第八章第7節(jié)多元函數(shù)極值及其求法

第七節(jié)多元函數(shù)的極值與最值第七節(jié)多元函數(shù)的極值與最值一、問(wèn)題的提 1一元函數(shù)

y

(x)yy1x32x42實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣(mài)x元，外地牌子每瓶y元，則每天可賣(mài)

705x4y瓶地牌子的果汁806

7

瓶外地牌子的果取得最大收益？每天的收益

f(

y)(x1)(705

4y)(

1.2)(806

7y)求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值3二、多元函數(shù)的極值和最

z

ex2y2

41、二元函數(shù)極值的定設(shè)函數(shù)z

f(

y)在點(diǎn)x0

y0的某鄰若滿(mǎn)足不等式fx,yfx0y0)，則稱(chēng)函數(shù)x0

y0

f(

y)

f(x0

y0)，則稱(chēng)函數(shù)在x0

y0有極極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極5例如 (0,0)有極小值 z(0,0)有極大值在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值 x6對(duì)一元函數(shù):2、多元函數(shù)取得極值的條定理1（必要條件設(shè)函數(shù)z

f(

y在點(diǎn)x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)x0

y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零

fx(x0

y0)

fy(x0

y0)0.證不妨設(shè)z

f(

y)在點(diǎn)x0

則對(duì)于x0,y0)的某鄰域內(nèi)任(x,

y)(x0

y0

(

y)

f(x0

y0),7故當(dāng)y

y0，x

x0

f(

y0)

f(x0

y0),

f(

y0)在x

x0處有極大值必 fx(x0,y0)0;類(lèi)似地可

fy(x0

y0)0.如果三元函數(shù)u

f(

y,z)在點(diǎn)Px0

y0,z0具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在P(x0件

y0z0)有極值的必要fx(x0

y0,z0)

fy(x0

y0,z0)0，fz(x0,y0,z0)0.8的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).注意

駐 極值 點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z

xy的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)2（充分條件設(shè)函數(shù)z

f(

y)在點(diǎn)x0

y0的某鄰域內(nèi)連續(xù)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)9又fxx0

y0)

fy(x0

y0)0，令fxxx0fyy(x0

y0)A，y0)C

fxy(x0

y0)Bf

在點(diǎn)x0

y0)處是否取得極值的條件如下

B2

當(dāng)A

B2B2

例4.

f(

y)

x3

y33x2

3y2

9x解:第一步求駐點(diǎn)fx(

y)

3x2

6x9f解方程組f

y(

y)

3y2

6yfyy(xfyy(x,y)6yCB第二步判別

fxyfxy(x,y)fxx(x,y)6x

A12,

B0,

C6,AC

12

0

A

f(1,0)

5為極小

A12

B0,

AC

12(6)0

f(1,

例4

f(

y)

x3

y33x2

3y2

9(1,0(1,2)–3,0(–3,2)fyy(fyy(x,y)6yfxx(x,y)6x6,fxy(x,y)0,

A12

B0

C6AC

1260

f(3,

A12

B0

CAC

0

A0f(3,

例5.z

x3

z(x2解(0,0)ACB2zx3y3在(0,0y2y2并可能為zyox0zyox0

0時(shí)

z(x2

y2

z(0,0)因此

(x2

y2)2

(0,0

求函數(shù)z

f(

y)第一步

fx(x,y)

fy(

y)第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)x0y0，第三步定出ACB2的符號(hào)，再判定是否是極值3、多元函數(shù)的最求最值的一般方法將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.例 求二元函數(shù)z

f(

y)

x2y(4xy)在直線(xiàn)xy6xy軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值D 如圖D先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)xxyDox

y)

2xy(4x

y)

x2yfy(

y)

x2(4x

y)

x2y得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)(2,1,f(2,14,

(

y)在D邊界上的最值在邊界

0和

0

(

y)0,在邊界x

6上，即

6xxyDox

(

y)

x2(6

x)(2),由f

4x(

6)

2x20,得

0,x2

y6

x|x4f(4,2)比較后可

(2,1)

