2022年高三數(shù)學(理)全真模擬卷(全國卷專用)

2022年高三數(shù)學全真模擬卷（全國卷專用）（本卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．（2022·山西晉中·二模（理））記全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2．（2022·河南河南·一模（理））若復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量，，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．4．（2022·寧夏六盤山高級中學二模（理））定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．C．B．D．5．（2022·陜西·二模（理））小張一星期的總開支分布如圖所示，一星期的食品開支如圖所示，則小張一星期的肉類開支占總開支的百分比約為（）A．10%B．8%C．5%D．4%6．（2022·河南焦作·二模（理））某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．18B．24C．48D．607．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比賽中只有一人得獎.在問到誰得獎時，四人的回答如下：甲：乙得獎.乙：丙得獎.丙：乙說錯了.丁：我沒得獎.四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（2022·全國·模擬預測（理））用四種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（）A．72種B．36種C．12種D．60種9．（2022·寧夏·銀川一中一模（理））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以表示由甲罐取出的球是紅球，，和白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是①；②；③事件B與事件相互獨立；④，，是兩兩互斥的事件.A．②④B．①③C．②③D．①④10．（2022·河南·模擬預測（理））已知正方體的棱長是，、分別是棱和小值為（的中點，點在正方形）（包括邊界）內(nèi)，當平面時，長度的最A．C．B．D．11．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．12．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數(shù)圖像與函數(shù)圖像的交點為，，…，，則（）A．20B．15C．10D．5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模擬預測（理））等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.14．（2022·江西·二模（理））若點P為直線上的一個動點，從點P引圓的兩條切線（M，N為切點），則直線恒過定點E的坐標為___________．15．（2022·陜西·西安中學模擬預測（理））若過定點恰好可作曲線的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是__________．16．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））已知雙曲線，其左右焦點分別為，，點P是雙曲線右支上的一點，點I為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心），，若，，則的內(nèi)切圓的半徑為______.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·新疆石河子一中模擬預測（理））已知.(1)求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)在△面積的最大值.中，，D為BC中點，，求△18．（2022·河南省魯山縣第一高級中學模擬預測（理））如圖，在三棱柱中，平面，且D為線段的中點.(1)證明：；(2)若到直線的距離為，求二面角的余弦值.19．（2022·全國·模擬預測）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”為了進一步了解普通大眾對“碳中和”及相關(guān)舉措的認識，某機構(gòu)進行了一次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：初高中大學及大學以上在60歲以下的社會60歲及以上的社會小學生生校生人士人士不了解“碳中和”及相關(guān)措施了解“碳中和”及相關(guān)措施4030808055708520150190(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)？學生社會人士合計不了解“碳中和”及相關(guān)措施了解“碳中和”及相關(guān)措施合計附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828k(2)經(jīng)調(diào)查后，有關(guān)部門決定加大力度宣傳“碳中和”及相關(guān)措施以便讓節(jié)能減排的想法深入人心.經(jīng)過一段時間后，計劃先隨機從社會上選10人進行調(diào)查，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定后續(xù)的相關(guān)舉措.設(shè)宣傳后不了解“碳中和”的人概率都為，每個被調(diào)查的人之間相互獨立.①記10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率為，求的最大值點；②現(xiàn)對以上的10人進行有獎答題，以①中確定的作為答錯的概率p的值.已知回答正確給價值a元的禮品，回答錯誤給價值b元的禮品，要準備的禮品大致為多少元？（用a，b表示即可）20．（2022·四川綿陽·二模（理））已知橢圓的右焦點為，點A，分別為右頂點和上頂點，點為坐標原點，的離心率．