自考(經管類)線性代數歷年真題與部分答案

全國2021年1月線性代數〔經管類〕試題一、單項選擇題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕1.設行列式=4，那么行列式=〔〕A.12B.24C.36D.482.設矩陣A，B，C，X為同階方陣，且A，B可逆，AXB=C，那么矩陣X=〔〕A.A-1CB-1B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-13.A2+A-E=0，那么矩陣A-1=〔〕A.A-EB.-A-EC.A+ED.-A+E4.設是四維向量，那么〔〕A.一定線性無關 B.一定線性相關C.一定可以由線性表示 D.一定可以由線性表出5.設A是n階方陣，假設對任意的n維向量x均滿足Ax=0,那么〔〕A.A=0 B.A=EC.r(A)=n D.0<r(A)<(n)6.設A為n階方陣，r(A)<n，以下關于齊次線性方程組Ax=0的表達正確的選項是〔〕A.Ax=0只有零解B.Ax=0的根底解系含r(A)個解向量C.Ax=0的根底解系含n-r(A)個解向量 D.Ax=0沒有解7.設是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，那么〔〕A.是Ax=b的解 B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解D.是Ax=b的解8.設，，為矩陣A=的三個特征值，那么=〔〕A.20B.24C.28D.309.設P為正交矩陣，向量的內積為〔〕=2，那么〔〕=〔〕A.B.1C. D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩為〔〕A.1B.2C.3 D.4二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11.行列式=0，那么k=_________________________.12.設A=，k為正整數，那么Ak=_________________________.13.設2階可逆矩陣A的逆矩陣A-1=，那么矩陣A=_________________________.14.設向量=〔6，-2，0，4〕，=〔-3，1，5，7〕，向量滿足，那么=_________________________.15.設A是m×n矩陣，Ax=0,只有零解，那么r(A)=_________________________.16.設是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，那么A〔3〕=________.17.實數向量空間V={〔x1,x2,x3〕|x1-x2+x3=0}的維數是______________________.18.設方陣A有一個特征值為0，那么|A3|=________________________.19.設向量〔-1，1，-3〕，〔2，-1，〕正交，那么=__________________.20.設f(x1,x2,x3)=是正定二次型，那么t滿足_________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.計算行列式22.設矩陣A=，對參數討論矩陣A的秩.23.求解矩陣方程X=24.求向量組：，，，的一個極大線性無關組，并將其余向量通過該極大線性無關組表示出來.25.求齊次線性方程組的一個根底解系及其通解.26.求矩陣的特征值和特征向量.四、證明題〔本大題共1小題，6分〕27.設向量，，….,線性無關，1<j≤k.證明：+，，…,線性無關.全國2021年7月1.設3階方陣A=〔α1，α2，α3〕，其中αi〔i=1,2,3〕為A的列向量，假設|B|=|〔α1+2α2，α2，α3〕|=6，那么|A|=()A.-12B.-6C.6D.122.計算行列式=()A.-180B.-120C.120D.1803.假設A為3階方陣且|A-1|=2，那么|2A|=()A.4.設α1，α2，α3，α4都是3維向量，那么必有()A.α1，α2，α3，α4線性無關B.α1，α2，α3，α4線性相關C.α1可由α2，α3，α4線性表示D.α1不可由α2，α3，α4線性表示5.假設A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的根底解系中解向量的個數為2，那么r(A6.設A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，那么()A.A與BB.|A|=|B|C.A與B等價 D.A與B合同7.設A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0那么|A+2E|=()A.08.假設A、B相似，那么以下說法錯誤的選項是()A.A與B等價B.A與B合同C.|A|=|B|D.A與B有相同特征值9.假設向量α=〔1，-2,1〕與β=(2，3，t)正交，那么t=()A.-2B.010.設3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，那么()A.A正定B.A半正定C.A負定D.A半負定二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共2011.設A=,B=，那么AB=_________________.12.設A為3階方陣，且|A|=3，那么|3A-1|=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.設α=〔-1，2，2〕，那么與α反方向的單位向量是_________________.15.設A為5階方陣，且r(A)=3，那么線性空間W={x|Ax=0}的維數是______________.16.