六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題-培優(yōu)講學(xué)練考專(zhuān)題：容斥原理（含答案）全國(guó)通用

容斥原理[同步鞏固演練]大長(zhǎng)方形的面積是100平方分米，小長(zhǎng)方形的面積是80平方分米，兩個(gè)長(zhǎng)方形重合部分的面積是30平方分米，這兩個(gè)長(zhǎng)方形覆蓋桌面的面積是______________平方分米。2、1～200這二百個(gè)數(shù)能夠被5整除或能夠被8整除的數(shù)共有（）個(gè)。比大，比7小，分母是6的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？4、（新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）36名學(xué)生參加數(shù)學(xué)比賽。答對(duì)第1題的有25名學(xué)生，答對(duì)第二題有23名學(xué)生，兩題都答對(duì)的有15名學(xué)生，兩題都沒(méi)有答對(duì)的有（）名。5、（新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）某班有45人在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，做對(duì)第一題的有38人；做對(duì)第二題的有35人；做第三題的有31人，做對(duì)第四題有42人。問(wèn)：四題都做對(duì)的至少有多少人？6、如圖。有三個(gè)圓的面積分別是8，9和11平方厘米，而三個(gè)圓所圍成的曲線形面積是18平方厘米，且A與B的公共部分的面積是5平方厘米，B與C的公共部分的面積是3平方厘米，C與A公共部分的面積是4平方厘米。求三個(gè)圓的公共部分的面積。7、有40名運(yùn)動(dòng)員，其中有25人會(huì)摔跤，有20人會(huì)擊劍，有10人擊劍、摔跤都不會(huì)，那么既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的運(yùn)動(dòng)員有多少人？8、一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，這個(gè)數(shù)最小是多少？[能力拓展平臺(tái)]1、外語(yǔ)學(xué)校某班有48名學(xué)生，每人至少要選學(xué)一門(mén)法語(yǔ)或計(jì)算機(jī)課程，已知有的學(xué)生選學(xué)法語(yǔ)，有的學(xué)生同時(shí)選學(xué)了法語(yǔ)和計(jì)算機(jī)，則選學(xué)計(jì)算機(jī)課程的學(xué)生有多少名？在一次調(diào)查中，對(duì)45人作了統(tǒng)計(jì)，其中有弟弟的有19人，既無(wú)弟弟又無(wú)妹妹的有14人，有妹妹無(wú)弟弟的與有妹妹有弟弟的人數(shù)比是3：1，問(wèn)有妹妹的有多少人？某班45名同學(xué)參加了體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者7人，跳高、百米均得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)到優(yōu)。求三項(xiàng)都是優(yōu)的人數(shù)。如圖所示，A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片，它們重疊放在一起蓋住的面積是18，且A與B，B與C，C與A公共部分的面積分別是5、3、4，求A、B、C三個(gè)圖形公共部分（陰影部分）的面積。某校對(duì)六年級(jí)的100名同學(xué)進(jìn)行興趣調(diào)查，結(jié)果有54人喜歡語(yǔ)文，有38人喜歡數(shù)學(xué)，有52人喜歡外語(yǔ)，而且喜歡語(yǔ)文和數(shù)學(xué)（但不喜歡外語(yǔ)）的有6人，喜歡數(shù)學(xué)和外語(yǔ)（但不喜歡語(yǔ)文）的有4人，三科都喜歡的有12人，而且每人至少喜歡一科。問(wèn)有多少同學(xué)只喜歡語(yǔ)文？有多少同學(xué)喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)。[全講綜合訓(xùn)練]一個(gè)班有45個(gè)小學(xué)生，統(tǒng)計(jì)借課外書(shū)的情況是：全班學(xué)生都借有語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外書(shū)，借語(yǔ)文課外書(shū)的有39人，借數(shù)學(xué)課外書(shū)的有32人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)都借的有_________人。