連續(xù)型隨機(jī)變量

關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六定義退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱(chēng)f(x)

為X的概率密度.使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù)f(x),

第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六引例1：一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤(pán)，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比，射擊均能中靶，用X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求X的分布函數(shù)。解：由第一節(jié)可知，X

的分布函數(shù)為Xx≥<<=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxF考慮函數(shù)f(x)=x/2,0<x<2;0,其它退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六f(x)的變上限積分為x1O2=)(xFF(x)1x1O2f(x)1退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率密度所對(duì)應(yīng)的平面曲線(xiàn)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率曲線(xiàn)，Oxf(x)x分布函數(shù)值F(x)是概率曲線(xiàn)下從

到x的一塊面積。第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六驗(yàn)證性質(zhì)1和性質(zhì)2是判斷一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的方法。1.2.Of(x)x1退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率密度的性質(zhì)：第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例1：（密度函數(shù)的判定）驗(yàn)證是概率密度函數(shù).解：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，f(t)非負(fù)，又則f(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例2：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）系數(shù)A;（2）X的分布函數(shù).解：參數(shù)的確定第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六所求分布函數(shù)為退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄由密度函數(shù)求分布函數(shù)第9頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄f(x)Oxx1x23.4.第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處有看出概率密度的定義與物理學(xué)中的線(xiàn)密度的定義相類(lèi)似,這就是為什么稱(chēng)f(x)為概率密度的原因.

退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄5.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)在上的連續(xù)函數(shù).離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是右連續(xù)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)的第12頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄6.注：1）設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任一指定實(shí)數(shù)，有2）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任意數(shù)值的概率均為0.概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件.第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六概率密度的性質(zhì)：1.2.3.4.5.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)在上的連續(xù)函數(shù).6.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任一指定實(shí)數(shù)，有退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）P{-1<X<1};（2）P{X=2}解：(2)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量，所以概率的計(jì)算第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六例4退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄由分布函數(shù)求密度函數(shù)第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例5：從一批子彈中任意抽出5發(fā)試射，如果沒(méi)有一發(fā)子彈落在靶心2cm以外，則整批子彈將被接受.設(shè)彈著點(diǎn)與靶心的距離X(cm)的概率密度為求（1）系數(shù)A;（2）該批子彈被接受的概率.解：第17頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六所以，該批子彈被接受的概率為設(shè)表示第i發(fā)子彈合格的事件，則相互獨(dú)立，且退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六幾種連續(xù)型分布退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄1.均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱(chēng)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為

X~U(a,b).第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六均勻分布的密度函數(shù)f(x)的圖形af(x)bOx退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄均勻分布常用來(lái)描述在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值，在某段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)到達(dá)，誤差分布等。第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六若隨機(jī)變量X~U(a,b),

則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴(lài)于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).任給長(zhǎng)度為l的子區(qū)間(c,c+l),ac<c+lb,有均勻分布的特點(diǎn)：退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六某觀(guān)光電梯從上午8時(shí)起，每半小時(shí)運(yùn)行一趟.某人在上午8點(diǎn)至9點(diǎn)之間到達(dá)，試求他等候時(shí)間少于5分鐘的概率．

退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例5：設(shè)X表示某人到達(dá)的時(shí)間，則解：為了使等候時(shí)間少于5分鐘，此人應(yīng)在電梯運(yùn)行前5分鐘之內(nèi)到達(dá)，所求概率為第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六設(shè)隨機(jī)變量Y服從(0,5)上的均勻分布，求方程退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例6：有實(shí)根的概率.解：故方程有實(shí)根的概率為第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六

例7:在數(shù)值計(jì)算中,由于四舍五入引起的誤差X服從均勻分布.如果小數(shù)后面第五位按四舍五入處理,試求誤差在0.00003和0.00006之間的概率.

解法1由題設(shè)知,誤差在[-0.00005,0.00005]上服從均勻分布,所以X的概率密度為故所求概率為:P{0.00003x0.00006}=退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六

Ω={x|x0

-0.00005xx0+0.00005}隨機(jī)投一點(diǎn),而事件A={誤差在0.00003與0.00006之間}={x|x0

+0.00003xx0+0.00005}從而P{A}=

解法2設(shè)真值為x0,舍入為x,由于舍入值x在x0-0.00005與x0+0.00005之間的任一值都是等可能的.問(wèn)題歸結(jié)為向直線(xiàn)區(qū)域退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第25頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱(chēng)X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄2.