設A為3階方陣，特征值分別為-2，，1，那么|5A-1|=______________.17.假設A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，那么r(AB)=_________________.18.實對稱矩陣所對應的二次型f(x1,x2,x3)=________________.19.設3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=，α2=且r(A)=2，那么Ax=b的通解是_______________.20.設α=，那么A=ααT的非零特征值是_______________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共5421.計算5階行列式D=22.設矩陣X滿足方程X=求X.23.求非齊次線性方程組的通解.24.求向量組α1=〔1,2，-1,4〕，α2=(9,100,10,4)，α3=〔-2，-4,2，-8〕的秩和一個極大無關組.25.A=的一個特征向量ξ=〔1,1，-1〕T，求a，b及ξ所對應的特征值，并寫出對應于這個特征值的全部特征向量.26.設A=，試確定a使r(A)=2.四、證明題〔本大題共1小題，6分〕27.假設α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的線性無關解，證明α2-αl，α3-αl是對應齊次線性方程組Ax=0的線性無關解.全國2021年4月一、單項選擇題〔本大題共20小題，每題1分，共1.2階行列式=m,=n,那么=〔〕A.m-nB.n-mC.m+nD.-〔m+n〕2.設A,B,C均為n階方陣，AB=BA，AC=CA，那么ABC=〔〕A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.設A為3階方陣，B為4階方陣,且行列式|A|=1，|B|=-2，那么行列式||B|A|之值為〔〕A.-8B.-2C.2D.84.A=，B=，P=，Q=，那么B=〔〕A.PAB.APC.QAD.AQ5.A是一個3×4矩陣，以下命題中正確的選項是〔〕A.假設矩陣A中所有3階子式都為0，那么秩〔A〕=2 B.假設A中存在2階子式不為0，那么秩〔A〕=2C.假設秩〔A〕=2，那么A中所有3階子式都為0D.假設秩〔A〕=2，那么A中所有2階子式都不為06.以下命題中錯誤的選項是〔〕A.只含有一個零向量的向量組線性相關 B.由3個2維向量組成的向量組線性相關C.由一個非零向量組成的向量組線性相關 D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關7.向量組α1,α2,α3線性無關，α1,α2,α3，β線性相關，那么〔〕A.α1必能由α2,α3，β線性表出 B.α2必能由α1,α3，β線性表出C.α3必能由α1,α2，β線性表出 D.β必能由α1,α2,α3線性表出8.設A為m×n矩陣，m≠n,那么齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩〔〕A.小于mB.等于mC.小于n D.等于n9.設A為可逆矩陣，那么與A必有相同特征值的矩陣為〔〕A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f〔x1,x2,x3〕=的正慣性指數為〔〕A.0B.1C.D.3二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕請在11.行列式的值為_________________________.12.設矩陣A=,B=,那么ATB=____________________________.13.設4維向量〔3,-1,0,2〕T,β=〔3,1,-1,4〕T，假設向量γ滿足2γ=3β，那么γ=__________.14.設A為n階可逆矩陣，且|A|=,那么|A-1|=___________________________.15.設A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，假設B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，那么|A|=__________________.16.齊次線性方程組的根底解系所含解向量的個數為________________.17.設n階可逆矩陣A的一個特征值是-3，那么矩陣必有一個特征值為_____________.18.設矩陣A=的特征值為4，1，-2，那么數x=________________________.19.A=是正交矩陣，那么a+b=_______________________________。20.二次型f〔x1,x2,x3〕=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩陣是_______________________________。三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.計算行列式D=的值。22.矩陣B=〔2，1，3〕，C=〔1，2，3〕，求〔1〕A=BTC；〔2〕A2。23.設向量組求向量組的秩及一個極大線性無關組，并用該極大線性無關組表示向量組中的其余向量。24.矩陣A=，B=.〔1〕求A-1；〔2〕解矩陣方程AX=B。25.問a為何值時，線性方程組有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其解〔在有無窮多解時，要求用一個特解和導出組的根底解系表示全部解〕。26.設矩陣A=的三個特征值分別為1，2，5，求正的常數a的值及可逆矩陣P，使P-1AP=。