(美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)從1到46的整數(shù)中，能被3整除，或能被5整除或同時(shí)被3和5整除的數(shù)有（）人。（韓國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）從1至100的自然數(shù)中含有5的數(shù)一共________________個(gè)。有長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)為5厘米的正方形，如圖，放在桌面上（陰影是圖形的重疊部分），那么這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積是_____________平方厘米。某門(mén)診部統(tǒng)計(jì)某一天掛號(hào)的病人，內(nèi)科150人，外科92人，其中內(nèi)、外兩科都求診的18人，這一天共來(lái)了___________個(gè)病人。在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有7人，沒(méi)有參加比賽的有21人，那么甲班共有_________人。7、（韓國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？它們的和是多少？邊長(zhǎng)為2、5、6厘米的三個(gè)正方形，每?jī)蓚€(gè)相交部分的面積分別為9、1、1平方厘米三個(gè)正方形相交部分面積為平方厘米。問(wèn)圖形覆蓋的總面積有多大？某科研所共有145名科技人員，人人都學(xué)過(guò)至少一門(mén)外語(yǔ)。其中學(xué)過(guò)英語(yǔ)的有90人，學(xué)過(guò)俄語(yǔ)的45人；既學(xué)過(guò)英語(yǔ)又學(xué)過(guò)日語(yǔ)的40人；同時(shí)學(xué)過(guò)英、俄、日三門(mén)外語(yǔ)的30人，問(wèn)既然學(xué)過(guò)俄語(yǔ)又學(xué)過(guò)日語(yǔ)的有多少人？10、70名學(xué)生參加體育比賽，短跑得獎(jiǎng)的31人，投擲得獎(jiǎng)的36人，彈跳得獎(jiǎng)的29人，短跑與投擲二項(xiàng)均得獎(jiǎng)的12人，跑、跳、投三項(xiàng)均得獎(jiǎng)的有5人，只得彈跳獎(jiǎng)的有7人，只得投擲獎(jiǎng)的有15人。求：（1）只得短跑獎(jiǎng)的人數(shù)；（2）得二項(xiàng)獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)；（3）一項(xiàng)獎(jiǎng)均未得的人數(shù)。五環(huán)圖由內(nèi)圓直徑為8、外圓直徑為10的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊（陰影部分）的面積都相等。已知五個(gè)圓環(huán)蓋住部分的總面積是122.5，求每個(gè)小曲四邊形的面積。某班共有30名男生，其中20人參加足球隊(duì)，12人參加籃球隊(duì)，10人參加排球隊(duì)，已知沒(méi)一個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì)，且每人至少參加一個(gè)隊(duì)，有6人既然參加足球隊(duì)又參加籃球隊(duì)，有2人既然參加籃球隊(duì)又參加排球隊(duì)，那么既然參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有多少人？13、（全國(guó)小奧賽試題）某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)言競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？14、向50名同學(xué)調(diào)查春游去頤和園還是去動(dòng)物園的態(tài)度，贊成去頤和園的人數(shù)是全體的，其余不贊成；贊成去動(dòng)物園的比贊成去頤和園的學(xué)生多3人，其余的不贊成，另外對(duì)去兩處都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)去兩處都贊成的學(xué)生數(shù)的多1人，問(wèn)對(duì)去頤和園和去動(dòng)物園都贊成和都不贊成的學(xué)生各有多少人？