4為最大值f(4,2)64為最小值7求z

x

x2y2(x2

y21)2x(xy)解由zx

(x2y2

(x2

y21)2y(xy)zy

(x2y2

22得駐點(diǎn)(22

,1)和

1

1),2222

x xx xy

y22z(2

,1) 1

z(

1

1)1222222222222

1，最小值為12無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.2 積為2m3的有蓋長(zhǎng)方 解: 長(zhǎng),寬分別為x,ym,則高為2 xA

xy

yx

xx

2xyx

x0y0

2yx2

(32,32Ay

2xy2

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為

, 32時(shí) 323三、條件極 日乘數(shù)實(shí)例：小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái) 種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán) 磁帶，設(shè)x張磁盤(pán) 磁帶達(dá)到最佳效果效果函數(shù)

U(

y)

ln

y．設(shè)每張盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這元以達(dá)到最佳效果問(wèn)題的實(shí)質(zhì)Uxylnx

y在8x10y200下的極值點(diǎn)無(wú)條件極值

條件極值對(duì)自變量除定義域限制外條件極值的求法

(x,y)

下z

f

y)的極值方法 代入

(x,y)

下z

f

y)的極化 從條化

(x,

0

y

(x)求一元函數(shù)z

f(

(x))

(x,

0下z

f

分析

(x,y)

y

(x)則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)z

f

極值問(wèn)題,

dydzf

dy d

d

yd

ffx

f

yy

fyy

(x,

0下求函數(shù)z

f

y)的極值

xxf

xy F

f

y)

(x,y)xFx

fxfy

x y

輔助函數(shù)F稱(chēng) 日(Lagrange)函數(shù)利 推推u

f

yz)

y,

0,

y,

0 F

f

y,

1

y,z)

y,Fx

fx1x

2xFy

fy1

2y

Fzfz1

2z F

要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V0的長(zhǎng)方體開(kāi)口 ,試問(wèn)解

x,

z分別表示長(zhǎng),寬,高

xyz在條件xyzV0

S2(xz

yz)

xy最小令F2(xzyz

xy(xyzV0Fx2z

yyz

Fy2z

xxz Fz2(xy)xy FxyzV0 得x

y2z 2V

0V 0V0由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,因此,當(dāng)高為 4 10將正12分成三個(gè)正數(shù)xyzux3y2z為最大F

y,z)

x3y2z

(x

y

F3x2y2z

2x3yzFzx x

y

解得唯一駐點(diǎn)

422

11在第一卦限內(nèi)作橢球

y22a2 b22

z2 c2 的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)Px0

y0z0為橢球面上一點(diǎn)令F

y,z)

2a2 b22

z2c2

則

|P

2x0a2

|P

2y0b2

2z0c過(guò)Px0y0z0x0(xa2

x0)b2

(y

y) z0c2z0

(zz0)0,

xx0yy0z

a2 b2 c2a2 b2 c2x ，y ，z 1

a2b2c

xyz6

6

y0z0x在條件

y y

zz

1求V

a2b2c2

的最小值a b2 c

6

y0令u

ln

ln

lnz0G(x0

y0,z0

x2 y2 z2ln

ln

ln

(a2

b2

c2

Gy

0y由y a2

y2y c2

,112x0xa xxa300300y1y

b2y0 b 可

y0 00

2z0

33z

32 32y2 z2 0

0 01a2

b2 c2

333(abc)時(shí)333

abc.323四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn)

z

(x,

y),

一般問(wèn)題 日乘數(shù)法

z

(x,

(x,

0下的極值

第一步找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域(及約束條件)第二步判別練習(xí)與思考1

f(x0

y)

f(

y0)在x0

y0點(diǎn)均取得極值f(

y)在點(diǎn)x0

y0)是否也取得極值解答不是 例

f(

y)

x2

y2,當(dāng)x

0

f

y)

y2(0,0取極大值當(dāng)y

0時(shí)

f(x,0)

x2(0,0取極小值f

y)

x2

y2(0,0不取極值22、A13B(422

1(x

y

C,△ABC面積S△最大 解答提示則

C(x,i3xi3x1j1yk00

C 12

3y10

(0,2

3y10)2SC 2

AB B

C

2

x3y108x

9y236

x0

y0得駐 對(duì)應(yīng)面 比較可知，點(diǎn)C與E重合時(shí)三角形面積最大 不同，第一個(gè)工廠(chǎng)生 件產(chǎn)品和第二個(gè)工廠(chǎng)生件產(chǎn)品時(shí)的總成本是;解：根據(jù)題意是

x

2x5y

y

代入F

4y5x

125 xy xy

375yy工廠(chǎng)生產(chǎn)37