四、證明題〔此題6分〕27.設A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明〔A+B〕-1=A-1+B-1。全國2021年1月高等教育自學考試1.設行列式〔〕A.B.1C.2D.2.設A，B，C為同階可逆方陣，那么〔ABC〕-1=〔〕A.A-1B-1C-B.C-1B-1A-1C.C-1A-1B-1 D.A-1C-1B-13.設α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=〔α1，α2，α3，α4〕.如果|A|=2，那么|-2A|=〔〕A.-3B.-4C.4 D.324.設α1，α2，α3，α4是三維實向量，那么〔〕A.α1，α2，α3，α4一定線性無關B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出C.α1，α2，α3，α4一定線性相關 D.α1，α2，α3一定線性無關5.向量組α1=〔1，0，0〕，α2=〔1，1，0〕，α3=〔1，1，1〕的秩為〔〕A.1B.2C.3D.46.設A是4×6矩陣，r〔A〕=2，那么齊次線性方程組Ax=0的根底解系中所含向量的個數是〔〕A.1 B.2C.3 D.47.設A是m×n矩陣，Ax=0只有零解，那么以下結論正確的選項是〔〕A.m≥nB.Ax=b〔其中b是m維實向量〕必有唯一解C.r〔A〕=mD.Ax=0存在根底解系8.設矩陣A=，那么以下向量中是A的特征向量的是〔〕A.〔1，1，1〕T B.〔1，1，3〕TC.〔1，1，0〕T D.〔1，0，-3〕T9.設矩陣A=的三個特征值分別為λ1，λ2，λ3，那么λ1+λ2+λ3=〔〕A.4B.5C.6D.710.三元二次型f〔x1，x2，x3〕=的矩陣為〔〕A.B.C. D.二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11.行列式=_________.12.設A=，那么A-1=_________.13.設方陣A滿足A3-2A+E=0，那么〔A2-2E〕-1=_________.14.實數向量空間V={〔x1,x2,x3〕|x1+x2+x3=0}的維數是_________.15.設α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的解.那么A〔5α2-4α1〕=_________.16.設A是m×n實矩陣，假設r〔ATA〕=5，那么r〔A〕=_________.17.設線性方程組有無窮多個解，那么a=_________.18.設n階矩陣A有一個特征值3，那么|-3E+A|=_________.19.設向量α=〔1，2，-2〕，β=〔2，a，3〕，且α與β正交，那么a=_________.20.二次型的秩為_________.21．計算4階行列式D=.22.設A=，判斷A是否可逆，假設可逆，求其逆矩陣A-1.23.設向量α=〔3，2〕，求〔αTα〕101.24.設向量組〔1〕求該向量組的一個極大線性無關組；〔2〕將其余向量表示為該極大線性無關組的線性組合.25.求齊次線性方程組的根底解系及其通解.26.設矩陣A=，求可逆方陣P，使P-1AP為對角矩陣.四、證明題〔本大題6分〕27.向量組α1,α2，α3，α4線性無關，證明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關.全國2021年1月1.設行列式〔〕A.B.1C.2D.2.設A，B，C為同階可逆方陣，那么〔ABC〕-1=〔〕A.A-1B-1C-1B.C-1B-1A-1C.C-1A-1B-1D.A-1C-1B-13.設α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=〔α1，α2，α3，α4〕.如果|A|=2，那么|-2A|=〔〕A.-32B.-4C.4D.324.設α1，α2，α3，α4是三維實向量，那么〔〕A.α1，α2，α3，α4一定線性無關B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出C.α1，α2，α3，α4一定線性相關 D.α1，α2，α3一定線性無關5.向量組α1=〔1，0，0〕，α2=〔1，1，0〕，α3=〔1，1，1〕的秩為〔〕A.1B.2C.3D.46.設A是4×6矩陣，r〔A〕=2，那么齊次線性方程組Ax=0的根底解系中所含向量的個數是〔〕A.1 B.2C.3 D.47.設A是m×n矩陣，Ax=0只有零解，那么以下結論正確的選項是〔〕A.m≥nB.Ax=b〔其中b是m維實向量〕必有唯一解C.r〔A〕=mD.Ax=0存在根底解系8.設矩陣A=，那么以下向量中是A的特征向量的是〔〕A.〔1，1，1〕T B.〔1，1，3〕TC.〔1，1，0〕T D.〔1，0，-3〕T9.設矩陣A=的三個特征值分別為λ1，λ2，λ3，那么λ1+λ2+λ3=〔〕A.4 B.5C.6 D.710.三元二次型f〔x1，x2，x3〕=的矩陣為〔〕AB.C.D.二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共2011.行列式=_________.12.設A=，那么A-1=_________.13.設方陣A滿足A3-2A+E=0，那么〔A2-2E〕-1=_________.14.實數向量空間V={〔x1,x2,x3〕|x1+x2+x3=0}的維數是_________.15.設α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的解.那么A〔5α2-4α1〕=_________.16.設A是m×n實矩陣，假設r〔ATA〕=5，那么r〔A〕=_________.17.設線性方程組有無窮多個解，那么a=_________.18.