15、（全國(guó)小奧賽試題）有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開(kāi)頭控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為1，2，3，…，2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完之后，亮著的燈有多少盞？容斥原理參考答案[同步鞏固演練]10平方分米80+30－100=10（平方分米）59個(gè)能被5整除的數(shù)有：200÷5=40（個(gè)），能被8整除的數(shù)有：200÷8=25（個(gè)）。重復(fù)計(jì)算了：200÷（5×8）=5（個(gè)）。滿(mǎn)足題意的數(shù)共有：（40+25）－8=59（個(gè)）13個(gè)因?yàn)樗裕灰蟪龃笥?而小于42的自然數(shù)中與6互質(zhì)的數(shù)有多少個(gè)就可以了。為了方便，我們引進(jìn)一個(gè)符號(hào)“[”，用來(lái)表示a與b的商的整數(shù)部分，如因?yàn)?=2×3，在大于3而小于42的自然數(shù)中是2的倍數(shù)的數(shù)有；大于3而小于42的自然數(shù)中是3的倍數(shù)的數(shù)有：大于3而小于42的自然數(shù)中是6的倍數(shù)的數(shù)有：從而，可以求出在大于3而小于42的自然數(shù)中是2或3的倍數(shù)的數(shù)共有19+12－6=25（個(gè)）。所以，在大于3小于42的自然數(shù)中與6互素的數(shù)有41－3－25=13（個(gè)）。這就是說(shuō)，比大，比7小，分母是6的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有13個(gè)。3名11人2平方厘米三個(gè)圓的總面積是8+9+11=28（平方厘米）。顯然，在計(jì)算這三個(gè)圓的總面積時(shí)，每?jī)蓚€(gè)圓的公共部分都計(jì)算了兩次，所以要從中去掉，即28－（5+3+4）=16（平方厘米）。而在剛才減去每?jī)蓚€(gè)圓的公共部分，又知三個(gè)圓所圍成的曲線的面積是18平方厘米，所以，這三個(gè)圓的公共部分是18－16=2（平方厘米）。15人23解這類(lèi)問(wèn)題可以用枚舉法解決。先找出被3除余2的數(shù)；2，5，8，11，14，17，20，23，26，…。再找出被5除余3的數(shù)：3，8，13，18，23，28，33，…。再找出被7除余2的數(shù)：2，9，16，23，30，37，44，…。從三列數(shù)中發(fā)現(xiàn)：23是符合題意的數(shù)。這個(gè)數(shù)最小是23。[能力拓展平臺(tái)]選學(xué)計(jì)算機(jī)的有32人。選學(xué)法語(yǔ)的有48×同時(shí)選學(xué)法語(yǔ)和計(jì)算機(jī)的有48×。從而推知，只選學(xué)法語(yǔ)的有28－12=16（人）。所以，選學(xué)計(jì)算機(jī)的有48－16=32（人）。2、12人依題意可知，45人中只有45-14=31人可能有弟弟和妹妹.如圖,設(shè)既又有弟弟有妹妹的為x人,則19+4x=31人,x=3.只有妹妹的人數(shù)為3x=3x4=12人.3、5人設(shè)三項(xiàng)都達(dá)到優(yōu)的有x人由逐步排除法有45=20+18+22-7-8-6+x+1解得x=54、2設(shè)陰影部分的面積是x，由容斥原理知28-（5+3+4）+x=18，故x=2。5、26人，22人如圖，根據(jù)容斥原理的解法可知：54+38+52-（12+6）-（12+4）-（12+a）+12=100解得a=10因此，只喜歡語(yǔ)文的有54-6-12-10=26（人）喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)的有12+10=22（人）[全講綜合訓(xùn)練]1、26人解：從圖中可以看出全班45人，借語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外讀物的共39+32=71（人），超過(guò)全班人數(shù)71-45=26（人），這26人都借了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)。2、21個(gè)3、19個(gè)個(gè)位是5（含一位數(shù)5）十位上可以為1至9九個(gè)數(shù)字共1+9=10（個(gè)）；十位是5，個(gè)位可以是0至9個(gè)數(shù)字共10個(gè)。這樣55被算了2次，所以只有10+10-1=19（個(gè)）4、67將長(zhǎng)方形和正方形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，即這兩個(gè)圖形蓋住的圖形面積為8×6+5×5-×4×3=67（平方厘米）5、從圖可以看出來(lái)診病人總數(shù)為150+92-18=220（人）6、41解：如圖所示，易知總?cè)藬?shù)為（15+12-7）+21=41（人）。