，的面積為，其中為(1)求橢圓的方程；(2)過點異于坐標軸的直線與交于，兩點，射線，分別與圓交于，兩點，記直線說明理由．和直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請21．（2022·江西九江·一模（理））已知函數(shù)．(1)討論(2)若的單調(diào)性；，且，求證：．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．（2022·寧夏六盤山高級中學二模（理））在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線和的極坐標方程；(2)已知射線與曲線交于、兩點，將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到射線，射線與曲線交于、兩點，當取何值時，最大值.的面積最大，并求面積的23．（2022·江西宜春·模擬預測（理））已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2022年高三數(shù)學全真模擬卷（全國卷專用）（本卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．（2022·山西晉中·二模（理））記全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】理解題目所給圖形的含義，按交并補的定義計算即可.【詳解】由題圖知，陰影部分所表示的集合是，∵，，，∴，故故選：D.2．（2022·河南河南·一模（理））若復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)模的公式和復數(shù)的四則運算得Z，再由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義可得.【詳解】因為所以所以，對應(yīng)的點在第一象限故選：A.3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量，，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，故與的夾角為.故選：A4．（2022·寧夏六盤山高級中學二模（理））定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義，可得到【詳解】，再利用單調(diào)性求解即可.解：∵因為偶函數(shù)滿足，∴，又∵在上單調(diào)遞減，∴，即，∴.故選：D5．（2022·陜西·二模（理））小張一星期的總開支分布如圖所示，一星期的食品開支如圖所示，則小張一星期的肉類開支占總開支的百分比約為（）A．10%B．8%C．5%D．4%【答案】A【解析】【分析】求出肉類開支為100元，占食品開支的，再由食品開支占總開支的支占總開支的百分比.，進而求得小張一星期的肉類開【詳解】由題圖②知，小張一星期的食品開支為元，其中肉類開支為100元，占食品開支的，而食品開支占總開支的，所以小張一星期的肉類開支占總開支的百分比為.故選：A.6．（2022·河南焦作·二模（理））某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．18B．24C．48D．60【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，結(jié)合錐體體積公式求得正確答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個三棱錐，如圖，底面的面積為，高為8，所以三棱錐的體積.故選：C7．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比賽中只有一人得獎.在問到誰得獎時，四人的回答如下：甲：乙得獎.乙：丙得獎.丙：乙說錯了.?。何覜]得獎.四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各人的說法，討論四人得獎分析是否只有一人說法與事實相符，即可確定得獎的人.【詳解】甲乙丙丁甲乙丙丁得獎得獎沒得獎沒得獎由上表知：若甲得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；若乙得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；若丙得獎，乙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；所以丁得獎，只有丙說法與事實相符.故選：D8．（2022·全國·模擬預測（理））用四種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（）A．72種B．36種C．12種D．60種【答案】A【解析】【分析】列出表格，使用分類加法，分步乘法公式進行計算.【詳解】如下表頂點種數(shù)V4A3B2CD2C與A同色1C與A不同色11故選：A．9．（2022·寧夏·銀川一中一模（理））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以表示由甲罐取出的球是紅球，，和白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是①；②；③事件B與事件相互獨立；④，，是兩兩互斥的事件.A．②④B．①③C．②③D．①④【答案】A【解析】根據(jù)條件概率的計算，結(jié)合題意，即可容易判斷.【詳解】由題意，，是兩兩互斥的事件，，，；，由此知，②正確；，；而.由此知①③不正確；，，是兩兩互斥的事件，由此知④正確；對照四個命題知②④正確；故選：A.【點睛】本題考查互斥事件的判斷，以及條件概率的求解，屬基礎(chǔ)題.10．（2022·河南·模擬預測（理））已知正方體的棱長是，、分別是棱平面時，長度的最和的中點，點在正方形）（包括邊界）內(nèi)，當小值為（A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】分別取平面的中點時，、的中點、，連接，可知點的軌跡為線段的長度取最小值，利用勾股定理可求得結(jié)果.