設n階矩陣A有一個特征值3，那么|-3E+A|=_________.19.設向量α=〔1，2，-2〕，β=〔2，a，3〕，且α與β正交，那么a=_________.20.二次型的秩為_________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21．計算4階行列式D=.22.設A=，判斷A是否可逆，假設可逆，求其逆矩陣A-1.23.設向量α=〔3，2〕，求〔αTα〕101.24.設向量組〔1〕求該向量組的一個極大線性無關組；〔2〕將其余向量表示為該極大線性無關組的線性組合.25.求齊次線性方程組的根底解系及其通解.26.設矩陣A=，求可逆方陣P，使P-1AP為對角矩陣.四、證明題〔本大題6分〕27.向量組α1,α2，α3，α4線性無關，證明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關.全國2021年7月高等教育自學考試1.設A,B,C為同階方陣，下面矩陣的運算中不成立的是〔〕A.〔A+B〕T=AT+BT B.|AB|=|A||B|C.A〔B+C〕=BA+CA D.〔AB〕T=BTAT2.=3，那么=〔〕A.-24 B.-12C.-6 D.123.假設矩陣A可逆，那么以下等式成立的是〔〕A.A=B.C.D.4.假設A=，B=，C=，那么以下矩陣運算的結果為3×2矩陣的是〔〕A.ABCB.ACTBTC.CBA D.CTBTAT5.設有向量組A：1，2，3，4，其中1，2，3線性無關，那么〔〕A.1，3線性無關B.1，2，3，4線性無關C.1，2，3，4線性相關D.2，3，4線性相關6.假設四階方陣的秩為3，那么〔〕A.A為可逆陣B.齊次方程組Ax=0有非零解C.齊次方程組Ax=0只有零解D.非齊次方程組Ax=b必有解7.設A為m×n矩陣，那么n元齊次線性方程Ax=0存在非零解的充要條件是〔〕A.A的行向量組線性相關B.A的列向量組線性相關C.A的行向量組線性無關D.A的列向量組線性無關8.以下矩陣是正交矩陣的是〔〕A.B.C.D.9.二次型〔〕A.A可逆 B.|A|>0C.A的特征值之和大于0 D.A的特征值全部大于010.設矩陣A=正定，那么〔〕A.k>0B.k0C.k>1 D.k1二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11.設A=〔1，3，-1〕，B=〔2，1〕，那么ATB=____________________。12.假設_____________。13.設A=，那么A*=_____________。14.A2-2A-8E=0，那么〔A+E〕-1=_____________。15.向量組_____________。16.設齊次線性方程Ax=0有解，而非齊次線性方程且Ax=b有解,那么是方程組_____________的解。17.方程組的根底解系為_____________。 18.向量。19.假設矩陣A=與矩陣B=相似，那么x=_____________。20.二次型對應的對稱矩陣是_____________。三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.求行列式D=的值。22.A=,矩陣X滿足方程AX+BX=D-C，求X。23.設向量組為 求向量組的秩，并給出一個極大線性無關組。24.求有非零解？并在有非零解時求出方程組的通解。25.設矩陣A=，求矩陣A的全部特征值和特征向量。26.用配方法求二次型的標準形，并寫出相應的線性變換。四、證明題〔本大題共1小題，6分〕27.證明：假設向量組+n，那么向量組。全國2021年4月高等教育自學考試1．3階行列式=中元素的代數余了式=〔〕A．-2 B．-1C．1 D．22．設矩陣A=，B=，P1=，P2=，那么必有〔〕A．P1P2A=B B．P2P1A=BC．AP1P2=B D．AP2P1=B3．設n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，那么B-1=〔〕A．A-1C-1 B．C-1A-1C．AC D．CA4．設3階矩陣A=，那么A2的秩為〔〕A．0 B．1C．2 D．35．設是一個4維向量組，假設可以表為的線性組合，且表示法惟一，那么向量組的秩為〔〕A．1 B．2C．3 D．46．設向量組線性相關，那么向量組中〔〕A．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合7．設是齊次線性方程組Ax=0的一個根底解系，那么以下解向量組中，可以作為該方程組根底解系的是〔〕A．B．C．D．8．假設2階矩陣A相似于矩陣B=，E為2階單位矩陣，那么與矩陣E-A相似的矩陣是〔〕A．B．C． D．9．設實對稱矩陣A=，那么3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的標準形為〔〕A．B．C． D．10．假設3階實對稱矩陣A=〔〕是正定矩陣，那么A的正慣性指數為〔〕A．0 B．1C．2 D．3二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分)11．3階行列式=6，那么=_______________.12．設3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應的代數余子式分別為-3，2，1，那么D3=__________________.13．設A=，那么A2-2A+E=____________________.14.設A為2階矩陣，將A的第2列的〔-2〕倍加到第1列得到矩陣B.假設B=，那么A=______________.15.設3階矩陣A=，那么A-1=_________________.16.