7、240個(gè)，120因?yàn)?85=5×7×11，故在1~385這385個(gè)自然數(shù)中，5的倍數(shù)有=76（個(gè)），7的倍數(shù)有==55（個(gè)），11的倍數(shù)有=35（個(gè)），5×7=35的倍數(shù)有=11（個(gè)），5×11=55的倍數(shù)有=7（個(gè)），7×11=77的倍數(shù)有=5（個(gè)），385的倍數(shù)有1個(gè)。由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-（11+7+5）+1=145（個(gè)），而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385-145=240（個(gè)）。即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個(gè)）。8、平方厘米9、30人10、（1）11；（2）24；（3）8如圖，用矩形表示參賽的70個(gè)學(xué)生，而用三個(gè)圓表示分別在跑、跳、投中得獎(jiǎng)的人。設(shè)x為只得短跑獎(jiǎng)的人數(shù)，y為只在短跑和彈跳兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù)，z為只在彈跳與投擲兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù)，u為只在投擲和短跑兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù)，則有u=12-5=7（人）,z=36-15-12=9（人）,y=29-5-7=8（人）,x=31-12-8=11（人）.即只得短跑獎(jiǎng)的有11人。(2)得二次獎(jiǎng)的人數(shù)為y+z+u=8+9+7=24（人）(3)因至少得一次獎(jiǎng)的人數(shù)為x+y+z+u+5+7+15=62（人）,故一項(xiàng)獎(jiǎng)均未得的人數(shù)為70-62=8（人）11、2.35×5-122.5=18.818.8÷8=2.3512、4人如圖所示，設(shè)既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的人數(shù)為x，則依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，得x=4。13、35人如右圖。由于每人最多參加兩科，所以沒(méi)有人參加三科競(jìng)賽。故a+b≤28①a+c≤23②b+c≤20③把①+②+③得：2（a+b+c）≤28+23+20a+b+c≤35.5即參加兩科競(jìng)賽的人數(shù)a+b+c最大可取35，經(jīng)試算a=15,b=13,c=7時(shí)剛好滿(mǎn)足條件①、②、③，故可確定參加兩科競(jìng)賽的最多有35人。14、8人所求的都贊成和都不贊成的學(xué)生都包含在50名同學(xué)中，由于問(wèn)題比較復(fù)雜，我們從50人中利用逐步排除法去計(jì)算，如圖。用長(zhǎng)方形I表示50名被調(diào)查的同學(xué)，A表示贊成去頤和園的同學(xué)，用B表示贊成去動(dòng)特園的同學(xué)，是A中有50×=30人，B中有30+3=33人，若設(shè)去兩處都贊成的同學(xué)有x人，則去兩處都不贊成的同學(xué)有+1人。由逐步排除法可知投過(guò)贊成票的人數(shù)（包括贊成去頤和園、動(dòng)物園，和二者都想去的人）為30+33-x=63-x，由排除法可知用全體50人減去投過(guò)贊成票的人，剩下的就是去兩處都不贊成的同學(xué)，這樣也就列出了算式（30-x）+(33+x)+x+(+1)=50解得x=21故+1=8（人）15、1002盞電燈如果最后依然亮著的，那么這盞燈要么沒(méi)拉過(guò)，要么被拉了偶數(shù)次，例如：一盞燈被拉了2次，在經(jīng)歷亮滅（拉1次）亮（拉2次）之后必然是亮著的。因此，我們只要找出2000以?xún)?nèi)哪些數(shù)不是2、3、5的倍數(shù)（共多少個(gè)），即這種編號(hào)的燈沒(méi)被拉過(guò)；以及是2和3、2和5、3和5的公倍數(shù)的數(shù)共多少個(gè)（即被拉了2次的燈）。由于1~2000的自然數(shù)中，是2、3、5的公倍數(shù)的數(shù)有：2000÷30≈66個(gè)是2、3的公倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)的數(shù)有：2000÷6-66≈267（個(gè)）是