指數(shù)分布

X的分布函數(shù)為第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六若X服從指數(shù)分布,則任給s,t>0,有

P{X>t+s|X>t}=P{X>s}，

事實(shí)上指數(shù)分布常用來(lái)描述處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的元件壽命.退出前一頁(yè)目錄指數(shù)分布的特點(diǎn)：無(wú)后效性（無(wú)記憶性）后一頁(yè)第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六3.正態(tài)分布(GAUSS

分布)設(shè)隨機(jī)變量X

的概率密度函數(shù)為其中m,s

(s>0)是常數(shù)，Rx∈j(x;m,s2

)=

,e(x–m)-2s2221ps則稱(chēng)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為m，s2

的正態(tài)分布(或高斯分布)，記為X~N(m,s2

)。特別地,當(dāng)m=0,s=1時(shí),其概率密度函數(shù)為Rx∈

,j(x

)=j(x;0,1)=e

x-2221p則稱(chēng)隨機(jī)變量X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即X~N(0,1)退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第28頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六1)正態(tài)分布概率密度曲線(xiàn)的特征＋∞－∞(1)∫

j(x;m,s2

)dx=1即概率曲線(xiàn)下總面積為1。(2)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=m

對(duì)稱(chēng),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x有

j(m-x;m,s2

)=j(m+x;m,s2

)曲線(xiàn)下直線(xiàn)兩側(cè)的面積各為1/2，并且

P{m–x<X

≤

m

}=P{m

<X≤

m+x)退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第29頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六(3)曲線(xiàn)在x=m

處取得最大值,固定m

,s2

越大，曲線(xiàn)越趨于平坦。21ps退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六2)正態(tài)分布概率的計(jì)算若隨機(jī)變量X~N(m,s2

)，其分布函數(shù)為Rx∈F(x;m,s2

)=,e(x–m)-2s2221psx－∞∫

dx若隨機(jī)變量X標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布函數(shù)為Rx∈F(x

)=,ex-2221px－∞∫

dx由于F(x

)不能解析求出，為方便計(jì)算，人們編制了《標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表》(見(jiàn)P289的附表2)。由F(x

)的對(duì)稱(chēng)性，有F(-x

)=1-F(x

)，故僅給出x≥0的值。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六（1）若隨機(jī)變量X~N(0，1)，則P{a<X<b}=F(b

)-F(a

)退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄P{X>a}=1-F(a

)P{X<b}=F(b

)

F

(-x)=1-F

(x

)第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六若隨機(jī)變量X~N(0，1)，則P{a<X≤b}=F(b

)-F(a

)（2）若隨機(jī)變量X~N(m，s2

)，則P{x1<X≤x2}=F(

)-F(

)x2–msx1–ms證明：e(t–m)-2s22F(x;m,s2

)=21psx－∞∫

dtey-2221pdy－∞∫x–mst–msy=dt=sdyF(

)x–ms=退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄（2）若隨機(jī)變量X~N(m，s2

)，則第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六例8：已知隨機(jī)變量X~N(m,s

2

)，證明

P{|X-m|<x}=P{m-x<X<m+x}=xs2F(

)-1P{m-x<X<m+x}證明:=m-x–msF(

)m+x–msF(

)-=-xsF()x

sF()-=x

sF()-xsF()[1-]=x

sF()2-1退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第35頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六特別地，有

P{|X-m|<s}=2F(1)-1=0.6826

P{|X-m|<2s}=2F(2)-1=0.9544

P{|X-m|<3s}=2F(3)-1=0.9974這說(shuō)明X

以很大的概率密集在x=m

的附近。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第36頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六例9:公共汽車(chē)的車(chē)門(mén)是按男子與車(chē)門(mén)碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X服從參數(shù)為μ=172cm

σ=6的正態(tài)分布.即X~N(172,36).問(wèn)車(chē)門(mén)的高度該如何設(shè)計(jì).解：設(shè)車(chē)門(mén)的高度為hcm.按設(shè)計(jì)要求P{Xh}0.01或者P{X<h}0.99因?yàn)閄~N(172,36)所以查表有Φ(2.33)=0.9901>0.99故(h-172)/6=2.33即h=172+6*2.33=186cm故設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為186cm時(shí),可使男子與車(chē)門(mén)頂碰頭的機(jī)會(huì)不大于0.01退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄第37頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)27分，星期六有時(shí),我們需要求隨機(jī)變量以給定概率落在某個(gè)區(qū)間上的分界點(diǎn)，稱(chēng)之為分位數(shù)。如設(shè)X~N(0,1),若存在某個(gè)實(shí)數(shù)ua

使P{X