設向量組=〔a,1,1〕,=〔1,-2,1〕,=〔1,1,-2〕線性相關，那么數a=________.17.x1=(1,0,-1)T,x2=(3,4,5)T是3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個解向量，那么對應齊次線性方程組Ax=0有一個非零解向量=__________________.18.設2階實對稱矩陣A的特征值為1，2，它們對應的特征向量分別為=(1，1)T,=(1，k)T，那么數k=_____________________.19.3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，那么|B+E|=_________.20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=_____________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.3階行列式=中元素的代數余子式A12=8，求元素的代數余子式A21的值.22.矩陣A，B=,矩陣X滿足AX+B=X，求X.23.求向量組=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一個極大無關組，并將向量組中的其余向量用該極大無關組線性表出.24.設3元齊次線性方程組，〔1〕確定當a為何值時，方程組有非零解；〔2〕當方程組有非零解時，求出它的根底解系和全部解.25.設矩陣B=，〔1〕判定B是否可與對角矩陣相似，說明理由；〔2〕假設B可與對角矩陣相似，求對角矩陣和可逆矩陣P，使P-1BP=26.設3元二次型,求正交變換x=Py,將二次型化為標準形.四、證明題〔此題6分〕27.A是n階矩陣，且滿足方程A2+2A=0,證明A的特征值只能是0或-2.全國2021年1月高等教育自學考試1．線性方程組的解為〔〕A．x=2,y=0,z=-2B．x=-2,y=2,z=0C．x=0,y=2,z=-2 D．x=1,y=0,z=-12．設矩陣A=，那么矩陣A的伴隨矩陣A*=〔〕A．B．C． D．3．設A為5×4矩陣，假設秩〔A〕=4，那么秩〔5AT〕為〔〕A．2 B．3C．4 D．54．設A，B分別為m×n和m×k矩陣，向量組〔I〕是由A的列向量構成的向量組，向量組〔Ⅱ〕是由〔A，B〕的列向量構成的向量組，那么必有〔〕A．假設〔I〕線性無關，那么〔Ⅱ〕線性無關 B．假設〔I〕線性無關，那么〔Ⅱ〕線性相關C．假設〔Ⅱ〕線性無關，那么〔I〕線性無關 D．假設〔Ⅱ〕線性無關，那么〔I〕線性相關5．設A為5階方陣，假設秩〔A〕=3，那么齊次線性方程組Ax=0的根底解系中包含的解向量的個數是〔〕A．2 B．3C．4 D．56．設m×n矩陣A的秩為n-1，且1，2是齊次線性方程組Ax=0的兩個不同的解，那么Ax=0的通解為〔〕A．k1，k∈R B．k2，k∈RC．k1+2，k∈RD．k(1-2),k∈R7．對非齊次線性方程組Am×nx=b，設秩〔A〕=r，那么〔〕A．r=m時，方程組Ax=b有解 B．r=n時，方程組Ax=b有唯一解C．m=n時，方程組Ax=b有唯一解 D．r<n時，方程組Ax=b有無窮多解8．設矩陣A=，那么A的線性無關的特征向量的個數是〔〕A．1 B．2C．3 D．49．設向量=〔4，-1，2，-2〕，那么以下向量是單位向量的是〔〕A． B．C． D．10．二次型f〔x1，x2〕=的標準形是〔〕A．B．C． D．二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11．3階行列式=_________.12．設A=〔3，1，0〕，B=，那么AB=_________.13．設A為3階方陣，假設|AT|=2，那么|-3A|=_________.14．向量=〔3，5，7，9〕，=〔-1，5，2，0〕，如果+=，那么=_________.15．設A=為3階非奇異矩陣，那么齊次線性方程組的解為_________.16．設非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣為，那么該方程組的通解為_________.17．3階方陣A的特征值為1，-3，9，那么_________.18．向量=〔1，2，-1〕與向量=〔0，1，y〕正交，那么y=_________.19．二次型f(x1,x2,x3,x4)=的正慣性指數為_________.20．假設f(x1,x2,x3)=為正定二次型，那么的取值應滿足_________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21．計算行列式D=22．設A=，B=，又AX=B，求矩陣X.23．設矩陣A=，B=，求矩陣AB的秩.24．求向量組1=〔1，4，3，-2〕，2=〔2，5，4，-1〕，3=〔3，9，7，-3〕的秩.25．求齊次線性方程組的一個根底解系.26．設矩陣A=，求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣.四、證明題〔本大題共1小題，6分〕27．設向量組1，2，3線性無關，1=1+2，2=2+3，3=3+1，證明：向量組1，2，3線性無關.全國2021年10月高等教育自學考試1．設A為3階方陣，且〔〕A．-9 B．-3C．-1D．92．設A、B為n階方陣，滿足A2=B2，那么必有〔〕A．A=BB．A=-BC．|A|=|B| D．|A|2=|B|23．矩陣A=，B=，那么AB-BA=〔〕A．B．C． D．4．設A是2階可逆矩陣，那么以下矩陣中與A等價的矩陣是〔〕A．B．C． D．5．設向量，以下命題中正確的選項是〔〕A．假設線性相關，那么必有線性相關 B．假設線性無關，那么必有線性無關C．假設線性相關，那么必有線性無關D．假設線性無關，那么必有線性相關6．是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，那么矩陣A可為〔〕A．