、、、，分析可知當、、、時，即當點為線段、，證明出平面【詳解】分別取所示：、的中點、，連接、、、、、、、，如下圖因為、分別為平面、的中點，則，同理可得，則，，平面，平面，因為且，、分別為、且的中點，所以，且，所以，四邊形因為為平行四邊形，故，所以，，，且且故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，，，所以，平面，平面平面平面平面，當點因為時，平面，則平面，所以點的軌跡為線段，，，平面，則，則，同理可得，，所以，當此時時，即當點為線段的中點時，的長度取最小值，.故選：C.11．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先由數(shù)列通項與前項和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列公式，代入所求式子值，從而求出的范圍.的通項公式，進一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大【詳解】由，則當時，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，所以所以，，當且僅當時等號成立，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列立，結(jié)合基本不等式求求的通項公式，即可得通項公式，再由不等式恒成圖像與函數(shù)的最值，即可求參數(shù)范圍.12．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數(shù)圖像的交點為，，…，，則（）A．20B．15C．10D．5【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)【詳解】，的性質(zhì)，再探求它們的圖象交點個數(shù)，利用性質(zhì)計算作答.函數(shù)定義域為，其圖象是4條曲線組成，在區(qū)間，，，上都單調(diào)遞減，當時，，當或時，取一切實數(shù)，當時，，，即函數(shù)的圖象關(guān)于點之間，對稱，定義域為R，在R上單調(diào)遞增，值域為，其圖象夾在二平行直線，的圖象關(guān)于點對稱，因此，函數(shù)不妨令點的圖象與的圖象有4個交點，即，它們關(guān)于點對稱，與相互對稱，與相互對稱，則，，所以.故選：A【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模擬預測（理））等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得，再利用對數(shù)的運算得解.【詳解】由已知得數(shù)列則是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以，故答案為：.14．（2022·江西·二模（理））若點P為直線上的一個動點，從點P引圓的兩條切線（M，N為切點），則直線恒過定點E的坐標為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的切線方程的求解，求得的直線方程，再根據(jù)直線方程求其過的定點即可.【詳解】設(shè)，過點M的切線方程為，理由如下：若過點的切線斜率存在，則所求切線的斜率，故其切線方程為：又點在圓，即，上，故，則過點的切線方程為；若過點的斜率不存在，此時的坐標為或，對應(yīng)切線方程為或，也滿足，綜上所述，過點的切線方程為：同理所得：過點N的切線方程為兩切線均過點P，則；，，故過的直線方程為，∴，∴則直線恒過定點．故答案為：【點睛】.本題考察過圓上一點的切線方程的求解，以及直線恒過定點問題的處理，處理問題的關(guān)鍵是要掌握圓上一點切線方程的推導過程，屬綜合中檔題.15．（2022·陜西·西安中學模擬預測（理））若過定點恰好可作曲線的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，設(shè)切點為，由導數(shù)的幾何意義和兩點的斜率公式可得，設(shè)，利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，再畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得a的取值范圍【詳解】由，得，切點為，，則切線的斜率為，所以切線方程為因為，所以，，因為點在切線上，所以，得，令當，則，當時，時，，所以所以當在在上遞增，在處取得極小值，當上遞減，，時，時，，由題意可得直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：16．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））已知雙曲線，其左右焦點分別為，，點P是雙曲線右支上的一點，點I為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心），，若，，則的內(nèi)切圓的半徑為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，，在中，利用余弦定理求得，再根據(jù)即可得出答案.【詳解】解：由，結(jié)合點I是的內(nèi)切圓的圓心可知，又有，所以，再結(jié)合雙曲線的定義可得，，再根據(jù)，由余弦定理可得，即則，解得，，可得內(nèi)切圓的半徑角.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·新疆石河子一中模擬預測（理））已知.(1)求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)在△中，，D為BC中點，，求△面積的最大值.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，；(2).【解析】【分析】（1）利用倍角余弦公式、輔助角公式可得周期、單調(diào)減區(qū)間.，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正（2）由題設(shè)有，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得，再由并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律、基本不等式可得面積公式求面積即可.