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“環(huán)保會(huì)徽”或“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案．參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡即可獲獎(jiǎng)．(1)活動(dòng)開始后，一位參加者問：盒中有幾張“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡？主持人笑說：我只知道若從盒中抽兩張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡的概率是eq\f(1,3).求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；(2)現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)．求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)．解(1)設(shè)“環(huán)保會(huì)徽”卡有n張，由eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，得n＝6.故“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡有4張．抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15).(