〔5，-3，-1〕B．C． D．7．設m×n矩陣A的秩r(A)=n-3(n>3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個線性無關的解向量，那么方程組Ax=0的根底解系為〔〕A．α，β，α+β B．β，γ，γ-βC．α-β，β-γ，γ-αD．α，α+β，α+β+γ8．矩陣A與對角矩陣D=相似，那么A2=〔〕A．AB．DC．ED．-E9．設矩陣A=，那么A的特征值為〔〕A．1，1，0 B．-1，1，1C．1，1，1 D．1，-1，-110．設A為n(n≥2)階矩陣，且A2=E，那么必有〔〕A．A的行列式等于1B．A的逆矩陣等于EC．A的秩等于nD．A的特征值均為1二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11．行列式，那么數a=__________.12．設方程組有非零解，那么數k=__________.13．設矩陣A=，B=，那么ATB=__________.14．向量組的秩為2，那么數t=__________.15．設向量__________.16．設向量組α1=〔1，2，3〕，α2=〔4，5，6〕，α3=〔3，3，3〕與向量組β1，β2，β3等價，那么向量組β1，β2，β3的秩為__________.17．3階矩陣A的3個特征值為1，2，3，那么|A*|=__________.18．設3階實對稱矩陣A的特征值為λ1=λ2=3，λ3=0，那么r(A)=__________.19．矩陣A=對應的二次型f=__________.20．設矩陣A=，那么二次型xTAx的標準形是__________.21．計算行列式D=的值.22．A=，B=，C=，矩陣X滿足AXB=C，求解X.23．下的坐標，并將β用此基線性表示.24．設向量組α1,α2,α3線性無關，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.試確定向量組β1，β2，β3的線性相關性.25．線性方程組，〔1〕討論λ為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解.〔2〕在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解〔要求用其一個特解和導出組的根底解系表示〕.26．矩陣A=，求正交矩陣P和對角矩陣Λ，使P-1AP=Λ.四、證明題〔此題6分〕27．設η為非齊次線性方程組Ax=b的一個解，ξ1，ξ2，…，ξr是其導出組Ax=0的一個根底解系.證明η，ξ1，ξ2，…，ξr線性無關.全國2021年7月高等教育自學考1.設3階方陣A=[]，其中〔i=1,2,3〕為A的列向量，且|A|=2，那么|B|=|[]|=〔〕A.-2B.0C.2D.62.假設方程組有非零解，那么k=〔〕A.-1B.0C.1D.23.設A，B為同階可逆方陣，那么以下等式中錯誤的選項是〔〕A.|AB|=|A||B| B.(AB)-1=B-1A-1C.(A+B)-1=A-1+B-1 D.(AB)T=BTAT4.設A為三階矩陣，且|A|=2，那么|〔A*〕-1|=〔〕A.B.1C.2D.45.向量組A：中線性相關，那么〔〕A.線性無B.線性相關C.可由線性表示 D.線性無關6.向量組的秩為r，且r<s，那么〔〕A.線性無關 B.中任意r個向量線性無關C.中任意r+1個向量線性相關D.中任意r-1個向量線性無關7.假設A與B相似，那么〔〕A.A，B都和同一對角矩陣相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|8.設，是Ax=b的解，η是對應齊次方程Ax=0的解，那么〔〕A.η+是Ax=0的解B.η+〔-〕是Ax=0的解C.+是Ax=b的解 D.-是Ax=b的解9.以下向量中與=〔1，1，-1〕正交的向量是〔〕A.=〔1，1，1〕 B.=〔-1，1，1〕C.=〔1，-1，1〕 D.=〔0，1，1〕10.設A=，那么二次型f(x1，x2)=xTAx是〔〕A.正定 B.負定C.半正定 D.不定二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11.設A為三階方陣且|A|=3，那么|2A|=___________.12.=〔1，2，3〕，那么|T|=___________.13.設A=，那么A*=___________.14.設A為4×5的矩陣，且秩〔A〕=2，那么齊次方程Ax=0的根底解系所含向量的個數是___________.15.設有向量=〔1，0，-2〕，=〔3，0，7〕，=〔2，0，6〕.那么的秩是___________.16.方程x1+x2-x3=1的通解是___________.17.設A滿足3E+A-A2=0，那么A-1=___________.18.設三階方陣A的三個特征值為1，2，3.那么|A+E|=___________.19.設α與β的內積〔α，β〕=2，‖β‖=2，那么內積〔2α+β，-β〕=___________.20.矩陣A=所對應的二次型是___________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21．計算6階行列式22．A=，B=，C=，X滿足AX+B=C，求X.23．求向量組=〔1，2，1，3〕，=〔4，-1，-5，-6〕，=〔1，-3，-4，-7〕的秩和其一個極大線性無關組.24．當a,b為何值時，方程組有無窮多解？并求出其通解.25．A=，求其特征值與特征向量.26.設A=，求An.四、證明題〔本大題共1小題，6分〕27．設為Ax=0的非零解，為Ax=b(b0)的解，證明與線性無關.全國2021年4月高等教育自學考試1．設行列式D==3，D1=，那么D1的值為〔〕A．-15 B．-6C．6 D．