，注意等號成立條件，最后應(yīng)用三角形(1)由，則令，且，可得，且，所以單調(diào)減區(qū)間為.綜上，(2)最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，.由題設(shè)，，即，又而，則，故，可得，，故，令，則，所以，當且僅當時等號成立，則△面積，綜上，△面積的最大值為.18．（2022·河南省魯山縣第一高級中學模擬預測（理））如圖，在三棱柱中，平面，且D為線段的中點.(1)證明：；(2)若到直線的距離為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證得，理由勾股定理證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）過B作于H，連接，易證，則，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出答案.(1)證明：因為平面平面，所以，因為所以，，所以，因為又，所以平面，平面，所以；(2)解：過B作因為于H，連接，，平面平面平面，所以，又因，所以，所以，因為平面，又平面，所以，則，因為，所以.以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理可得平面則的一個法向量為，，由圖可知，二面角故二面角為鈍角，的余弦值為.19．（2022·全國·模擬預測）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”為了進一步了解普通大眾對“碳中和”及相關(guān)舉措的認識，某機構(gòu)進行了一次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：初高中大學及大學以上在60歲以下的社會60歲及以上的社會小學生生校生人士人士不了解“碳中和”及相403080805570關(guān)措施了解“碳中和”及相關(guān)2015019085措施(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)？學生社會人士合計不了解“碳中和”及相關(guān)措施了解“碳中和”及相關(guān)措施合計附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828k(2)經(jīng)調(diào)查后，有關(guān)部門決定加大力度宣傳“碳中和”及相關(guān)措施以便讓節(jié)能減排的想法深入人心.經(jīng)過一段時間后，計劃先隨機從社會上選10人進行調(diào)查，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定后續(xù)的相關(guān)舉措.設(shè)宣傳后不了解“碳中和”的人概率都為，每個被調(diào)查的人之間相互獨立.①記10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率為，求的最大值點；②現(xiàn)對以上的10人進行有獎答題，以①中確定的作為答錯的概率p的值.已知回答正確給價值a元的禮品，回答錯誤給價值b元的禮品，要準備的禮品大致為多少元？（用a，b表示即可）【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)；(2)①；②【解析】【分析】（1）對滿足條件的數(shù)據(jù)統(tǒng)計加和即可，然后根據(jù)給定的計算公式，將計算結(jié)果與所對應(yīng)的值比較大小即可；（2）①利用獨立重復試驗與二項分布的特點，寫出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率為，再利用導數(shù)求出最值點；②利用獨立重復試驗的期望公式代入可求出答案.(1)由題中表格數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如下：學生社會人士合計不了解“碳中和”及相關(guān)措150125275施了解“碳中和”及相關(guān)措施250275400525800合計400根據(jù)列聯(lián)表得.故沒有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān).(2)①由題得，，，∴.令，得，當時，；當時，，∴當時，單調(diào)選增；當時，單調(diào)遞減，∴的最大值點.②本題求要準備的禮品大致為多少元，即求10個人禮品價值X的數(shù)學期望.由①知答錯的概率為，則，故要準備的禮品大致為元.20．（2022·四川綿陽·二模（理））已知橢圓的右焦點為，點A，分別為右頂點和上頂點，點為坐標原點，的離心率．，的面積為，其中為(1)求橢圓的方程；(2)過點異于坐標軸的直線與交于，兩點，射線，分別與圓交于，兩點，記直線說明理由．和直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請【答案】(1)(2)為定值【解析】【分析】（1）根據(jù)，的面積為，求得，即可得出答案；（2）設(shè)點，則點，根據(jù)在橢圓上，可得，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為分別聯(lián)立，求得三點的坐標，從而可得出結(jié)論.(1)解：因為，所以，又，聯(lián)立可得，所以橢圓的方程為；(2)解：設(shè)點，則點，由題意得因為，在橢圓上，，則所以所以，，即，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，聯(lián)立消得由在橢圓上，所以所以，所以，，聯(lián)立由點消得，在圓上，所以，，所以，同理：所以，所以，即為定值.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了定值問題，考查了數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學運算能力，運算量比較大，有一定的難度.21．（2022·江西九江·一模（理））已知函數(shù)．(1)討論(2)若的單調(diào)性；，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導，分和，討論求解；（2）由證明.，得到，令，利用導數(shù)法得到時，或(1)解：當，時，，在R