152．設矩陣=，那么〔〕A．a=3,b=-1,c=1,d=3B．a=-1,b=3,c=1,d=3C．a=3,b=-1,c=0,d=3D．a=-1,b=3,c=0,d=33．設3階方陣A的秩為2，那么與A等價的矩陣為〔〕A．B．C．D．4．設A為n階方陣，n≥2，那么=〔〕A．〔-5〕nB．-5C．5 D．5n5．設A=，那么=〔〕A．-4 B．-2C．2 D．46．向量組α1，α2，…αs，(s＞2)線性無關的充分必要條件是〔〕A．α1，α2，…，αs均不為零向量B．α1，α2，…，αs中任意兩個向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意s-1個向量線性無關D．α1，α2，…，αs中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示7.設3元線性方程組Ax=b,A的秩為2，，，為方程組的解，+=〔2，0，4〕T，+=〔1，-2，1〕T，那么對任意常數k，方程組Ax=b的通解為〔〕A．(1,0,2)T+k(1,-2,1)T B．(1,-2,1)T+k(2,0,4)TC．(2,0,4)T+k(1,-2,1)TD．(1,0,2)T+k(1,2,3)T8．設3階方陣A的特征值為1，-1，2，那么以下矩陣中為可逆矩陣的是〔〕A．E-A B．-E-AC．2E-A D．-2E-A9．設=2是可逆矩陣A的一個特征值，那么矩陣〔A2〕-1必有一個特征值等于〔〕A． B．C．2 D．410．二次型f(x1,x2,x3,x4)=x+x+x+x+2x3x4的秩為〔〕A．1 B．2C．3D．411.行列式=____________.12.設矩陣A=，P=，那么APT=____________.13.設矩陣A=，那么A-1=____________.14.設矩陣A=，假設齊次線性方程組Ax=0有非零解，那么數t=____________.15.向量組α1=，α2=,α3=的秩為2，那么數t=______________.16.向量α=〔2，1，0，3〕T，β=〔1，-2，1，k〕T，α與β的內積為2，那么數k=____________.17.設向量α=〔b,,〕T為單位向量，那么數b=______________.18.=0為矩陣A=的2重特征值，那么A的另一特征值為______________.19.二次型f(x1,x2,x3)=x+2x-5x-4x1x2+2x2x3的矩陣為______________.20.二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定，那么數k的取值范圍為______________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.計算行列式D=的值.22.矩陣A=，B=，〔1〕求A的逆矩陣A-1；〔2〕解矩陣方程AX=B.23.設向量α=〔1，-1，-1，1〕，β=〔-1，1，1，-1〕，求〔1〕矩陣A=αTβ；〔2〕A2.24.設向量組α1=〔1，-1，2，4〕T，α2=〔0，3，1，2〕T，α3=〔3，0，7，14〕T，α4=〔1，-1，2，0〕T，求向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.25.線性方程組〔1〕求當a為何值時，方程組無解、有解.〔2〕當方程組有解時，求出其全部解〔要求用其一個特解和導出組的根底解系表示〕.26.設矩陣A=，〔1〕求矩陣A的特征值與對應的全部特征向量.〔2〕判定A是否可以與對角矩陣相似，假設可以，求可逆矩陣P和對角矩陣，使得P-1AP=.四、證明題〔此題6分〕27.設n階矩陣A滿足A2=A，證明E-2A可逆，且(E-2A)-1=E-2A.全國2021年1月高等教育自學考試1.設A為三階方陣且那么〔〕A.-108 B.-12C.12 D.1082.如果方程組有非零解,那么

k=〔〕A.-2 B.-1C.1 D.23.設A、B為同階方陣，以下等式中恒正確的選項是〔〕A.AB=BA B.C.D.4.設A為四階矩陣，且那么〔〕A.2B.4C.8D.125.設可由向量=〔1，0，0〕α2=〔0，0，1〕線性表示，那么以下向量中只能是A.〔2，1，1〕B.〔-3，0，2〕C.〔1，1，0〕D.〔0,-1,0〕6.向量組，α2，…，αs的秩不為s(s)的充分必要條件是〔〕A.，α2，…，αs全是非零向量B.，α2，…，αs全是零向量C.，α2，…，αs中至少有一個向量可由其它向量線性表出D.，α2，…，αs中至少有一個零向量7.設A為m矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是〔〕A.A的行向量組線性無關 B.A的行向量組線性相關C.A的列向量組線性無關 D.A的列向量組線性相關8.設A與B是兩個相似n階矩陣，那么以下說法錯誤的選項是〔〕A.B.秩〔A〕=秩〔B〕C.存在可逆陣P，使P-1AP=B D.E-A=E-B9.與矩陣A=相似的是〔〕A.B.C. D.10.設有二次型那么〔〕A.正定 B.負定C.不定 D.半正定二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕11.假設那么k=___________.12.設A=,B=那么AB=___________.13.設A=,那么A-1=___________.14.設A為3矩陣,且方程組A

x=0的根底解系含有兩個解向量,那么秩(A)=___________.15.A有一個特征值-2,那么B=A+2E必有一個特征值___________.16.方程組的通解是___________.17.向量組=(1,0,0)=(1,1,0),=(-5,2,0)的秩是___________.18.矩陣A=的全部特征向量是___________.19.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,那么=___________.20.矩陣A=所對應的二次型是___________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21.計算四階行列式的值.22.設A=,求A.23.設A=,B=,且A,B,X滿足(E-BA)求X,X24.求向量組=(1,-1,2,4)α2=(0,3,1,2),=(3,0,7,14),=(2,1,5,6),=(1,-1,2,0)的一個極大線性無關組.25.求非齊次方程組的通解.26.設A=,求P使為對角矩陣.四、證明題〔本大題共1小題,6分〕27.設α2，α3是齊次方程組Ax=0的根底解系.證明+α2，+α2+α3也是Ax=0的根底解系．全國2007年10月高等教育自學考試1．設行列式=1，=2，那么=〔〕A．-3 B．-1C．1 D．32．設A為3階方陣，且|-2A|=2，那么|A|=〔〕A．-1 B．-C． D．13．設矩陣A，B，C為同階方陣，那么〔ABC〕T=〔〕A．ATBTCT B．CTBTATC．CTATBT D．ATCTBT4．設A為2階可逆矩陣，且〔2A〕-1=，那么A=〔〕A．2B．C．2 D．5．設向量組α1，α2，…，αs線性相關，那么必可推出〔〕A．α1，α2，…，αs中至少有一個向量為零向量B．α1，α2，…，αs中至少有兩個向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D．α1，α2，…，αs中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合6．設A為m×n矩陣，那么齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分必要條件是〔〕A．A的列向量組線性無關 B．A的列向量組線性相關C．A的行向量組線性無關 D．A的行向量組線性相關7．β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，α1，α2是其導出組Ax=0的一個根底解系，C1，C2為任意常數，那么方程組Ax=b的通解可以表為〔〕A．BC．D．8．設3階矩陣A與B相似，且A的特征值為2，2，3.那么|B-1|=〔〕A． B．C．7 D．129．設A為3階矩陣，且|3A+2E|=0，那么A必有一個特征值為〔〕A． B．C． D．10．二次型的矩陣為〔〕A．B．C．D．二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕 請在每題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11．設矩陣A=，B=，那么A+2B=_____________.12．設3階矩陣A=，那么〔AT〕-1=_____________.13．設3階矩陣A=，那么A*A=_____________.14．設A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，那么矩陣B=AC的秩為__________.15．設向量α=〔1，1，1〕，那么它的單位化向量為_____________.16．設向量α1=〔1，1，1〕T，α2=〔1，1，0〕T，α3=〔1，0，0〕T，β=〔0，1，1〕T，那么β由α1，α2，α3線性表出的表示式為_____________.17．3元齊次線性方程組有非零解，那么a=_____________.18．設A為n階可逆矩陣，A有一個特征值為2，那么〔2A〕-1必有一個特征值為_____________.19．假設實對稱矩陣A=為正定矩陣，那么a的取值應滿足_____________.20．二次型的秩為_____________.三、計算題〔本大題共6小題，每題9分，共54分〕21．求4階行列式的值.22．設向量α=〔1，2，3，4〕，β=〔1，-1，2，0〕，求 〔1〕矩陣αTβ； 〔2〕向量α與β的內積〔α，β〕.23．設2階矩陣A可逆，且A-1=，對于矩陣P1=，P2=，令B=P1AP2，求B-1.24．求向量組α1=〔1，1，1，3〕T，α2=〔-1，-3，5，1〕T，α3=〔3，2，-1，4〕T，α4=〔-2，-6，10，2〕T的秩和一個極大線性無關組.25．給定線性方程組 〔1〕問a為何值時，方程組有無窮多個解； 〔2〕當方程組有無窮多個解時，求出其通解〔要求用它的一個特解和導出組的根底解系表示〕.26．求矩陣A=的全部特征值及對應的全部特征向量.四、證明題〔本大題6分〕27．設A是n階方陣，且〔A+E〕2=0，證明A可逆.全國2007年7月高等教育自學考試1．設A是3階方陣，且|A|=-，那么|A-1|=〔〕A．-2 B．-C． D．22．設A為n階方陣，λ為實數，那么|λA|=〔〕A．λ|A| B．|λ||A|C．λn|A| D．|λ|n|A|3．設A為n階方陣，令方陣B=A+AT，那么必有〔〕A．BT=B B．B=2AC．BT=-B D．B=04．矩陣A=的伴隨矩陣A*=〔〕A．B．C． D．5．以下矩陣中，是初等矩陣的為〔〕A．B．C． D．6．假設向量組α1=〔1，t+1，0〕，α2=〔1，2，0〕，α3=〔0，0，t2+1〕線性相關，那么實數t=〔〕A．0 B．1C．2 D．37．設A是4×5矩陣，秩〔A〕=3，那么〔〕A．A中的4階子式都不為0 B．A中存在不為0的4階子式C．A中的3階子式都不為0 D．A中存在不為0的3階子式8．設3階實對稱矩陣A的特征值為λ1=λ2=0，λ3=2，那么秩〔A〕=〔〕A．0B．1C．2D．39．設A為n階正交矩陣，那么行列式|A2|=〔〕A．-2 B．-1C．1 D．210．二次型的正慣性指數p為〔〕A．0 B．1C．2 D．3二、填空題〔本大題共1